57
Головоломки
Дьюдени
На страницах нашего журнала не раз упоминались имена многих известных популяризаторов математики: Гуго Штейнгауз, Сзма Лойда, Мартина Гарднера, Льюиса Кэррола (автора, по-видимому, знакомой всем и любимой всем «Алисы в Стране Чудес»). Сейчас мы хотим рассказать вам еще об одном замечательном мастере головоломок — Генри Э. Дьюдени (1857—1930): в этом году, в той же серии, что и три книги Гарднера, книги Штейнгауз и Кэррола, вышла его прекрасная книга «520 головоломок» *].
Составление и решение головоломок было для Дьюдени не только профессионей (Дьюдени — талантливый самучка: он никогда не чился в колледже) — это было его признанием, делом его жизни. Если какая-нибудь интересная идея приходила ему в голову за обедом, то он в задумчивости начинал рисовать… прямо на скатерти. Ответы же, которые сам Дьюдени давал к своим головоломкам (их мы опубликуем в следующем номере «Кванта»), очень часто даже и нельзя назвать «решениями» — скорее это блестише договора. Книга «520 головоломок» будет, безусловно, интересна всем любителем математики. Вам же, ребята, она будет особенно полезна: в ней очень много доступных для вас задач. Ниже мы публикуем подборку задач из книги Г. Э. Дьюдени. Публикацию подготовила И. Н. Климова.
Лестницы метро
Как-то, выходя из станции метро «Керли-стрит», мы столкнулись с молодым атлетом Перси Лонгменом. Он оставился на экалаторе и сказал:
— Вверх по экалатору я всегда иду. Знаете ли, лишняя тринировканикогда не помещает. Этот экалатор самый длиной на линии — почти тысяча ступенек. Но вот что интересно — и это относится и к другому, меняшему экалатору, по которым мне часто приходится поднимать: если, поднимая вверх, я шагю через две ступенки, то на последний шаг приходится одна ступенка; если я шагю через три ступенки — то две ступенки; если через четыре,— то пять; если через пять — то четыре; если через шесть — то пять и, наконец, если я шагю через семь ступенек, то на последний шаг приходится шесть ступенек. Почему так происходит, не знаю.
Когда Перси пошел дальше вверх, перешагивая через три ступенки сразу, мы рассмеялись и мой спутник сказал:
— Он едва ли подозревает, что если бы делал шаг в 20 ступенек, то на последний шаг ему их осталось бы 19!
Сколько ступенек в экалаторе на станции «Керли-стрит», если верхиной плошадку считать ступенкой, а нижнюю нет? **)
Взвешивание ребенка
— Прошым летом я был свидетельом одного забавного случая на железнодорожной станции, — сказал мой приятель. — Необольшая семья стояла перед автоматически
*) Генри Э. Дьюдени. 520 головоломок. М., «Мир», 1975.
**) Автор исходит из молодливого предположения, что экалаторы неподвижны;
58
весами, расчитанными на 200 футов, безрезультатно пытаясь решить трудную задачу — взвешить ребена. Едва родители оставляли ребена одного на весах, он начал ревет и спрыгивал с них, при этом отцу приходилось удерживать собаку Фидо, тоже желавшую принять участие в этой операции. Наконец, отец вместе с ребенком и Фидо взобрался на весы, а я их сформировал.
Тут приятель показал мне фотографию, с которой я срисовал показания весов.
— После этого мужчина повернулся к своей жене и сказал: «Мне кажется, дорогая, что вместе с ребенком я вешу на 162 фута больше, чем собака, а собака весит на 70% меньше, чем ребенок. Нам дома следует все хорошоенько обдумать».
Мне тоже захотелось разобраться самому в этой задаче. Как вы думаете, сколько весло миллиое детя?
Решающий голос
Съезд Объединенного общества странствующих попрошак (более известного под названием Союза брадя) собрался, чтобы решить вопрос о том, следует ли обьявить забастовку, требуя сокращения рабочого дня и увеличения подаяний. Было решение, что при голосовании те члены общества, которые отдут свои голоса в пользовки, оставутся стоять, а те, кто против, сдут.
— Джентльмены, — сказал председатель собраня после подчета голосов, — я имею удобствие собщить, что забастовка утверждена большинством голосов, составляющим четвертуо часть оппозиции. (Громкие возделacs обобрения.)
— Господин председатель, — крикнул сзади, — кое- кто из нас не смог sectь.
— Почему?
— Да здесь нет стульев.
— Тогда, быть может, те, кто хотел, но не смог sectь, не открыться поднять руки… Я вижу, вас двенадцать человек, так что забастовка отменяется большинством в один голос. (Свистки и беспорядок в зале.)
Сколько членов общества попрошак участвовали в голосовании?
Исправьте ошибку
Хильде Вильсон потребовал умножить некоторое число на 409, но она сделала ошибку, которое допускают детей, начинаяшие изучать арифметика: первый цифру произведение на 4 она помещила не под третей цифрой справа, как положено, а под второй. (Мы все так делали в детстве, когда в сомножительстве встречался нуль.) В результате этой маленькой ошибки Хильда получила число, отличающееся нмного, ни мало на 328 320 от правильного ответа.
Какое число Хильда умножала на 409?
59
Пэт Мерфи
Много лет назад произел такой случай. Участики одной экспедиции попали в лапы кровожадных дикарей. Их воскь, получив богатые подарки, наконец смягчился и разрезил пленикам уйти, но при условии, что половина из них будет выпорота. В состав экспедиции входило 5 англичан и 5 туземцев-носильскихков. Англичане решили избежать порки, встав в круг таким образом, как показано на рисунке, и поручив Пэту Мерфи (№ 1) назвать число, отцчет до которого использовался бы в качестве считалочки.
Тот, на кого выпадало называное число, выходил из круг и отправлялся на экзекцию, а счет продолжался с этого места снова и до тех пор, пока называное число не выпадало на следующего человека, и т. д.
Если бы Пэт правильно заполнил число и начал счет с того, кого нужно, то замыслел больших удаляемых бы на славу. Но бедный Пэт перепутал число и не с того человек начал счет. В результате все английские выпоротыми, а носились нет.
Не могли бы вы указать:
- число, которое называл бедняга Пэт, и человека, с которой начинается счет;
- число, которое следует называть, и человека, с которой начинается счет?
В каждом случае нужно найти минимальное число.
Кошки и мышки
Однажды утром за столом профессора Рэкбрейна ожидало обсуждался вопрос об уничтожении грызунов, когда внезапно профессор сказал:
— Если неокоторое количество кошек съели в общей сложности 999 919 мышек, причем все кошки съели по одинаковому числу мышек, то сколько всего было кошек?
Кто-то высказал предложение о том, что, быть может, одна кошка съела всех мышек, но Рэкбрейн возразил, что он сказал «мышек». Тогда кто-то другой держил предложение, что каждая кошка съела одну мышь, но профессор заметил, что он сказал «мышек». Он добавил также, дабы помочь присутствующим, что каждая кошка съела большие мышек, чем было кошек.
Какой же ответ будет верным?
Погоня
Начертите на листе бумаги поле, которое изобразено на рисунке и воспользуйтесь фишками, представляющими двух охранников (люди в выиских шапках) и двух узников. Вначале разместите фишки так, как показано на рисунке. Первый игрок передвигает каждого охранника через дверь из одной камеры в любую соседню. Затем второй игрок передвигает каждого узника через дверь в любую соседню камеру и т. д. до