ЭВМ в конструкторском бюро

24

В настоящем времени в связи с появлением чертежных автоматов, управляемых электронными цифровыми вычислительными машинами, возникла реализная возможность автоматизации многих графических работ, проводимых в конструкторских бюро. К таким работам можно отнести процессонных чертежей машиностроительных деталей, разверток поверхностей, аксонометрических (объемных) изображений и т. д. Использование чертежных автоматов и ЭВМ оказывает неоценную услугу инженерам-конструктором, разработывающим чертеж поверхности технических форм.

Эпир Монжа
Поясним сначала, как строится проекционный чертеж.
Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат $Oxyz$ (рис. 1, а). Обозначим координаты плоскости $xOy, xOz, yOz$ соответственно через $H, V, W$, и будем их называть плоскостями проекций.
Опустим на них из произвольной точки $A$ внутри первого октана $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ перpendикularы $Aa, Aa'$ и $Aa''$: а — горизонтальная, а’ — фронтальная, а’’ — профильная проекции точки $A$. Вращая плоскости $H$ и $W$ вокруг осей $Ox$ и $Oz$, совместим их с плоскостью $V$. Тогда в одной плоскости $V$ мы получим изображение пространственной системы координат $Oxyz$ и проекций точки $A$ (рис. 1, 6; в дальнейшем точки пространства мы будем обозначать прописными буквами, а их проекции — таким же строчными со шрихами). Аналогично строятся проекции фигур — можновести точек.

Анализируя рисунок 1, приходим к выводу, что точки $A$ пространства вполне задана двумя свойствами, например, $a$ и $a'$. Это

25

следует из того, что абсцисса ее $x = Oa_x$, ordината $y = a_x a'$ и аппликата $z = a_x a'$ определяются из чертежа однозначно. Таким образом, для задания фигуры достаточно иметь ее проекции.

Чертеж, полученный описанным методом, называют проекционным чертежом, эпюром Монжа*) или комплектным чертежом.

Построение линей пересечения поверхностей

За кульмном стопит конструктор. Он чертиит изображение какой-то детали. В некоторых местах поверхности детали имеет резкие переходы, уступы отверстия, выемки. Вот появились на чертеже изображения двух цилиндрических поверхностей, которые образованы как бы ступеньку в детали. Конструктор оставился. «В чем дело?» — справиваете вы. «Опять попалась линя пересечения, но не беда! Сейчас построю несколько точек, принадлежших двум поверхностями, а потом проведу через них плавную кривую по лекалу», — говорит конструктор. И вот на чертеже стали появляться отдельные точки линей пересечения.

С точки зрения графических операций построение линей пересечения поверхности к нахождению отдельных ее точек. Для этого

*) Гаспар Монж (1746—1818) — французский геометр.

Рис. 2.

Данные поверхности $\Phi_1$ и $\Phi_2$ (рис. 2) рассекают третий вспомогательной поверхности T (если пересекаются поверхности braшения, то в качестве вспомогательных поверхности чаще всего использовать сферы и плоскости), а затем определяют линей пересечения $m$ и $n$ вспомогательной поверхности T с двумя данными $\Phi_1$ и $\Phi_2$ и точку K пересечения построенных линей. Такой прием повторяют много раз, чтобы полученные точки можно было соединить плавной линей.

Пример 1. Построить линей пересечения сферы и прямого крутового конуса, заданных на проекционном чертеже (рис. 3).

Выберем произвольную плоскость T, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Эта плоскость рассекает сферу и конус по окружности $m$ и $n$ соответственно, пересекающим в точках $K_1$ и $K_2$. Построив эти окружности на горизонтальной плоскости проекций, получим точки

26

$k_1$ и $k_2$, принадлежие горизонтальной проекции линей пересечения (рис. 3). Фронтальные проекции $k'_1$ и $k'_2$ точек $K_1$ и $K_2$ будут в данной случае совпадать. Проделав это для ряда вспомогательных плоскостей, параллельных $T$, мы получим точки, общие для сферы и конуса, а соединив их плавными кривыми на каждой проекции, получим приближенные проекции линей пересечения. Чем больше точек будет построено, тем точнее получится кривая.

Но как мы ни старались, точность подобных построений ограничена, полученная линей пересечения далека от идеальной, а потраченное время зачительно. Эти недостатки могут быть ливидированы с помощью ЭВМ и чертежного автомата. Действительно, вычислительная машина производит миллионы действия за считанные секунды, а некоторые современные чертежные автоматы за одну секунду проводят отрезки прямых длиной более 300 мм.

При автоматизации процесса построения линей пересечения на чертеже выполняются следующие этапы.

1. Записьюются уравнения поверхностей, заданных на чертеже.

2. С помощью ЭВМ определяются координаты $x$, $y$, $z$ отдельных точек линей пересечения (с анализческой точки зреня определяние линей пересечения свойства к решению системы уравнений).

3. Koординаты полученных точек подаются на чертежный автомат в виде специальных команд движения пера.

Каждайый этап является самостоятельной задачей, иногда неелегкой. Поясним их более подробно на примере 2, аналогичном примеру 1. Для простоты дальнейших рассуждения выберем систему координат так, чтобы ось $Oz$ совместилась с осью конуса, а ось $x$ проходила через центр сферы.

Пример 2. Наимен линей пересечения сферы радиуса $r=50$, центр

коморой имеет координаты $x_0=30$, $y_0=0$, $z_0=0$ в декартовой прямой системе координат $Oxyz$, и прямого кругового конуса, вершина которой лежит на оси $Oz$ в точке $x_1=y_1=0$, $z_1=70$, ось совпадает с осью $Oz$, а диаметр основания, касающейся сферы, равен 120 (эти данные взяты из рисунка 4, масштаб на рисунке указаан).

Первый этап. Расмотрим сначала сферу с центром в начале координат и радиусом $r$ (рис. 5). Возьмем на ее поверхности произвольную точку $M$. Пусть ее координаты $x$, $y$, $z$. Нетрудно доказать (с помощью теоремы Пифагора), что для точки $M$ будет выполняться следующей равенство:

$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2.$$

Этоту равенству удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на поверхности сферы, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности сферы. Это равенство и есть уравнение сферы.

27

Рис. 5.

Уравнение сферы радиуса 50, центр которого сдиинут по оси $Ox$ на 30 единиц выше (именно такая сфера задана в примере 2), будет

$$(x-30)^2+y^2+z^2=50^2.$$

Можно показать, что

$$x^2+y^2-\frac{1}{4}(z-70)^2=0$$

— уравнение прямого кругового конуса, заданного на рисунке 4. При фиксированном $z=z_0$ оно принимает вид $x^2+y^2=\frac{(z_0-70)^2}{4}$ и задает округность — сечение конуса плоскостью $z=z_0$.

В данном примере мы быстро написали уравнение поверхности в силу их простоты. Но, вообше говоря, уравнение поверхности, заданной на чертеже, надо выводить. В этом заключется задача первого этапа.

Итак, мы имеем следующую систему уравнения:

$$\begin{cases} x^2+y^2-\frac{1}{4}(z-70)^2=0, \\ (x-30)^2+y^2+z^2=50^2. \end{cases}$$

Второй этап. Вычетем из первого уравнения полученной системы второе. После простых преобразований получим выражение

$$x=\frac{1}{48}z^2-\frac{7}{12}z-\frac{75}{12},$$

которое является уравнением фронтальной проекции линей пересечения.

Уравнение (*) задает парабoly, часть ее и изображена на рисунке 4.

Рассматривая теперь горизонтальную проекцию, из системы получим:

$$x^2+y^2-\frac{1}{4}(V\sqrt{50^2-(x-30)^2-y^2}-70)^2=0.$$

Вот какую линию описывает это уравнение, сразу и не скажешь.

Чтобы построить обе кривые на проекциях, будет давать переменной $z$ в уравнения () последовательно значения (например, с шагом $\Delta z=0,1$) в пределах — 42,5 $\leq z \leq 46,5$ (эти пределы соответствуют крайним точкам $1'$ и $2'$ на фронтальной проекции, см. рис. 4). Для каждого значения переменной $z$ сначала вычислим по формуле () значение переменной $x$, а затем (из уравнения сферы) найдем значение $y$ по формуле

$$y=\pm \sqrt{50^2-z^2-(x-30)^2}.$$

Указанный процесс вычисления легко осуществляется на ЭВМ. Таким образом, ЭВМ за короткий промежуток времени вычислит и напечатает координаты $x, y, z$ более 200 точек линей пересечения. Телефь эти координаты надо в виде команды подать на чертежный автомат. Начинается третий этап.

Чертежный автомат

Существуют разные виды чертежных автоматов, которые по-разному стыкуют с вычислительными машинами. Современные чертежные автоматы (их часто называют страфопостроiemелями) типа Итекан (СССР), Бенсон (Франция; см. рис. 6), Дигиграф (Чехословакия) могут работать и от перфоленты, и от магнитной ленты, на которые выдает информацию вычислительной машина. Чертежный автомат может стыковать с ЭВМ при мочерез специальное перехождение электронное устройство.

Большинство существующих чертежных автоматов выполны с ли-

28

Рис. 6.

нейной и круговой интерполяцией. Это означает, что если задать координаты двух точек $A$ и $B$, то перо чертежного автомата может проводить либо отрезок прямой $AB$, либо дуг окружности, проходящий через точки $A$ и $B$ (при этом дополнительно задается ее центр). Поскольку ЭВМ вычисляет координаты достаточно большого числа точек, ломанная линия, наиссованная пером автомата (далее в виде отрезков), получаетсядовольно плавной.

Построение аконометрических изображений

При проектировании различных штампов передко требуется наертить не только проекционный чертеж, но и аконометрическое изображение поверхности. Как же научить чертежный автомат вычерчивать аконометрическое изображение?

На рисунке 7 показано изображение произвольной точки $A$ в аконометрических осях $Ox, Oy, Oz$. Эта точка имеет три координаты, и ее изображение построено по определенным геометрическим правилам. Но чертежный автомат не знает ни этих правил, ни что такое аконометрическое координаты $x, y$ и $z$. Он работает по двум осам, например, $x'$ и $y'$. Произвольная точка $A (x, y, z)$ имеет какие-то две координаты по этим осам. Очевидно, должна существовать связь между координатами $x'$

и $y'$ и аконометрическими координатами $x, y, z$ для произвольной точки на плоскости. Эта связь известна и записьвается так:

$$x' = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z,$$
$$y' = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z,$$

(**)

где $a_{ij} (i=1,2; j=1,2,3)$ — числа, принимающие определенные значения для данного выбора осей.

Например, для изометрики (в этом случае оси проведены под углами $120^\circ$ друг к другу) уравнения (**) принимают следующий вид:

$$x' = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y,$$
$$y' = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + z.$$

Таким образом, ЭВМ должна перечитать координаты $x, y, z$ по формулам (**) и подать их в нужной последовательности на чертежный автомат, который и вычерчивает аконометрическое изображение.

Построение разверток поверхности

Будем представлять себе поверхности гибкой, но нерастимой кривойнейной пленкой. Существуют поверхности, которые можно построено деформаровать и совместить с плоскостью так, что при этом не будет ни разрывов, ни складок. Такие поверхности называются развертывающими, а фигура, полученная после совмещения их с плоскостью, называется разверткой.

29

Рис. 8.

Идей графическое построения развертки поверхности заключится в следующем: в поверхность вписываемся многообразная поверхность Ф, плоские грани коморой обычно являются треугольниками. Затем на плоскости строятся все грани в натуральную величины в определенной последовательности.

Пример 3. Построить развертку наклонного конуса с круговым основанием, заданного на проекционном чертеже (рис. 8).

Поступаем следующим образом. Разбиваем основание конуса точками $A_1, A_2, \dots$ на $n$ равных частей, например, на 16, и соединяем их с вершиной $S$. Тогда на чертеже мы получим две проекции наклонной парамиды (с треугольными гранями), вписанной в конус. Теперь надо построить грани парамиды в натуральную величины. Расмотрим грань $SA_1A_2$. Ее горизонтальная проекция будет $s_a1a_2$, фронтальная — $s'a'1a_2$. Нетрудно видеть, что $s'a'1$ — натуральная величина стороны $SA_1, a_1a_2$ — натуральная величина стороны $A_1A_2$. Чтобы найти натуральную величины стороны $SA_2$, поверхем ее вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину $S$, так, чтобы она стала параллельна фронтальной плоскости проекции $V$ ($s_a2$ на горизонтальной проекции). Из полученной точки $a_2$ проводим линюю связи до пересечения с фронтальной проекцией основания конуса в точке $a_2'$ — $s'a'2'$ и будет натуральной величины стороны $SA_2$. Аналогично находятся линии сторона $SA_3, SA_4$ и т. д.

Теперь на отдельном листе бумаги построим грань $SA_1A_2$ (рис. 9), к ней пристроим грань $SA_2A_3$ и т. д. В результате получим развертку наклонной парамиды, которая будет приближенной разверткой наклонного конуса.

При увеличении числа граней вписанной парамиды развертка становится все более точной, но ее построение вручную становится практическим невозможным. Положение спадает ЭВМ, которая по заданной прорамме вычисляет координаты точки $A_1, A_2, A_3, \dots$ в некоторой системе координат и подает их на чертежный автомат в виде команда движения пера. При большом количестве точки отрезки ломаной будет малы, а линия, нарисованная автоматом, — плавной кривой.