Ребусы

60

тех пор, пока каждый охранник не схватит своего узника. Если какой-либо охранник хватает узника, то он вместе со свея жертвой выбывает из игры, а другая пара продолжает игру.

Например, охранник может пойти в камеру $F$ (для простоты мы рассмотрим лишь одну пару охранников узника), затем узник перейдет в камеру $D$, охранник — в камеру $E$, узник — в камеру $A$, охранник — в камеру $B$, узник — в камеру $D$ и т. д. может показаться, что погоня охранника за узником безнадежно затягнется, но, проявив немного смекалики, вы сумете наступить беглеца.

Путь мухи

Муха села на левый верхний квадрат шахматной доски (см. рисунок), а затем проползла по всем белым квадратам. При этом она ни разу не заползала на черный квадрат и не прошла по одному и тому же пересечению (где пересекаются вертикальная и горизонтальная линии) более одного раза.

Не могли бы вы начертить путь мухи? Его можно продолжать, двигаясь 17 прямыми курсами.

Ребусы

1. В путье квадратики поставьте соответствующие цифры так, чтобы производая последовательно (слева направо и сверху вниз) указыанные arithmeticские действия, получать в результате число, стоящее после знака равенства.

Ребус составлен так, что пятый столбец совпадает с пятой строкой. Ни одно число в ребусе не равно нулю и не начинается нулем (кончаться нулем числа могут).

2. В путье квадратики поставьте соответствующие цифры так, чтобы выполнялись указыанные соответствия. Ни одно число в ребусе не равно нулю и не начинается нулем (кончаться нулем числа могут).

3. В примере на умножение одна из цифр всюду заменена квадратком, а вместе других цифр поставлены кружки. Попробуйте восстанавить пример.

Л. П. Мочалов

61

К статье «Почему звучит скрипка»

1. Колбания возбуждаются так же, как у струны со смычком, но при падающей зависимости момента сил tremия от относительной угловой скорости мятника и оси.
2. Ток в цепи определяется графическими точками пересечения прямой $U(i) = \mathcal{E} - iR$ с волтамперной характеристикой лампы (рис. 1). Скачки тока проинсходят при значениях сопротивления $R_1 = tg\alpha_1$ (при уменшении сопротивления) и $R_2 = tg\alpha_2$ (при уменшении сопротивления), определяемых накладом касательных к волтамперной характеристике. Зависимость тока от сопротивления показана на рисунке 2.
3. При отклонении тока от заданного значения $i$ в цепи возникает э.д. с. индукции, равная $-L \frac{\Delta i}{\Delta t}$, где $L$ — индуктивность волтовой дуги. Закон Ома в этом случае имеет вид: $\mathcal{E} - L \frac{\Delta i}{\Delta t} = U(i) + iR$.
   Отсюда находим скорость изменения тока: $\frac{\Delta i}{\Delta t} = \frac{\mathcal{E} - iR - U(i)}{L}$. Обратимся теперь к рисунку 6, $\delta$ в статье и исследуем источивость токов $i_1$ и $i_2$. Легко видеть, что когда ток меняется в близи значения $i_2$, увеличению тока соответствует отрицательное значение выражения $\mathcal{E} - iR$ — $U(i)$ и следовательно, отрицательная скорость изменения тока. Это означает, что после отклонения тока будет уменьшаться, стремясь возвратиться к значению $i_2$. При уменшении тока, наоборот, $\frac{\Delta i}{\Delta t} > 0$, и ток будет увеличиваться до величины $i_2$. Поэтому значение тока $i_2$ устойчивое. Аналогичные рассудения для тока $i_1$ показывают, что это значение неустойчивое — отклонения будут нарастать. Таким образом, мы получаем (так же, как и с помощью энергетических рассудений), что устойчивым является состояние с полным положительным сопротивлением цепи.
4. Колбания тока вдуте вызывают колбания ее температуры. Вследствие этого температура и плотность воздуха должна также периодически изменяться, и возникнет звуковая волна.

К статье «Физика и линейные неравенства»

1. $P_{\text{max}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2} \right) m$.
2. Ответ. $R = \frac{8}{11} \text{ ом}$.
   Указание. Если обозначить наиболее отклонение напряжения от закона Ома через $z$, то получим следующую задачу линейного программирования:
   $$\begin{cases} - z \leq 3 - 4R \leq z, \\ - z \leq 4 - 5R \leq z, \\ - z \leq 5 - 7R \leq z, \\ z \rightarrow \min, \end{cases}$$
3. $t_1 \approx 8 \text{ (c)}, t_2 \approx 46 \text{ (c)}$. Указание. Система линейных неравенств и целевая функция имеет вид

62

4. $I_1 \approx 990$ ($c\theta$), $I_2 \approx 2260$ ($c\theta$). Указание и е. Пользовая законами освещенности, следует составить следующую задачу линейного программирования:

$$\begin{cases} \frac{\cos 0^\circ}{9} I_1 + \frac{\cos 45^\circ}{18} I_2 \geq 200, \\ \frac{\cos 45^\circ}{18} I_1 + \frac{\cos 0^\circ}{9} I_2 \geq 100, \\ \frac{\cos 63^\circ 26'}{45} I_1 + \frac{\cos 45^\circ}{18} I_2 \geq 100, \\ z = I_1 + I_2 \rightarrow \min. \end{cases}$$

К статье «Учитесь делать дополнительные построения»

1. 48 $\sqrt{6} cm^2$. Указание и е. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведится прямую, параллельную медиане $m_c$ до пересечения с продолжением медианы $m_b$ в точке $B'$, и заметить, что $S_{\triangle AOB'} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}$, где $O$ — точка пересечения медиан.

2. 1:2, считая от меньшего основания. Указание и е. Заметить, что боковая сторона трапеци равна радиусу окружности, и воспользоваться теоремой о секущих.

3. $\sqrt{\frac{m}{n}}$. Указание и е. Через вершину $B$ трапеци $ABCD$ ($AB \perp AD$) проведится прямую, параллельную диагонали $AC$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $K$; в $\Delta KBD \Rightarrow B = 90^\circ$.

4. $AB = BC = \frac{a(\sqrt{5} - 1)}{2}$ $CD = a\sqrt{\sqrt{5} - 2}$. Указание и е. Опустить перепределкур $BE$ на $AD$.

5. $\sin 2\alpha : 1$. Указание и е. В трапеци $ABCD$ ($AD - \text{большое основание}$) проведится высоту $BE$, точку $O$ (центр окружности) соединить с точками $E$ и $M$ (точкой касания) и проведите прямую $ON \parallel AD$. Рассмотреть подобные треугольники $ABE$ и $ONM$.

6. $\frac{2ab}{a + b}$. Указание и е. Через точку пересечения исходного отрезка и боковой стороны трапеци проведится прямую, параллельную другой боковой стороне, до пересечения с основанием трапеци; рассмотреть полученные треугольники.

7. 4 $(1 - \alpha)$. Указание и е. Из точек $E$ и $D$ опустить перпендикуляры на сторону $AC$.

8. Указание и е. Через точку $M$ проведится прямую, параллельную основанием трапеци.

К заметке «Вечный дивигатель?»

(см. с. 54)

На шар $A$, масса которого $m_1 = \rho_1 V_1$, действует gravitationная сила

$$F_1 = \gamma \frac{m_1 m_2}{R^2} - \gamma \frac{m_1 m_2'}{R^2} = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2} m_1 -$$

равнодействующая силы прижжения со стороны шара $B$ ($m_2 = \rho_2 V_2$) и силы прижжения со стороны «зеркального отражения» шара $B$ — шарика $B'$ ($m_2' = \rho V_2$). Силу $F_1$ можно назвать весом шара $A$ в поле тяжесте шара $B$. По аналогии с «обчным» весом — весом тел в поле тяжесте Земли — можно считать, что в поле сил тяжесте шара $B$ все тела прибретают «ускорение свободного падения»

$$g' = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2}.$$

Однако $F_1$ — не единственная сила, действующая на шар $A$: мы забили еще одну силу — выталкивающий силу Архимеда. Как известно, эта сила $F_1'$ равна по величины весу жидкости, вытесенной шаром $A$, то есть $F_1' = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2} m_1',$ где $m_1' = \rho V_1$ — масса вытесенной жидкости. Например этой силы противоположно направлению $F_1$. Итак, результатирующий силу, действующая на шар $A$, равна

$$F_A = F_1 + F_1'; F_A = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2} (m_1 - m_1').$$

Аналогичным образом можно найти результатирующий силу, действующую на шар $B$:

$$F_B = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2} (m_1' - m_1).$$

Видно, что $F_B = -F_A$, то есть силы взаимодействия шаров удовлетряют третьему закон Ньютона.

При $\rho_1 < \rho < \rho_2$ силы $F_A$ и $F_B$ направлены наружу, то есть шары растяживаются. Если же $\rho_1 > \rho$ и $\rho_2 > \rho$, то силы $F_A$ и $F_B$ направлены внутри, то есть шары пригитаются.

63

Будем считать, что шар «заряжен» положительно, если его плотность $\rho_{\text{ш}}$ больше плотности жидкости $\rho$, будем считать его «нейтральным», если $\rho_{\text{ш}} = \rho$, и «заряженным» отрицательно, если $\rho_{\text{ш}} < \rho$. При этом мы имеем некоторую аналогию с электростанкой. Разница только в том, что у нас приятывалися однозначные «заряжы», а разноименные отталкиваются.

К задачам
«Квант» для младших школьников»
(см. «Квант» № 9).

1. а) Разобъем 50-угольник на два правильных 25-угольника. Поскольку женщин 25, то в вершинах одного из 25-угольников не меньше 13 женщин. Но 13 > 25/2, поэтому две женщины сидят в соседних вершинах 25-угольника, а между ними только одна вершина 50-угольника — искомая.

6. Пусть гости, у которых разбит们 приборы, соединены диагональю длины $a$. Нужно найти женщин, удаленных друг от друга на $a$.

Если $a$ — не наибольшая диагональ, то от каждой женщины идут две такие диагонали, всего $2 \cdot 26 = 52$ диагонали, а диагоналей длины $a$ всего 50; значит, какие-то две из них совпадают. Пусть это диагональ $AB$. Тогда $AB = a$, $A$ и $B$ — искомые женщины.

Если $a$ — максимальная диагональ, то от каждой женщины идут одна такая диагональ; их 26, а диагоналей всего 25, опять две диагонали совпадают.

2. $22 \times 13 = 286$
   $$\frac{1}{97} + \frac{5}{102} = \frac{119 + 65}{184}.$$

У казан и е. Легко видеть, что $\overline{A} = 9$, $\overline{K} = 0$, $\overline{P} = 1$.

3. 6 машин, 39 мотоциклов, из них 13 с коляской.

4. а) 11111229; 6) 77192329. У казан и е. Впереди надо оставлять наименьшие (наибольшие) цифры, пока это возможно.

5. Вода в маленьком сосуде кипеть не будет.

К статье «На даче»
(см. «Квант» № 9)

В расскаде два противоречия физической законам.

1. При включении холодильника температура в комнате не понятается, а повышается, так как электрическая энергия потребляемая холодильником, превращается в тепло *).

2. 127-вольтная лампочка горит ярче, чем 220-вольтная той же мощности, включенная

*) Более подробно об этом можно прочитать в решении задачи Ф285, «Квант», 1975, № 3. (Прим. ред.)

ная в электрическую сеть с напряжением 127 $\varepsilon$. Действительно, первая лампочка имеет ту же номинальное мощность, что и вторая, при меньшем напряжении, поэтому из формулы мощности электрического тока $P = \frac{U^2}{R}$ следует, что сопротивление у первого лампочки меньше, чем у второй. Но тогда (как показывает та же формула) при одинаковом напряжении первая лампочка дает больше мощность, чем вторая.

Затем ие. Если вы посчитали, что эпизод с электрическими литками описанверерно, то в этом вы не правы. Как известно, сопротивление проводника пропорционально его длине, поэтому спираль на первой литке имеет больше сопротивление, чем на второй. Отсюда следует (опять ссылаться на формулу мощности $P = \frac{U^2}{R}$), что при одинаковом напряжении первая литка имеет мощность, чем вторая.

К статье «Как? А если невозможно, то почему?»
(см. «Квант» № 9)

Вечный скиталец. Секрет невозможности попасть в «дом Д» заключается в том, что все ячейки делятся на два множества: вида $\nabla$ и вида $\Delta$. Все ячейки вида $\nabla$ заполнены нечетными числами, а ячейки вида $\Delta$ — четными. При переходе из ячейки в соседнюю виду ячейк черезют. Очевидно, что если путь совершает маршрут, состоящий из числа шаров, указанного в «нечетной» ячейке ($\nabla$), то непреемно попадает в «четную» ячейку ($\Delta$). Если же путь совершает серio шаров совершает из ячейки $\Delta$, в которой записано четное число, то он вовь оказывается в «четной» ячейке ($\Delta$). А дом путника принадлежит множество «нечетных» ячейке вида $\nabla$. Следовательно, домой путник никогда не попадает.

А логорит сильнее случая. Ящки надо переумеровать и положить на платформу весов одну деталь из ящка № 1, отделно (столбиком) две детали из ящка № 2, три — из ящка № 3, …, десять — из ящка № 10. На платформе весов оказется 10 столбков, объединяющих 55 деталей.

Определем все этих деталей и полученное число вычитаем из 55. Число десятих, содержащихся в разности, указавает номер ящка с бракованным деталями.

Трюк кинооператора — прием «решения с конца». Очевидно, что последней удаляемой фигурой является одна из двух ладей. Предположим, что процессур удаления фигур мы зафиксировали на кипопленку и пустили ее в обратном направлении. Что мы увидим? Руку, ставящую одну из белых ладей на al или на

64

Рис. 3.

h1 (две возможности для первого хода «с конца»). Второй ход «с конца» дает $2 \cdot 2 = 4$ варианта заполнения полей доски соответствующими фигурами (ладьями и конями) и так далее до тех пор, пока останется одно поле для одной последней фигуры. Всего получается $2^7 \cdot 1 = 128$ возможных различных последовательностей (и фильмов) восстановления (а значит, и удаления) восьми фигур.

Недоумение завхоза. Будем считать, что кроме пяти комнат, показанных на плане (см. рис. 3 в статье), есть еще и шестая — та, в которую ведут наружные двери (сад). Существование маршрута с заданным свойством зависит лишь от количества комнат с нечетным числом дверей. Действительно, если входишь в комнату с четным числом дверей, то всегда и выйдешь из этой комнаты, пройдя через каждую дверь по разу. Поэтому такие комнаты можно не учитывать в дальнейших рассуждениях.

Рассмотрим комнату с нечетным числом дверей. Если начало маршрута вне такой комнаты, то конец — внутри, и наоборот. Следовательно, заданный маршрут существует тогда, когда есть лишь две комнаты (вместе с «наружной») с нечетным числом дверей. В одной из них маршрут начинается, в другой — кончается. Первый план удовлетворяет условию существования решения: есть только две комнаты с нечетным числом дверей — «наружная» (7 дверей) и «B» (5 дверей).

Корректор Л. С. Сомова

113035 Москва, Ж-35, Б. Ордынка 21/16.
«Квант», тел. 234-08-11. Сдано в набор 17/VII-75 г.
Подписано в печать 5/IX-75 г.
Бумага 70×108¹/₁₆. Физ. печ. л. 4
Усл. печ. л. 5,2 Уч.-изд. л. 5,67 Т-14877
Цена 30 коп. Заказ 1539 Тираж 348 357 экз.

На втором плане (рис. 4 в статье) — 4 комнаты с нечетным числом дверей («B», «D», «E» и «наружная»). Искомый маршрут должен иметь два разрозненных «начала» и два разрозненных «конца», следовательно, непрерывным быть не может. Надо заделать одну дверь, общую для двух комнат с нечетным числом дверей.

Пятак в руках находчивого ученика. В результате построения окружностей $O_1$ и $O_2$ имеем: $O_1A \not\equiv PO_2$. Пара окружностей $O_2$ и $O_3$ дает: $PO_2 \not\equiv O_3Q$. Далее $O_3Q \not\equiv RO_4$, $RO_4 \not\equiv O_5S$ и, наконец, $O_5S \not\equiv BO_1$. Получаем $O_1A \not\equiv BO_1$, откуда и следует, что точка $B$ диаметрально противоположна точке $A$.

К головоломке Дьюдени

(см. «Квант» № 9, 1-ю с. обл.)

Первое, что приходит в голову — это разрезать одеяло по жирной зигзагообразной линии на нашем рисунке. Но это не верно: получившиеся части не совпадают по форме и размерам. Разрез следовало бы вести не по участку $C$, а по пунктирной линии $D$, но «шов» по линии $D$ не проходит. На самом же деле нужно вырезать заштрихованную часть. (Лоскут в левом верхнем углу показан для ориентации.)

К задачам

(см. «Квант» № 9, с. 29)

2. Провести окружность с центром в точке $F$ и радиусом $|AF|$. Пусть она пересекает параболу в точке $K$, тогда отрезок $KA$ — искомый (для случая, когда эта окружность не пересекает параболу, ответ найдите самостоятельно).

3. Указание. Воспользуйтесь признаком делимости на 9.

К ребусам

(см. «Квант», № 10, с. 60)

1. (По строчкам)

$$27 : 9 + 7 \times 5 = 50,$$
$$6 + 2 : 4 \times 11 = 22,$$
$$9 - 7 + 1 \times 6 = 18,$$
$$8 + 4 : 6 \times 22 = 44,$$
$$50 + 22 + 18 + 44 = 134.$$

$$99 : 11 = 9,$$
$$3 + 5 = 8,$$
$$102 : 6 = 17.$$

3. $339 \times 264 = 89\,496.$

(см. «Квант», № 9, с. 72)

1. а) $998 \times 191 = 190\,618$;
   б) $100 : 32 = 3{,}125$.

2. $87\,654 \times 19\,320 = 1\,693\,475\,280$.

---

Чеховский полиграфический комбинат
Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Чехов Московской области

---

Рукописи не возвращаются

64