Задачи М346—М350; Ф358—Ф362

38

Задачи

М346 — М350; Ф358 — Ф362

М346. Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L делит диагональ AC в отношении 3:1 (рис. 1). Докажите, что угол KLD — прямой.

Ю. Г. Бодамуров (ученик 10 класса, г. Кумаиси)

М347. Двое играют в такую игру. Первый загадыает два числа от 1 до 25, а второй должен их угадать. Он может назвать любые два числа от 1 до 25 и узнать у первого, сколько из названных им чисел — 0,1 или 2 — совпадает с загадными. За какое минимальное число вопросов он сможет наверняка определить загаданные числа?

А. А. Гризорян

М348. В таблицу 10×10 записаны числа от 1 до 100 по порядку. Затем в каждой строке и в каждом столбцеровно у половины чисел поставлен знак минус. Докажите, что в получившейся таблице сумма всех чисел равна нулю.

С. М. Адеев

М349. Какому условию должен удовлетворять длины сторона треугольника, чтобы треугольник, составленный из a) высот, 6) медиан, в) биссектрис данного треугольника, был подобен данному?

А. П. Савин

М350*. С белого углового поля шахматной доски размерми n×m (n и m больше 1) начинает двигаться слон. Дойдя до края доски, слон

39

Поворачивает под прямым углом (рис. 2). Попав в угол, он останавливается.

a) При каких $n$ и $m$ слон обойдет все бельые поля доски?

b) Сколько всего полей он обойдет на доске $n \times m$?

Рассмотите в качестве примеров доски размерами $10 \times 15, 10 \times 25, 15 \times 25$.

Е. Я. Гик, А. В. Жорницкий

Ф358. Неоднородный стержень длины $l$ может стоять у вертикальной стены, образуя угол не менее $45^\circ$ с полом. Козффициент треня стержня о пол и о стену равен $\sqrt{3}$. На какой высоте находится центр тряжести стержня?

Ф359. В цилиндрическом сосуде под поршнем находится насыщенный водяной пар при температуре $t = 20^\circ\text{C}$. При изотермическом медленном вдвигании поршня в цилиндр было отведено количество теплла $Q = 20$ ккал. Какая работа была совершена при этом внешними силами, действующими на поршень?

Рис. 3.

Ф360. Для измеренияускорения используется изогнутая трубка, заполненная водой, в которой имеется пузырек воздуха (рис. 3). Трубка изогнута по дуге окружности. Как связано положение пузырька сускорением трубки?

Ф361. Прямолинейный проводник длины $l$ и массы $m$ подвешен на двух пружинах жесткости $k$ в горизонтом однородном магнитном поле с индикцией $B$ (рис. 4). При замыкании ключа $K$ конденсатор емкости $C$, заряженный до разности потенциальов $U$, замыкается на проводник и разряжается. При этом возникают колебания проводника. Определить амплитуду этих колебаний, если время разряда конденсатора много меньше перiodа колебаний проводника.

Ф362. Слойный конденсатор состоит из трех металлических параллельных пластин площадь $S$. Пространства между пластинами заполнены диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ и удельными сопротивлениями $\rho_1$ и $\rho_2$. Толщины слое диэлектриков $d_1$ и $d_2$. Конденсатор находится под постоянным напряжением $U$. Определить заряд средней пластины при установившемся токе в цепи.