Учитесь делать дополнительные построения

48

Учитесь делать дополнительные построения
С. Б. Бельй

Почти каждую геометрическую задачу можно решить несколькими способами. Вседа интересно попытаться найти наиболее простое, «красивое» решение — тем более, что такие решения высокого оцениваются экзаменаторами. В этом очень часто помогают дополнительные построения. В одной случае эти построения направляются сами собой, в других сны не так очевидны и требуют от решающего большого опыта, изобретательности, геометрической интуции.

Перейдем к рассмотрению конкретных задач.

Задача 1. На каметах AC, BC прямогольного треугольника вне его построения квадраты ACDE и BCKF. Из точки E и F на продолжение гипотенузы опущены перепределки EM и FN. Доказать, что EM + FN = AB.

В прямогольном треугольнике ACB проведем высоту CL (см. рис. 1).

Очевидно, что ΔACL = ΔEAM, ΔBCL = ΔFBN. Поэтому EM = AL, FN = LB, EM + FN = AL + LB = AB.

Задача 2. (МФТИ, 1970). Наими высоту равноведренной границей, если ее диагонали взaimно перепределкиры, а площадь границей равна S.

Проведем через вершину C прямую, паралельную диагонали BD до пересечения с продолжением основания трапеции AD в точке E (см. рис. 2). Так как трапеция равноведренная, а диагонали ее взaimно перепределкиры; то треугольник ACE — равноведренный и прямоугольный (доказите!). В треугольнике ACE проведем высоту CF, обозначим ее длину через h. Ясно, что AF = CF, но AF равно средней линии трапеции, поэтому S = h². Следовательно, h = √S.

Как видим, эта задача совсем простая, основной трудность при

Рис. 1.
Рис. 2.

49

ee решения было договора сделать подходящие дополнительные построения.

Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC построены вне его квадраты ABDE и BCKF. Доказать, что отрезок DF в два раза больше медианы BP треугольника.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма, а медиану BP продолжим до его диагонали (см. рис. 3). Пусть $ABC = \alpha$, тогда $DBF = 180^\circ - \alpha$. Но и $BCQ = 180^\circ - \alpha$, а стороны, заключющие эти углы, также равны между собой, поэтому $\Delta DBF = \Delta QCB$. Следовательно, $BQ = 2BP = DF$.

Задача 4. Внутри треугольника найти такую точку, что если соединить отрезками прямых с вершинами треугольника, то треугольник разделится на три части, площади которых относится как $m:n:q$.

Основание AC треугольника ABC разделим точками D и E на три части в данном отношении $m:n:q$ (рис. 4). Через точку D проведем прямую, параллельную стороне AB, а через точку E — прямую, параллельную BC. Доказем, что точка O пересечения этих прямых — искомая. Для доказательства соединения вершины B с точками D и E. $S_{\Delta AOB} = S_{\Delta ABD}$, так как эти треугольники имеют общие основание AB и равные высоты. Аналогично $S_{\Delta BOC} = S_{\Delta BEC}$, а следующее и $S_{\Delta AOC} = S_{\Delta DBE}$. Но площади треугольников ABD, DBE, EBC относятся как $m:n:q$, так как все они имеют одинаковую высоту. Следовательно, $S_{\Delta AOB} : S_{\Delta BOC} = m:n:q$.

Задача 5. Через точки пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая l, пересекающая стороны AB и AC. Доказать, что сумма расстояний от прямой l до вершин B и C равна расстоянию от нее до вершины A.

Пусть O — точка пересечения медиан треугольника, AD — медиана (рис. 5). Опустим перpendикуляры BM, DL, CN, AK на прямую l. Легко видеть, что DL — средняя линия трапеции BMNC, $DL = \frac{BM + CN}{2}$, и $\Delta AKO \sim \Delta DLO$, поэтому $\frac{DL}{AK} = \frac{DO}{OA} = \frac{1}{2}$ и $AK = 2DL = BM + CN$.

Рис. 6.

Рис. 7.

З а д а ч а 6. (МГУ, мехмат, 1973). В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

Прежде всего заметим, что точки $E$ и $F$ — середины оснований $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ (см. рис. 6) — и точка $O$ пересечения диагоналей лежат на одной прямой (докажите!). Через точку $C$ проведем две прямые: одну параллельно диагонали $BD$ до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $L$, другую — параллельно $EF$. Поскольку $OF$ — медиана треугольника $AOD$, то $CK$ — медиана треугольника $ACL$. Теперь достроим треугольник $ACL$ до параллелограмма, а медиану $CK$ до его диагонали. $S_{\square ABCD} = S_{\Delta ACL} = S_{\Delta ACQ}$ (почему?). Остается заметить, что $\Delta ACQ$ прямоугольный, $S_{\Delta ACQ} = 6$.

З а д а ч а 7 (МФТИ, 1970). Две равные окружности пересекаются в точке $C$. Через точку $C$ проведены две прямые, пересекающие данные окружности в точках $A$, $B$ и $M$, $N$ соответственно. Прямая $AB$ параллельна линии центров, а прямая $MN$ образует угол $\alpha$ с линией центров. Длина $AB$ равна $a$. Найти длину отрезка $MN$.

Из точек $A$ и $B$ опустим перпендикуляры $AE$ и $BF$ на прямую $MN$ (см. рис. 7). Пусть $\sphericalangle AMC = \beta$, тогда $\sphericalangle CNB = 180^\circ - \beta$ (почему?), а $\sphericalangle FNB = \beta$. Из равенства тре-

угольников $AEC$ и $BFC$ (по гипотенузе и углу) следует, что $AE = BF$. А так как $\sphericalangle AMC = \sphericalangle FNB$, то $\Delta AEM = \Delta BFN$ и $ME = NF$. Поэтому $MN = EF = EC + CF =$

$$= \frac{a}{2}\cos\alpha + \frac{a}{2}\cos\alpha = a\cos\alpha.$$

З а д а ч а 8 (МФТИ, 1973). Две окружности радиусов $R$ и $r$ $(R > r)$ имеют внешнее касание в точке $A$. Через точку $B$, взятую на большей окружности, проведена прямая линия, касающаяся меньшей окружности в точке $C$. Найти длину отрезка $BC$, если хорда $AB$ равна $a$.

Через центр $O$ меньшей окружности и точку $B$ проведем прямую (см. рис. 8). Тогда $BC^2 = OB^2 - r^2$. По теореме косинусов

$$OB^2 = (R + r)^2 + R^2 -$$
$$-2R\,(R + r)\cos\sphericalangle AO_1B,$$

откуда

$$\cos\sphericalangle AO_1B = \frac{2R^2 - a^2}{2R^2}.$$

Следовательно,
$$BC^2 = (R+r)^2 + R^2 - 2R\,(R+r)\times$$
$$\times\ \frac{2R^2 - a^2}{2R^2} - r^2 = a^2\left(\frac{R+r}{R}\right),$$

$$BC = a\sqrt{1 + \frac{r}{R}}.$$

З а д а ч а 9 (МГУ, биофак, 1973). Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диаго-

50

51

наль BD в моче О. Найти площадь четырехугольника OMCD.

Через точку B проведем прямую параллельно AM до пересечения с продолжением стороны AD в точке E, а через точку A—прямую AF параллельно BD (см. рис. 9), $S_{\triangle EBD} = \frac{3}{4}$ (почему?). Теперь в силу подобия треугольников EFA и EBD мы можем записать: $\frac{S_{\triangle EFA}}{S_{\triangle EBD}} = \frac{EA^2}{ED^2}$.

Но $\frac{EA^2}{ED^2} = \frac{1}{9}$, отсюда находим $S_{\triangle EFA} = \frac{1}{12}$. Но $S_{\triangle EFA} = S_{\Delta BOM}$, и теперь мы можем найти площадь четырехугольника OMCD:

$S_{OMCD} = S_{\triangle BDC} - S_{\triangle BOM} = \frac{5}{12}$.

Сделаем некоторые выводы. Приступая к решению геометрической задачи, нужно иметь в виду, что общно геометрическая задача может быть решена нескольким способами. Поэтому, если у вас появилась идея решения задачи, но вы видите, что путь к решению довольно длиной, то поставайте найти другой подход к решению. При этом следует помнить, что существенную помощь могут оказать дополнительные построения.

Ураженя

1 (МФТИ, 1963). Найти площадь треугольника, медианы которого равны 12, 15 и 21 см.

2 (МФТИ, 1967). Основная равновобочий трапеци относится как 3:2. На большем основании, как на диаметре, построена окружность, высекающая на меньшем основании отрезок, равный половине этого основания. В каком отношении окружность делит боковые стороны трапеци?

3 (МФТИ, 1969). В прямогольной трапеции диагонали взаимно перpendикularны, а основания относится, как m:n. Найти отношение диагонали трапеции.

4 (МФТИ, 1970). В трапеции ABCDлина большого основания AD равна a, BC ⊥ CD, AB = BC, BD ⊥ AB. Найти стороны трапеци.

5. (МФТИ, 1970). В равноведренной трапеции с острым углом α при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит бокшее основание трапеци?

6 (МГУ, экономич. ф-т, 1964). В трапеции с основаниями a и b через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти отрезок этой прямой, заключенный между боковым сторонами.

7 (МГУ, химфак, 1967). В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, находящаяся между точками B и C, причем CD : BC = α (где α < $\frac{1}{2}$). На стороне BC между точками B и D взята точка E и через нее проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найти отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC, если известно, что CD = DE.

8 (МГУ, механит, 1973). В трапеции ABCD точки K и M являются соответствующими оснований AB = 5 и CD = 3. Найти площадь трапеции, если треугольник AMB — прямогольный, а DK — высота трапеци.