Học cách xây dựng bổ sung

48

Học cách xây dựng bổ sung
S. B. Belie

Hầu hết mọi bài toán hình học đều có thể được giải bằng nhiều cách. Việc cố gắng tìm ra cái lời giải đơn giản nhất, “đẹp” nhất luôn là điều thú vị - đặc biệt vì lời giải như vậy được giám khảo đánh giá cao. Các công trình bổ sung thường giúp ích cho việc này. Trong một trường hợp, những công trình này do chính họ chỉ đạo, trong những trường hợp khác, giấc mơ không quá rõ ràng và đòi hỏi nhiều kinh nghiệm, sự khéo léo và trực giác hình học từ người quyết định.

Hãy chuyển sang xem xét bài toán cụ thể.

Bài toán 1. Trên các cạnh AC, BC của một tam giác vuông, bên ngoài cách dựng là các hình vuông ACDE và BCKF. Từ các điểm E và F, phân phối lại EM và FN được đưa vào phần kéo dài của cạnh huyền. Chứng minh rằng EM + FN = AB.

Trong tam giác vuông ACB ta vẽ đường cao CL (xem Hình 1).

Rõ ràng, ΔACL = ΔEAM, ΔBCL = ΔFBN. Do đó EM = AL, FN = LB, EM + FN = AL + LB = AB.

Bài toán 2. (MIPT, 1970). Chiều cao của một ranh giới đều là lớn nhất nếu các đường chéo của nó được phân phối lại cho nhau và diện tích của ranh giới bằng S.

Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng đi qua đỉnh C, song song với đường chéo BD, cho đến khi nó cắt đường tiếp tục của đáy hình thang AD tại điểm E (xem Hình 2). Vì hình thang là đều và các đường chéo của nó phân bố lại cho nhau; thì tam giác ACE là tam giác đều và vuông (chứng minh đi!). Trong tam giác ACE, vẽ chiều cao CF và ký hiệu chiều dài của nó là h. Rõ ràng AF = CF nhưng AF lại bằng đường trung bình của hình thang nên S = h2. Do đó, h = √S.

Như bạn có thể thấy, bài toán này khá đơn giản, khó khăn chính với

Cơm. 1.
Cơm. 2.

49

ee lời giải đã có thỏa thuận xây dựng thêm các công trình phù hợp.

Bài toán 3. Trên các cạnh AB và BC của tam giác ABC, dựng các hình vuông ABDE và BCKF ở bên ngoài nó. Chứng minh rằng đoạn DF gấp đôi đường trung tuyến BP của tam giác.

Hãy kéo dài tam giác ABC thành hình bình hành và kéo dài đường trung bình BP theo đường chéo của nó (xem Hình 3). Đặt $ABC = \alpha$, sau đó $DBF = 180^\circ - \alpha$. Nhưng cũng $BCQ = 180^\circ - \alpha$, và các cạnh bao quanh các góc này cũng bằng nhau, do đó $\Delta DBF = \Delta QCB$. Vì vậy, $BQ = 2BP = DF$.

Bài toán 4. Bên trong tam giác, tìm một điểm sao cho nếu nối các đoạn thẳng với các đỉnh của tam giác thì tam giác sẽ được chia thành ba phần, diện tích các phần đó liên hệ với nhau là $m:n:q$.

Chúng ta chia đáy AC của tam giác ABC cho các điểm D và E thành ba phần theo tỷ lệ này $m:n:q$ (Hình 4). Qua điểm D vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, qua điểm E vẽ đường thẳng song song với BC. Hãy chứng minh rằng điểm O của giao điểm của những đường này là điểm mong muốn. Để chứng minh sự liên thông của đỉnh B với các điểm D và E. $S_{\Delta AOB} = S_{\Delta ABD}$, vì các tam giác này có chung đáy AB và có chiều cao bằng nhau. Tương tự như $S_{\Delta BOC} = S_{\Delta BEC}$ và cái tiếp theo là $S_{\Delta AOC} = S_{\Delta DBE}$. Nhưng diện tích của các tam giác ABD, DBE, EBC có tỷ lệ $m:n:q$, vì chúng đều có cùng chiều cao. Vì vậy, $S_{\Delta AOB} : S_{\Delta BOC} = m:n:q$.

Bài toán 5. Qua giao điểm các đường trung tuyến của tam giác ABC vẽ đường thẳng l cắt cạnh AB và AC. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ đường thẳng l đến đỉnh B và C bằng khoảng cách từ nó đến đỉnh A.

Gọi O là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác, AD là đường trung tuyến (Hình 5). Vẽ các đường vuông góc BM, DL, CN, AK lên đường thẳng l. Dễ dàng nhận thấy DL là đường trung bình của hình thang BMNC, $DL = \frac{BM + CN}{2}$, và $\Delta AKO \sim \Delta DLO$ nên $\frac{DL}{AK} = \frac{DO}{OA} = \frac{1}{2}$ và $AK = 2DL = BM + CN$.

Cơm. 6.

Cơm. 7.

Bài toán 6. (MSU, Cơ học và Toán học, 1973). Trong một hình thang, các đường chéo là 3 và 5, đoạn nối trung điểm của hai đáy là 2. Tìm diện tích của hình thang.

Trước hết, chúng ta lưu ý rằng các điểm $E$ và $F$—trung điểm của các đáy $BC$ và $AD$ của hình thang $ABCD$ (xem Hình 6)—và điểm $O$ của giao điểm của các đường chéo nằm trên cùng một đường thẳng (chứng minh điều đó!). Qua điểm $C$ chúng ta vẽ hai đường thẳng: một đường thẳng song song với đường chéo $BD$ cho đến khi cắt đường nối tiếp của đáy $AD$ tại điểm $L$, đường còn lại song song với $EF$. Vì $OF$ là đường trung bình của tam giác $AOD$, nên $CK$ là đường trung bình của tam giác $ACL$. Bây giờ chúng ta sẽ hoàn thành tam giác $ACL$ thành hình bình hành và đường trung tuyến $CK$ thành đường chéo của nó. $S_{\square ABCD} = S_{\Delta ACL} = S_{\Delta ACQ}$ (tại sao?). Cần lưu ý rằng $\Delta ACQ$ là hình chữ nhật, $S_{\Delta ACQ} = 6$.

Vấn đề 7 (MIPT, 1970). Hai đường tròn bằng nhau cắt nhau tại điểm $C$. Hai đường thẳng được vẽ qua điểm $C$, cắt các đường tròn này lần lượt tại các điểm $A$, $B$ và $M$, $N$. Đường thẳng $AB$ song song với đường tâm và đường thẳng $MN$ tạo thành một góc $\alpha$ với đường tâm. Độ dài của $AB$ bằng $a$. Tìm độ dài của đoạn $MN$.

Từ các điểm $A$ và $B$ chúng ta hạ các đường vuông góc $AE$ và $BF$ xuống đường thẳng $MN$ (xem Hình 7). Đặt $\sphericalangle AMC = \beta$, sau đó là $\sphericalangle CNB = 180^\circ - \beta$ (tại sao?) và $\sphericalangle FNB = \beta$. Từ đẳng thức ba

tam giác $AEC$ và $BFC$ (theo cạnh huyền và góc) thì suy ra $AE = BF$. Và vì $\sphericalangle AMC = \sphericalangle FNB$, nên $\Delta AEM = \Delta BFN$ và $ME = NF$. Vì vậy $MN = EF = EC + CF =$

$$= \frac{a}{2}\cos\alpha + \frac{a}{2}\cos\alpha = a\cos\alpha.$$

Vấn đề 8 (MIPT, 1973). Hai đường tròn bán kính $R$ và $r$ $(R > r)$ có ​​tiếp tuyến ngoài tại điểm $A$. Qua điểm $B$ lấy trên đường tròn lớn vẽ một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại điểm $C$. Tìm độ dài của đoạn $BC$ nếu dây $AB$ bằng $a$.

Chúng ta vẽ một đường thẳng đi qua tâm $O$ của hình tròn nhỏ hơn và điểm $B$ (xem Hình 8). Sau đó $BC^2 = OB^2 - r^2$. Theo định lý cosin

$$OB^2 = (R + r)^2 + R^2 -$$
$$-2R\,(R + r)\cos\sphericalangle AO_1B,$$

Ở đâu

$$\cos\sphericalangle AO_1B = \frac{2R^2 - a^2}{2R^2}.$$

Kể từ đây,
$$BC^2 = (R+r)^2 + R^2 - 2R\,(R+r)\times$$
$$\times\ \frac{2R^2 - a^2}{2R^2} - r^2 = a^2\left(\frac{R+r}{R}\right),$$

$$BC = a\sqrt{1 + \frac{r}{R}}.$$

Bài 9 (MSU, Khoa Sinh học, 1973). Qua trung điểm M cạnh BC của hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1 và đỉnh A kẻ một đường thẳng cắt đường chéo

50

51

nal BD trong nước tiểu O. Tìm diện tích tứ giác OMCD.

Qua điểm B, chúng ta vẽ một đường thẳng song song với AM cho đến khi nó cắt đoạn tiếp theo của cạnh AD tại điểm E, và qua điểm A chúng ta vẽ đường thẳng AF song song với BD (xem Hình 9), $S_{\triangle EBD} = \frac{3}{4}$ (tại sao?). Bây giờ, do sự giống nhau của các tam giác EFA và EBD nên chúng ta có thể viết: $\frac{S_{\triangle EFA}}{S_{\triangle EBD}} = \frac{EA^2}{ED^2}$.

Nhưng $\frac{EA^2}{ED^2} = \frac{1}{9}$, từ đây chúng ta tìm thấy $S_{\triangle EFA} = \frac{1}{12}$. Nhưng $S_{\triangle EFA} = S_{\Delta BOM}$, và bây giờ chúng ta có thể tìm được diện tích của tứ giác OMCD:

$S_{OMCD} = S_{\triangle BDC} - S_{\triangle BOM} = \frac{5}{12}$.

Hãy rút ra một số kết luận. Khi tiếp cận lời giải hình học bài toán, người ta phải nhớ rằng hình học tổng quát bài toán có ​​thể được giải bằng nhiều cách. Vì vậy, nếu bạn có ý tưởng cho lời giải bài toán, nhưng bạn thấy rằng đường dẫn đến lời giải khá dài, thì hãy thử tìm một cách tiếp cận khác cho lời giải. Cần nhớ rằng các công trình xây dựng bổ sung có thể cung cấp hỗ trợ đáng kể.

Urazhenya

1 (MIPT, 1963). Tìm diện tích của một tam giác có các đường trung tuyến là 12, 15 và 21 cm.

2 (MIPT, 1967). Tỷ lệ hình thang đều cơ bản là 3:2. Trên đế lớn hơn, cũng như trên đường kính, một hình tròn được xây dựng, cắt ra một đoạn bằng một nửa đế này trên đế nhỏ hơn. Đường tròn chia các cạnh của hình thang theo tỉ lệ nào?

3 (MIPT, 1969). Trong một hình thang hình chữ nhật, các đường chéo vuông góc với nhau và các đáy có quan hệ với nhau là m:n. Tìm tỉ số đường chéo của hình thang.

4 (MIPT, 1970). Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AD bằng a, BC ⊥ CD, AB = BC, BD ⊥ AB. Tìm các cạnh của hình thang.

5. (MIPT, 1970). Trong một hình thang đều có góc nhọn α ở đáy, đường tròn dựng ở một cạnh khi đường kính tiếp xúc với cạnh kia. Hỏi đáy bên của hình thang được chia theo tỉ lệ nào?

6 (MSU, Khoa Kinh tế, 1964). Trong một hình thang có hai đáy a và b, một đường thẳng song song với hai đáy được vẽ qua giao điểm của hai đường chéo. Tìm đoạn của đường thẳng này được bao quanh giữa các cạnh bên.

7 (MSU, Khoa Hóa học, 1967). Cho tam giác ABC, từ đỉnh A vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC tại điểm D, nằm giữa hai điểm B và C, và CD : BC = α (trong đó α < $\frac{1}{2}$). Trên cạnh BC giữa các điểm B và D, lấy điểm E và kẻ một đường thẳng đi qua nó, song song với cạnh AC và cắt cạnh AB tại điểm F. Tìm tỉ số diện tích của hình thang ACEF và tam giác ADC, nếu biết CD = DE.

8 (MSU, mekhanit, 1973). Trong hình thang ABCD, các điểm K và M lần lượt là các đáy AB = 5 và CD = 3. Tìm diện tích hình thang nếu tam giác AMB là tam giác vuông và DK là chiều cao của hình thang.