Tái sử dụng

60

cho đến khi mỗi lính canh bắt được tù nhân của mình. Nếu bất kỳ người bảo vệ nào bắt được một tù nhân, thì anh ta và nạn nhân của anh ta sẽ bị loại khỏi trò chơi và cặp còn lại tiếp tục trò chơi.

Ví dụ: lính canh có thể đi đến phòng giam $F$ (để đơn giản, chúng ta sẽ chỉ xem xét một cặp cai ngục), sau đó tù nhân sẽ đến phòng giam $D$, lính canh đến phòng giam $E$, tù nhân đến phòng giam $A$, cai ngục đến phòng giam $B$, tù nhân đến phòng giam $D$, v.v. Có vẻ như người canh gác đang đuổi theo tù nhân sẽ trở thành bị mắc kẹt trong vô vọng nhưng chỉ cần một chút khéo léo, bạn sẽ có thể đánh bại kẻ chạy trốn.

Đường bay

Con ruồi đậu ở ô vuông phía trên bên trái của bàn cờ (xem hình), rồi bò qua tất cả các ô vuông màu trắng. Tuy nhiên, cô chưa bao giờ bò lên ô vuông màu đen hoặc đi dọc theo cùng một ngã tư (nơi các đường dọc và ngang giao nhau) hơn một lần.

Bạn có thể vẽ đường đi của con ruồi được không? Nó có thể được tiếp tục bằng cách di chuyển trong 17 khóa học trực tiếp.

Tái sử dụng

1. Trong đường dẫn, xếp các số tương ứng vào các ô vuông sao cho thực hiện tuần tự các phép tính số học được chỉ định (từ trái sang phải và từ trên xuống dưới) thì kết quả là số sau dấu bằng.

Rebus được thiết kế sao cho cột thứ năm trùng với hàng thứ năm. Không một số nào trong rebus bằng 0 và không bắt đầu bằng 0 (các số có thể kết thúc bằng 0).

2. Trên đường đi, hãy đặt các số tương ứng vào các ô vuông sao cho đáp ứng các kết quả đã chỉ định. Không một số nào trong rebus bằng 0 và không bắt đầu bằng 0 (các số có thể kết thúc bằng 0).

3. Trong ví dụ về phép nhân, một trong các số được thay thế ở mọi nơi bằng hình vuông và các hình tròn được đặt cùng với các số khác. Cố gắng khôi phục lại ví dụ.

L. P. Mochalov

61

Đến bài viết “Tại sao tiếng đàn violin”

1. Dao động được kích thích giống như đối với một sợi dây có hình cánh cung, nhưng với sự phụ thuộc giảm dần của mômen lực rung vào vận tốc góc tương đối của con lắc và trục.
2. Dòng điện trong mạch được xác định bởi giao điểm đồ họa của đường thẳng $U(i) = \mathcal{E} - iR$ với đặc tính dòng điện-điện áp của đèn (Hình 1). Dòng điện tăng vọt xảy ra ở các giá trị điện trở $R_1 = tg\alpha_1$ (với điện trở giảm) và $R_2 = tg\alpha_2$ (với điện trở giảm), được xác định bởi sự chồng chéo của các tiếp tuyến với đặc tính dòng điện-điện áp. Sự phụ thuộc của dòng điện vào điện trở được thể hiện trên Hình 2.
3. Khi dòng điện lệch khỏi giá trị chỉ định $i$, emf sẽ xuất hiện trong mạch. Với. cảm ứng bằng $-L \frac{\Delta i}{\Delta t}$, trong đó $L$ là độ tự cảm của hồ quang vôn. Định luật Ohm trong trường hợp này có dạng: $\mathcal{E} - L \frac{\Delta i}{\Delta t} = U(i) + iR$.
   Từ đây ta tìm được tốc độ biến thiên của dòng điện: $\frac{\Delta i}{\Delta t} = \frac{\mathcal{E} - iR - U(i)}{L}$. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang Hình 6, $\delta$ trong bài viết và xem xét sự phát xạ của dòng điện $i_1$ và $i_2$. Dễ dàng nhận thấy rằng khi dòng điện thay đổi gần giá trị $i_2$ thì dòng điện tăng tương ứng với giá trị âm của biểu thức $\mathcal{E} - iR$ - $U(i)$ và do đó, tốc độ thay đổi của dòng điện là âm. Điều này có nghĩa là sau khi lệch thì dòng điện sẽ giảm, có xu hướng quay về giá trị $i_2$. Ngược lại, khi dòng điện giảm thì $\frac{\Delta i}{\Delta t} > 0$ và dòng điện sẽ tăng đến giá trị $i_2$. Do đó, giá trị hiện tại $i_2$ là ổn định. Lý do tương tự cho $i_1$ hiện tại cho thấy giá trị này không ổn định - độ lệch sẽ tăng lên. Do đó, chúng ta thu được (cũng như với sự trợ giúp của lý luận năng lượng) rằng trạng thái ổn định là trạng thái có tổng điện trở dương của mạch.
4. Sự dao động của dòng điện thổi gây ra sự dao động về nhiệt độ của nó. Kết quả là nhiệt độ và mật độ của không khí cũng phải thay đổi định kỳ và sóng âm sẽ phát sinh.

Về bài viết “Vật lý và bất đẳng thức tuyến tính”

1. $P_{\text{max}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2} \right) m$.
2. Đáp số. $R = \frac{8}{11} \text{ ом}$.
   Gợi ý. Nếu chúng ta biểu thị độ lệch lớn nhất của điện áp so với định luật Ohm bằng $z$, thì chúng ta thu được quy trình tuyến tính bài toán sau:
   $$\begin{cases} - z \leq 3 - 4R \leq z, \\ - z \leq 4 - 5R \leq z, \\ - z \leq 5 - 7R \leq z, \\ z \rightarrow \min, \end{cases}$$
3. $t_1 \approx 8 \text{ (c)}, t_2 \approx 46 \text{ (c)}$. Gợi ý. Hệ bất đẳng thức tuyến tính và hàm mục tiêu có dạng

62

4. $I_1 \approx 990$ ($c\theta$), $I_2 \approx 2260$ ($c\theta$). Gợi ý và e. Sử dụng định luật chiếu sáng, nên biên soạn chương trình tuyến tính bài toán sau:

$$\begin{cases} \frac{\cos 0^\circ}{9} I_1 + \frac{\cos 45^\circ}{18} I_2 \geq 200, \\ \frac{\cos 45^\circ}{18} I_1 + \frac{\cos 0^\circ}{9} I_2 \geq 100, \\ \frac{\cos 63^\circ 26'}{45} I_1 + \frac{\cos 45^\circ}{18} I_2 \geq 100, \\ z = I_1 + I_2 \rightarrow \min. \end{cases}$$

Đến bài viết “Học cách xây dựng bổ sung”

1. 48 $\sqrt{6} cm^2$. Gợi ý và e. Qua đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ vẽ một đường thẳng song song với đường trung tuyến $m_c$ cho đến khi nó cắt đoạn tiếp theo của đường trung tuyến $m_b$ tại điểm $B'$ và lưu ý rằng $S_{\triangle AOB'} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}$, trong đó $O$ là giao điểm của các đường trung tuyến.

2. 1:2, tính từ cơ số nhỏ nhất. Gợi ý và e. Lưu ý rằng cạnh bên của hình thang bằng bán kính của hình tròn và sử dụng định lý cát tuyến.

3. $\sqrt{\frac{m}{n}}$. Gợi ý và e. Qua đỉnh $B$ của hình thang $ABCD$ ($AB \perp AD$), vẽ một đường thẳng song song với đường chéo $AC$ cho đến khi cắt đoạn tiếp tục của đáy $AD$ tại điểm $K$; tại $\Delta KBD \Rightarrow B = 90^\circ$.

4. $AB = BC = \frac{a(\sqrt{5} - 1)}{2}$ $CD = a\sqrt{\sqrt{5} - 2}$. Gợi ý và e. Hạ giá trị ghi đè $BE$ xuống $AD$.

5. $\sin 2\alpha : 1$. Gợi ý và e. Trong hình thang $ABCD$ ($AD - \text{большое основание}$) vẽ chiều cao $BE$, nối điểm $O$ (tâm đường tròn) với các điểm $E$ và $M$ (điểm tiếp tuyến) và vẽ một đường thẳng $ON \parallel AD$. Xét các tam giác đồng dạng $ABE$ và $ONM$.

6. $\frac{2ab}{a + b}$. Gợi ý và e. Qua giao điểm của đoạn thẳng ban đầu và cạnh bên của hình thang, vẽ một đường thẳng song song với cạnh kia cho đến khi cắt đáy hình thang; xem xét các hình tam giác kết quả.

7. 4 $(1 - \alpha)$. Gợi ý và e. Từ các điểm $E$ và $D$, thả các đường vuông góc với cạnh $AC$.

8. Gợi ý và e. Qua điểm $M$ vẽ một đường thẳng song song với đáy hình thang.

Về ghi chú “Máy chuyển động vĩnh cửu?”

(xem trang 54)

Quả bóng $A$, có khối lượng $m_1 = \rho_1 V_1$, chịu tác dụng của lực hấp dẫn

$$F_1 = \gamma \frac{m_1 m_2}{R^2} - \gamma \frac{m_1 m_2'}{R^2} = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2} m_1 -$$

hợp lực của lực đốt ở phía quả bóng $B$ ($m_2 = \rho_2 V_2$) và lực đốt ở phía “phản xạ gương” của quả bóng $B$ - quả bóng $B'$ ($m_2' = \rho V_2$). Lực $F_1$ có thể gọi là trọng lượng của quả bóng $A$ trong trường trọng lực của quả bóng $B$. Bằng cách tương tự với trọng lượng “thông thường” - trọng lượng của các vật thể trong trường hấp dẫn của Trái đất - chúng ta có thể giả sử rằng trong trường lực hấp dẫn của quả bóng $B$ mọi vật thể đều thu được “gia tốc trọng trường”

$$g' = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2}.$$

Tuy nhiên, $F_1$ không phải là lực duy nhất tác dụng lên quả bóng $A$: chúng ta đã tác dụng một lực khác - lực nổi của Archimedes. Như đã biết, lực $F_1'$ này có độ lớn bằng trọng lượng của chất lỏng bị quả bóng chiếm chỗ $A$, tức là $F_1' = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2} m_1',$ trong đó $m_1' = \rho V_1$ là khối lượng của chất lỏng bị dịch chuyển. Ví dụ, lực này ngược với hướng $F_1$. Vì vậy, lực tác dụng lên quả bóng $A$ là

$$F_A = F_1 + F_1'; F_A = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2} (m_1 - m_1').$$

Theo cách tương tự, chúng ta có thể tìm kết quả lực tác dụng lên quả bóng $B$:

$$F_B = \gamma \frac{m_2 - m_2'}{R^2} (m_1' - m_1).$$

Có thể thấy rằng $F_B = -F_A$, tức là lực tương tác giữa các quả bóng thỏa mãn định luật thứ ba của Newton.

Tại $\rho_1 < \rho < \rho_2$ các lực $F_A$ và $F_B$ hướng ra ngoài, tức là các quả bóng bị kéo căng. Nếu $\rho_1 > \rho$ và $\rho_2 > \rho$ thì các lực $F_A$ và $F_B$ hướng vào trong, tức là các quả bóng thẳng hàng.

63

Chúng ta sẽ coi quả bóng “tích điện” nếu mật độ của nó $\rho_{\text{ш}}$ lớn hơn mật độ của chất lỏng $\rho$, chúng ta sẽ coi nó là “trung tính” nếu $\rho_{\text{ш}} = \rho$ và “tích điện âm” nếu $\rho_{\text{ш}} < \rho$. Trong trường hợp này, chúng ta có một số điểm tương đồng với một nhà máy điện. Điểm khác biệt duy nhất là chúng tôi đã chấp nhận những “lời buộc tội” rõ ràng và những khoản phí khác nhau sẽ bị bác bỏ.

Đến các nhiệm vụ
«Kvant» cho học sinh nhỏ»
(xem «Kvant» số 9).

1. a) Chia 50 giác thành hai 25 giác đều. Vì có 25 phụ nữ nên có ít nhất 13 phụ nữ ở các đỉnh của một trong 25 giác. Nhưng 13 > 25/2 nên hai người phụ nữ ngồi ở hai đỉnh liền kề của 25-giác và giữa họ chỉ có một đỉnh của 50-giác - đỉnh mong muốn.

6. Hãy để những vị khách có đồ dùng bị hỏng được nối với nhau bằng một đường chéo có chiều dài $a$. Chúng ta cần tìm những người phụ nữ ở xa nhau $a$.

Nếu $a$ không phải là đường chéo lớn nhất thì từ mỗi người phụ nữ có hai đường chéo như vậy, tổng cộng là $2 \cdot 26 = 52$ đường chéo và chỉ có 50 đường chéo có chiều dài $a$; điều này có nghĩa là một số trong số chúng trùng nhau. Gọi đây là đường chéo $AB$. Vậy thì $AB = a$, $A$ và $B$ chính là những người phụ nữ mà bạn đang tìm kiếm.

Nếu $a$ là đường chéo tối đa thì mỗi phụ nữ sẽ có một đường chéo như vậy; Có 26 đường chéo nhưng chỉ có 25 đường chéo, lại có hai đường chéo trùng nhau.

2. $22 \times 13 = 286$
   $$\frac{1}{97} + \frac{5}{102} = \frac{119 + 65}{184}.$$

Bạn nói chuyện với e. Dễ dàng nhận thấy rằng $\overline{A} = 9$, $\overline{K} = 0$, $\overline{P} = 1$.

3. 6 ô tô, 39 xe máy, trong đó có 13 xe sidecar.

4. a) 11111229; 6) 77192329. U kazan và e. Những số nhỏ nhất (lớn nhất) nên để ở phía trước càng lâu càng tốt.

5. Nước đựng trong bình nhỏ sẽ không sôi.

Đến bài viết “Tại nhà nước”
(xem «Kvant» số 9)

Câu chuyện chứa đựng hai mâu thuẫn với các định luật vật lý.

1. Khi bạn bật tủ lạnh, nhiệt độ trong phòng không tăng mà tăng lên do năng lượng điện mà tủ lạnh tiêu thụ được chuyển thành nhiệt *).

2. Bóng đèn 127 volt cháy sáng hơn bóng đèn 220 volt có cùng công suất khi bật.

*) Bạn có thể đọc thêm về điều này trong lời giải bài toán F285, «Kvant», 1975, Số 3. (Ghi chú của biên tập viên)

được nối vào mạng điện có điện áp 127 $\varepsilon$. Thật vậy, bóng đèn thứ nhất có cùng mức công suất như bóng đèn thứ hai ở điện áp thấp hơn, do đó, từ công thức cường độ dòng điện $P = \frac{U^2}{R}$, ta suy ra rằng điện trở của bóng đèn thứ nhất nhỏ hơn điện trở của bóng đèn thứ hai. Nhưng sau đó (như cùng một công thức cho thấy) ở cùng một điện áp, bóng đèn đầu tiên cho nhiều năng lượng hơn bóng đèn thứ hai.

Thế thì ee. Nếu bạn cho rằng tình tiết có dàn diễn viên điện được mô tả chính xác thì bạn đã nhầm. Như bạn đã biết, điện trở của dây dẫn tỷ lệ thuận với chiều dài của nó, do đó đường xoắn ốc ở lần đúc đầu tiên có điện trở lớn hơn ở lần đúc thứ hai. Từ đó (tham khảo lại công thức công suất $P = \frac{U^2}{R}$) ở cùng một điện áp, lần đúc đầu tiên có nhiều công suất hơn lần đúc thứ hai.

Đến bài viết “Làm thế nào? Và nếu không thể thì tại sao?”
(xem «Kvant» số 9)

Kẻ lang thang vĩnh cửu. Bí quyết không thể vào “nhà D” là tất cả các ô đều được chia thành hai bộ: loại $\nabla$ và loại $\Delta$. Tất cả các ô có dạng $\nabla$ chứa đầy số lẻ và các ô có dạng $\Delta$ chứa đầy số chẵn. Khi di chuyển từ một ô sang ô liền kề, các ô sẽ bị chéo. Rõ ràng, nếu một đường dẫn đi theo một tuyến đường bao gồm số quả bóng được chỉ định trong ô “lẻ” ($\nabla$), thì chắc chắn nó sẽ kết thúc trong ô “chẵn” ($\Delta$). Nếu một loạt các quả bóng tạo một đường dẫn từ ô $\Delta$, trong đó một số chẵn được viết, thì nó lại kết thúc trong ô “chẵn” ($\Delta$). Và ngôi nhà của người du hành thuộc tập hợp các ô “lẻ” có dạng $\nabla$. Kết quả là người du hành không bao giờ về tới nhà.

Và logorite mạnh hơn cơ hội. Các hộp phải được thay đổi kích thước và đặt trên bệ cân một phần từ hộp số 1, riêng biệt (trong một cột) hai phần từ hộp số 2, ba phần từ hộp số 3, …, mười phần từ hộp số 10. Trên bệ cân sẽ có 10 cột gồm 55 phần.

Chúng tôi xác định tất cả các phần này và trừ số kết quả từ 55. Số hàng chục chứa trong chênh lệch cho biết số hộp có các bộ phận bị lỗi.

Thủ thuật của người quay phim là kỹ thuật “lời giải từ cuối”. Rõ ràng quân cuối cùng bị loại bỏ là một trong hai quân xe. Giả sử rằng chúng ta đã ghi lại quá trình loại bỏ các hình ảnh trên phim và chạy theo hướng ngược lại. Chúng ta sẽ thấy gì? Một bàn tay đặt một trong các quân xe trắng lên al hoặc

64

Cơm. 3.

h1 (hai khả năng cho nước đi đầu tiên “từ cuối”). Nước đi thứ hai “từ cuối” cung cấp $2 \cdot 2 = 4$ tùy chọn để điền vào các ô trên bàn cờ với các quân cờ tương ứng (quân xe và quân mã), v.v. cho đến khi còn một ô cho quân cuối cùng. Tổng cộng có $2^7 \cdot 1 = 128$ có thể có các trình tự (và phim) khác nhau về quá trình khôi phục (và do đó bị xóa) gồm tám nhân vật.

Sự bối rối của người chăm sóc. Chúng tôi sẽ giả định rằng ngoài năm phòng như trong sơ đồ (xem Hình 3 trong bài viết), còn có một phòng thứ sáu - phòng có cửa bên ngoài dẫn vào (khu vườn). Sự tồn tại của một tuyến đường với một thuộc tính nhất định chỉ phụ thuộc vào số phòng có số cửa ra vào là số lẻ. Thật vậy, nếu bạn vào một căn phòng có số cửa chẵn thì bạn sẽ luôn rời khỏi căn phòng này bằng cách đi qua mỗi cửa một lần. Vì vậy, những căn phòng như vậy có thể được bỏ qua trong các cuộc thảo luận tiếp theo.

Xét một căn phòng có số cửa ra vào là số lẻ. Nếu điểm đầu của tuyến đường ở bên ngoài một căn phòng như vậy thì điểm cuối ở bên trong và ngược lại. Do đó, một tuyến đường nhất định tồn tại khi chỉ có hai phòng (bao gồm cả phòng “bên ngoài”) có số lượng cửa ra vào là số lẻ. Ở một trong số đó, tuyến đường bắt đầu, ở nơi khác thì nó kết thúc. Phương án đầu tiên thỏa mãn điều kiện tồn tại lời giải: chỉ có hai phòng có số cửa lẻ - “ngoài” (7 cửa) và “B” (5 cửa).

Người hiệu đính L. S. Somova

113035 Moscow, Zh-35, B. Ordynka 21/16.
«Kvant», điện thoại. 234-08-11. Được giao theo bộ 17/VII-75.
Ký xuất bản ngày 5/IX-75.
Giấy 70×108¹/₁₆. Vật lý. lò nướng l. 4
Lò nướng có điều kiện l. 5.2 Biên tập học thuật. tôi. 5,67 T-14877
Giá 30 kopecks. Đặt hàng 1539 Số phát hành 348 357 bản.

Ở phía sau (Hình 4 trong bài viết) có 4 phòng với số lượng cửa lẻ (“B”, “D”, “E” và “ngoài”). Tuyến đường yêu cầu phải có hai “điểm đầu” và hai “điểm cuối” riêng biệt; do đó, nó không thể liên tục. Cần phải bịt kín một cửa, chung cho hai phòng có số cửa là số lẻ.

Một đồng xu trong tay một sinh viên tháo vát. Kết quả của việc xây dựng các vòng tròn $O_1$ và $O_2$ là chúng ta có: $O_1A \not\equiv PO_2$. Một cặp vòng tròn $O_2$ và $O_3$ cho: $PO_2 \not\equiv O_3Q$. Tiếp theo $O_3Q \not\equiv RO_4$, $RO_4 \not\equiv O_5S$ và cuối cùng là $O_5S \not\equiv BO_1$. Chúng ta nhận được $O_1A \not\equiv BO_1$, từ đó suy ra điểm $B$ đối diện hoàn toàn với điểm $A$.

Đối với câu đố của Dudeney

(xem «Kvant» Số 9, khu vực thôn 1)

Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là cắt tấm chăn dọc theo đường ngoằn ngoèo dày trong bản vẽ của chúng ta. Nhưng điều này không đúng: các bộ phận thu được không khớp về hình dạng và kích thước. Việc cắt không được thực hiện dọc theo phần $C$ mà dọc theo đường chấm $D$, nhưng “đường may” không đi dọc theo đường $D$. Trên thực tế, bạn cần phải cắt bỏ phần bóng mờ. (Nắp ở góc trên bên trái được hiển thị để định hướng.)

Đến các nhiệm vụ

(xem «Kvant» Số 9, trang 29)

2. Vẽ một đường tròn có tâm tại điểm $F$ và bán kính $|AF|$. Để nó cắt parabol tại điểm $K$ thì đoạn $KA$ là đoạn cần tìm (trường hợp đường tròn này không cắt parabol thì bạn tự tìm đáp số).

3. Gợi ý. Sử dụng phép thử chia hết cho 9.

Đến những câu đố

(xem «Kvant», Số 10, trang 60)

1. (từng dòng một)

$$27 : 9 + 7 \times 5 = 50,$$
$$6 + 2 : 4 \times 11 = 22,$$
$$9 - 7 + 1 \times 6 = 18,$$
$$8 + 4 : 6 \times 22 = 44,$$
$$50 + 22 + 18 + 44 = 134.$$

$$99 : 11 = 9,$$
$$3 + 5 = 8,$$
$$102 : 6 = 17.$$

3. $339 \times 264 = 89\,496.$

(xem «Kvant», Số 9, trang 72)

1. a) $998 \times 191 = 190\,618$;
   b) $100 : 32 = 3{,}125$.

2. $87\,654 \times 19\,320 = 1\,693\,475\,280$.

---

Nhà máy in Chekhov
Soyuzpolygrafproma
trực thuộc Ủy ban Nhà nước của Hội đồng Bộ trưởng
Liên Xô về các nhà xuất bản, in ấn và buôn bán sách, Chekhov, khu vực Moscow

---

Bản thảo không được trả lại

64