Xây dựng đường cong đại số bằng cơ chế bản lề

30

Xây dựng đường cong đại số bằng cơ chế bản lề

Ghi chú này ra đời từ một báo cáo của một cậu học sinh Moscow, học sinh lớp 9 Vadim Knizhnik tại một hội nghị của trường. Nó cho biết cách sử dụng các cơ chế bao gồm các dải có rãnh và ốc vít, bạn có thể xây dựng các biểu đồ của nhiều chức năng khác nhau.

Cơ chế

Chúng ta sẽ gọi cơ cấu bản lề là một hệ thống các dải có các rãnh và lỗ được nối với nhau bằng vít. Trong trường hợp này, các khe và lỗ được đặt dọc theo trục của thanh. Khi được kết nối bằng vít, các dải có lỗ chỉ có thể xoay quanh vít và các dải có khe có thể được xoay và dịch chuyển (Hình 1; ký hiệu kết nối được hiển thị bên dưới).

Các cơ chế này hoạt động như thế này. Hai dải vuông góc được cố định trên mặt phẳng, tạo thành hệ tọa độ hình chữ nhật $Oxy$. Các cơ chế được gắn vào các thanh vít này, có một “đầu vào” - một lỗ di chuyển dọc theo trục $Ox$ và một “đầu ra” - một lỗ luôn nằm trên cùng một phương thẳng đứng với đầu vào, nhưng ở độ cao tùy thuộc vào vị trí của đầu vào. Nếu bạn chèn một cây bút chì vào “đầu ra” và vẽ “đầu vào” dọc theo trục $Ox$, thì bút chì sẽ vẽ một đường cong - một biểu đồ của một số.

Đối với các mục đích tiếp theo, sẽ rất hữu ích nếu duy trì một khối “góc” khác, bao gồm ba tấm ván (có lỗ) được buộc chặt bằng vintimi. Khối này khi được vặn bằng các vít giống nhau vào hai thanh bất kỳ có khe, chỉ cho phép chúng di chuyển, duy trì một góc không đổi giữa chúng (được biểu thị trong hình - góc).

Ví dụ

Hình 2, $a$, hiển thị một cơ chế có đầu vào $A$ và đầu ra $B$, vẽ đồ thị hàm $y=x$. Nó dựa trên thực tế là một hình chữ nhật có đường chéo tạo thành một góc $45^\circ$ với đáy là hình vuông. Hình 2, $b$ cho thấy cơ chế vẽ đồ thị của hằng số $(y=c)$. Chúng ta sẽ biểu thị cơ chế xây dựng đồ thị của hàm $f$ (Hình 2, $\theta$) trong hình bằng một đường lượn sóng nối đầu vào $A$ và đầu ra $B$, ở giữa đường lượn sóng chúng ta sẽ viết $f$ thành một vòng tròn và đặt một mũi tên ở đầu ra; và trong văn bản, chúng tôi sẽ biểu thị một cơ chế như vậy bằng chữ cái $f$.

Vì vậy, chúng tôi đã có hai chức năng. Chúng ta hãy tìm hiểu cách nhân, cộng, chia hàm và trích xuất nghiệm của hàm.

Khối các phép toán đại số

Khối bổ sung. Theo định nghĩa, chúng ta hãy gọi khối cộng là một phương thức kết nối các cơ chế $f$ và $g$, trong đó điểm $C$—đầu ra $g$—viết ra đồ thị của hàm $y(x) = f(x) + g(x)$. Khối bổ sung được hiển thị trong Hình 3. Trục abscissa

31

cơ chế $g$ trùng với trục $O'x'$ trong hình, đầu vào của nó là điểm $B$ - đầu ra của cơ chế $f$.

Khối nhân. Đây là một cách kết nối cơ chế $f$ và $g$, trong đó đầu ra $D$ ghi ra đồ thị của hàm $y(x) = f(x) \cdot g(x)$. Khối nhân được hiển thị trong Hình 36. Ở đây $|AM| = 1$, $(PD) \parallel (CM)$, vậy

$$\frac{|AD|}{|AP|} = \frac{|AC|}{|AM|}.$$

Nhưng $|AP| = |AB|$, $|AM| = 1$, do đó $|AD| = |AC| \cdot |AB| = f(x) \times g(x)$.

Khối phân chia. Khối này được lấy từ khối nhân nếu đầu ra $f$ được di chuyển đến điểm $D$; thì tại điểm $C$ sẽ thu được đầu ra của cơ chế $f/g$.

Khối trích xuất gốc. Khối này được lấy từ khối nhân, nếu các điểm $B$ và $C$ được kết hợp và đầu ra của cơ chế $f$ được đặt tại điểm $D$, thì tại điểm $C$ thu được đầu ra của cơ chế $\sqrt{f(x)}$. Khối $\sqrt[n]{f(x)}$ được xây dựng theo cách tương tự.

Biểu đồ kiểm soát

Bằng cách sử dụng các cơ chế và khối được mô tả, bạn có thể xây dựng cơ chế xây dựng đồ thị của các hàm khác nhau như đa thức, phân số đại số, v.v. Cũng có thể tạo cơ chế xây dựng đồ thị điều khiển $P(x,y) = 0$, trong đó $P(x,y)$ là một số đa thức. Để thực hiện điều này, cơ chế thể hiện trong Hình 4 trước tiên được lắp ráp. Điểm $X$ và $Y$ được coi là kết quả đầu ra cho “hàm” $y = x$, $y = y$. Sau đó, cơ chế $P(x,y)$ được lắp ráp, đầu vào của chúng là $X$ và $Y$, và đầu ra được đặt tại điểm $C$ (nghĩa là vị trí của điểm $Y$ sao cho đầu ra ở điểm $C$). Sau đó, điểm $Y$ chỉ có thể di chuyển sao cho tọa độ $x$, $y$ của nó thì đẳng thức $P(x,y) = 0$ là hợp lệ. Nếu bạn cầm bút đứng ở điểm $Y$ thì nó chỉ được di chuyển theo lịch điều khiển $P(x,y) = 0$.