Olympic MIPT

56

Thế vận hội MIPT

Nhiều cuộc thi toán học khác nhau trong lịch sử toán học đã được biết đến từ lâu. Lịch sử đã mang lại cho chúng ta thông tin về việc nhảy biểu diễn toán học được thực hiện từ thế kỷ 13.

Lịch sử Olympic vật lý và toán học học đường bắt đầu từ năm 1894, khi kỳ thi Olympic toán học đầu tiên dành cho học sinh được tổ chức ở Hungary, được tổ chức tại Leningrad vào mùa xuân năm 1934. Những người khởi xướng Olympic này là Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô B. N. Delaunay (Chủ tịch Ban tổ chức Olympic) và Giáo sư V. A. Tartakovsky.

Theo sáng kiến ​​của Hội Toán học Mátxcơva, vào mùa thu năm 1935, kỳ thi Olympic Toán học Mátxcơva đầu tiên dành cho học sinh đã được tổ chức. Các nhà toán học Matxcơva chào đón cô rất nhiệt tình. Ban tổ chức bao gồm các nhà toán học hàng đầu Moscow.

Cho đến Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, Olympic toán học được tổ chức hàng ngày ở Moscow và rất nhanh chóng được công nhận rộng rãi. Trong cuộc chiến ở Mátxcơva, Olympic toán học được tổ chức ở Ashgabat và Kazan. Sau Chiến tranh Vệ quốc, tổ chức Olympic toán học đã trở thành truyền thống ở nhiều thành phố ở Liên Xô.

Theo chân các nhà toán học, vật lý học, hóa học, thiên văn học, địa lý học, sinh học và sau đó là ngôn ngữ học bắt đầu tiến hành Olympic của họ.

Kỳ thi Olympic vật lý đầu tiên được tổ chức tại Đại học Moscow vào năm 1938. Kể từ đó, những kỳ Olympic này đã trở thành truyền thống đối với học sinh Moscow.

Sau đó, những kỳ Olympic như vậy bắt đầu được tổ chức bởi Viện Vật lý và Công nghệ Moscow (MIPT) và các trường đại học khác ở Moscow. Sáng kiến ​​​​của Moskvychny đã được áp dụng ở các thành phố khác trong nước.

Tháng 2 năm 1962, Olympic vật lý và toán học “lớn” đầu tiên dành cho học sinh đã diễn ra theo sáng kiến ​​của MIPT. Hơn 6.500 học sinh từ 58 thành phố của Liên Xô đã tham gia. Nó được tổ chức một vòng trong kỳ nghỉ đông.

Hình thức tổ chức Thế vận hội rất thú vị. Sinh viên và nghiên cứu sinh của viện đã tổ chức nó trong mùa đông

*) A.P. Savin và những người khác. “Olympic Vật lý và Toán học.” M., “Kiến thức”, 1977.

rồi tìm giao điểm của tập hợp lời giải. Thường thì những giao lộ này rất dễ tìm. Nhưng đôi khi để tìm lời giải cần phải giải các sai phân của phương trình.

Ví dụ 4: Giải phương trình
$$\cos 2x + \cos \frac{3x}{4} = 2.$$ (4)

Vì giá trị lớn nhất của hàm $y = \cos t$ bằng 1 nên phương trình (4) tương đương với hệ
$$\begin{cases} \cos 2x = 1, \\ \cos \frac{3x}{4} = 1, \\ x_1 = \pi k, \\ x_2 = \frac{8\pi n}{3} \end{cases}$$

(k, $n \in \mathbb{Z}$). Giải phương trình (4) là giao của chuỗi $x_1$ và $x_2$, tức là ta cần giải phương trình

57

một phần không thể thiếu của All-Olympids, và bài toán được trình bày trong cuốn sách được phân biệt bởi trình độ khoa học cao và được cân nhắc kỹ lưỡng từ quan điểm phương pháp luận.

Cuốn sách bắt đầu bằng câu chuyện về lịch sử Thế vận hội. Các tác giả của cuốn sách đã trực tiếp tham gia tổ chức các cuộc thi Olympic “lớn” và họ có điều muốn nói với độc giả. Chương này, được viết một cách sống động và mang tính trải nghiệm, là một khởi đầu tốt cho cuốn sách.

Chương thứ hai và thứ ba chứa các công thức bài toán, tương ứng với toán học và vật lý, được cung cấp tại Thế vận hội MIPT. bài toán được thu thập chỉ là một phần trong số rất nhiều bài toán đã được cung cấp tại Thế vận hội trong 15 năm.

Cần nhấn mạnh rằng hầu hết bài toán đều không hề chuẩn và nói chung là khá khó.

Nhiều bài toán được xây dựng rất phức tạp và cực kỳ nhân tạo: không chỉ các loài động vật, côn trùng và cá khác nhau tham gia vào công thức, mà thậm chí cả … ma. Nhưng công thức của người lập kế hoạch ẩn chứa những phép toán rất ý nghĩa và khó bài toán. Vì vậy, một bài toán rất nhỏ được liên kết với Ali Baba và… cá trích. Bản thân nó rất phức tạp - bạn cần đưa ra một chiến lược, sau đó bạn có thể đưa tất cả cá trích về cùng một vị trí với một số lần di chuyển cố định (bài toán 98).

Sau khi chia giải Olympic quốc tế Borya Yusin năm 1975 (Teler, anh là sinh viên Đại học quốc gia Moscow) cùng với em trai mình đã cố gắng khái quát hóa bài toán này trong một thời gian khá dài, khi “cá trích” là $n$, và chỉ $k$ trong số chúng được phép nhìn và thay đổi. Cuối cùng, họ thậm chí còn nghĩ ra hai lời giải khác nhau. Đây là cách B. Yusin xây dựng bài toán một cách tổng quát:

Petya và Vasya đang chơi trò chơi sau. Họ có một cái đĩa có hình $n$-gon thông thường, ở các góc có các công tắc $n$ được đậy bằng nắp. Petya muốn tất cả các công tắc bật hoặc tắt cùng một lúc. Để làm điều này, anh ta có thể mở bất kỳ nắp $k$ nào và đặt từng công tắc $k$ này vào bất kỳ vị trí nào mà anh ta chọn, sau đó anh ta phải phản hồi, trong khi đó Vasya sẽ đóng nắp và có thể xoay tấm theo bất kỳ góc nào. Sau đó Petya có thể làm lại điều tương tự, v.v. Vị trí ban đầu của Petya không rõ. Nếu anh ấy thêm thông tin của mình, Vasya sẽ nói với anh ấy điều này ngay khi anh ấy trả lời. Petya có chiến lược chiến thắng ở mức $k$ và $n$ nào?

Hãy thử giải quyết điều này bài toán. Đáp số hóa ra là:

$$\pi k = \frac{8\pi n}{3}.$$ Từ đây chúng ta thu được phương trình $3k = 8n$, có lời giải $k = 8t, n = 3t$. Vì vậy, đáp số trong bài toán trông như thế này:

$$\{8\pi t \mid t \in \mathbb{Z}\}.$$

Trận chiến

Giải các phương trình sau.

1. $$\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\cos x \cos 2x} = \frac{1}{\sin x} -$$

$$-\frac{1}{\cos 2x \cos 3x}.$$

2. $$\cos x \left(tg x + tg 3x\right) = 4 \sin 3x \sin 4x.$$

3. $$\cos 3x \tg 5x = \sin 7x.$$

4. $$\tg x - \text{ctg} 3x + \text{ctg} 4x = 0.$$

5. $$\cos^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{3x}{2} - \sin^2 2x - \sin^2 4x = 0.$$

6. $$1 + \sin x - \cos 5x - \sin 7x = 2 \cos^2 \frac{3}{2} x.$$

7. $$2 \cos^2 3x + \sin 5x = 1.$$

8. $$\sin x \sin 3x + \sin 6x \sin 10x = 0.$$

9. $$\cos 3x + \cos \frac{5x}{2} = 2.$$

58

giờ chỉ có thể đến sau khi thực hành thích hợp, và điều này phải được dạy cho cả học sinh và học sinh càng sớm càng tốt.

Chương thứ tư và thứ năm chứa lời giải bài toán, được sưu tầm ở chương 2 và 3. Lời giải được viết đầy đủ chi tiết. Sự hiểu biết, và một phần là sự ngắn gọn của lời giải, được hỗ trợ rất nhiều nhờ các hình vẽ kèm theo từ ngữ và lời giải bài toán.

Một số điểm chưa hài lòng vẫn còn ở khâu thiết kế in ấn của cuốn sách. Thật không may, một phần đáng kể của các bản vẽ liên quan đến các nhiệm vụ riêng lẻ không được hiển thị trên các trang có in bài toán. Điều này làm cho cuốn sách khó đọc. Thật đáng tiếc khi không có sự đồng nhất trong bộ công thức (ví dụ: các biểu thức được gõ khác nhau).

Chương cuối cùng - chương thứ sáu - sẽ trình bày bài toán, cũng được cung cấp tại Thế vận hội Olympic, nhưng không có lời giải. Việc đưa một chương như vậy vào cuốn sách là vô cùng hữu ích và hữu ích vì nó cung cấp tài liệu bổ sung rất phong phú cho hoạt động độc lập của học sinh, tài liệu cho giáo viên và lãnh đạo các nhóm vật lý và toán học, cho học sinh và ban tổ chức Olympic, có thể được sử dụng cho nhiều loại bài tập ngoại khóa về vật lý và toán học.

Cuốn sách này dành cho học sinh và giáo viên trung học, chắc chắn sẽ đóng một vai trò quan trọng trong việc nâng cao kiến ​​thức vật lý và toán học.

Để kết luận, chúng tôi muốn trích dẫn một vài bài toán từ cuốn sách này:

Toán học

1. Cho một góc trên mặt phẳng. Tìm tập hợp các đường tròn ngoại tiếp đường tròn có trọng số của các tam giác nghèo, có các đỉnh ở đáy nằm trên các cạnh đối diện của góc này và đỉnh thứ ba nằm tại một điểm A cho trước trên đường phân giác của nó.

2. Các đường chéo được vẽ trong tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng một tứ giác có các đỉnh tại giao điểm các đường trung tuyến của các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD đồng dạng với tứ giác đã cho.

3. Tại đáy của một đường thẳng tứ giác có một hình thoi có một góc 60° tại đỉnh A. Cạnh bên đi ra từ đỉnh A bằng các cạnh của hình thoi. Chứng minh rằng các cạnh bên còn lại có thể dùng để tạo thành một tam giác vuông.

4. Hai quân cờ được đặt trên bàn cờ 8x8 ô. Hai người chơi lần lượt thực hiện các nước đi cho mỗi quân cờ của mình. Quân của người chơi đầu tiên chỉ có thể di chuyển một ô vuông theo chiều dọc hoặc chiều ngang cho mỗi quân cờ. Chip thứ hai là một ô theo chiều dọc hoặc chiều ngang, chỉ một ô theo đường chéo. Người nào đặt fikuku của mình lên tấm fikuku của parterre sẽ thắng. Ai thắng khi chơi đúng?

5. n người chơi chơi trò chơi sau: có (2n + 1) quân cờ, trong đó 2k quân đen, còn lại quân trắng. Những người chơi ngồi quanh bàn và mỗi người nhận được hai quân cờ. Bằng cách rút thăm, một trong những người chơi sẽ lấy quân cờ còn lại. Nếu anh ta có ba quân cờ cùng màu thì anh ta thắng và trò chơi kết thúc; nếu không thì anh ta giữ lại quân cờ cùng màu cho mình và đưa con thứ ba cho người hàng xóm. Nếu anh ta có ba quân cờ cùng màu thì anh ta thắng, nếu không thì anh ta làm như quân đầu tiên, v.v.

Chứng minh rằng với k không bằng n thì trò chơi sẽ kết thúc với số hữu hạn lần chuyển quân cờ (nước đi). Tìm số lần di chuyển tối đa trong trò chơi này.

Vật lý

6. Một người đàn ông đi dọc theo tấm khăn choàng đường sắt. Chiều dài tối đa của bước của nó là 0,8 m. Tà vẹt được bố trí sao cho có đúng 200 tà vẹt trên mỗi đoạn dài 100 mét. Khoảng cách giữa các chawls không nhỏ hơn 0,3 m và không quá 0,6 m và có thể thay đổi trong giới hạn này tùy theo từng nhà gỗ. Với mỗi lần đặt khăn choàng trên 1 km đường đi và với mỗi mức tối thiểu?

7. Hai đơn vị tự trị có quyền lực như nhau. Tốc độ tối đa của lần đầu tiên là v₁ km/h, lần thứ hai là v₂ km/h. Hỏi nếu xe này kéo xe kia thì tốc độ tối đa có thể đạt được là bao nhiêu?

8. Ước tính năng suất tối thiểu cho phép hàng ngày đối với một cryta có khối lượng M và bán kính R.

9. Nếu động cơ đốt trong không được điều chỉnh hợp lý, đôi khi thay vì hỗn hợp nhiên liệu đốt cháy tương đối chậm, hiện tượng gọi là “nổ” lại xảy ra, khi hỗn hợp cháy nhanh và phát nổ. Tại sao hiệu suất giảm? phong trào?

10. Cabin tàu vũ trụ có một hang động cao tầng trong điều kiện không có trọng lực. Một quả cầu dính nhiệt dẫn điện tốt được nung nóng trong lò bằng dòng điện tần số cao và bắt đầu nổi lên. Xây dựng phương pháp xác định bằng thực nghiệm thời điểm viên bi tan chảy hoàn toàn. Để đơn giản, giả sử rằng sự trao đổi vật thể giữa quả cầu và môi trường tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ của chúng. Nhà nghiên cứu du hành vũ trụ có cơ hội quan sát sự tan chảy một cách trực quan, có thể thay đổi năng lượng cung cấp cho quả bóng và sử dụng các dụng cụ cũng như sách tham khảo mà anh ta cần.

11. Hãy ước tính kích thước của các hạt bụi kim loại trong Hệ Mặt trời để áp suất ánh sáng mặt trời truyền cho chúng một tốc độ hướng ra xa Mặt trời? Độ sáng của Mặt trời L = 4,10³³ erg/s, khối lượng M = 2,10³³ g, hằng số hấp dẫn γ = 6,67,10⁻⁸ dyn.cm²/g².

M. Smolyansky, A. Smasenko