Câu chuyện Galileo khám phá ra định luật chuyển động

Kvant 1980, số 1 tr. 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25 Thẻ IKTJ

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

S. Gindikin

Những nền tảng đầu tiên của động lực học được Galileo đặt ra. Tác dụng của các lực chỉ được xem xét trong trường hợp chúng cân bằng; và mặc dù chuyển động tăng tốc của các vật thể tự do cho ăn và chuyển động cong của các vật thể bị ném cũng gán một lực tác dụng không đổi cho trọng lực, nhưng không thể thiết lập quy luật của hiện tượng kết hợp này, chỉ vì một lý do đơn giản như vậy. Galileo là người đầu tiên thực hiện bước này và đã mở ra một lĩnh vực mới và vô hạn cho sự phát triển của cơ học. Khám phá này… giờ đây là phần công lao quan trọng nhất và không thể xóa nhòa của con người vĩ đại này. Thật vậy, để khám phá các vệ tinh của Sao Mộc, các pha của Sao Kim, các vết đen mặt trời, v.v., chỉ cần một chiếc điện thoại và sự quan sát, nhưng cần phải có một thiên tài đặc biệt mới có thể thiết lập các quy luật tự nhiên về những hiện tượng luôn ở trước mắt mọi người nhưng vẫn lọt khỏi sự chú ý của các triết gia.

Lagrange

Lời mở đầu

Vincenzo Galilei, một nhạc sĩ nổi tiếng ở Florence, đã suy nghĩ rất lâu về việc chọn loại chương trình nào cho con trai cả Galileo của mình. Người con trai chắc chắn có khả năng âm nhạc, nhưng người cha thích thứ gì đó đáng tin cậy hơn.

Năm 1581, khi Galileo mười bảy tuổi, cán cân nghiêng về phía y học. Vincenzo hiểu rằng chi phí đào tạo sẽ cao nhưng tương lai của con trai ông sẽ được đảm bảo. Địa điểm

Chân dung Galileo. Bản khắc thế kỷ 17.

đi học đại học. Galileo ở lại Pisa cho đến khi chuyển đến Padua vào năm 1592. Galilee coi mười tám năm sống ở Padua là khoảng thời gian hạnh phúc nhất trong cuộc đời ông. Từ năm 1610 cho đến cuối đời, ông là “nhà triết học và nhà toán học đầu tiên của Đại công tước Tuscany thanh thản nhất, Cosimo II Medici”. Vào tháng 4 năm 1611, Galileo trở thành thành viên của Accademia Lincii (Mắt đỏ), được thành lập độc lập bởi Federaco Cesi, Hầu tước Monticelli. Kể từ đó, Galileo đã ký tất cả các tác phẩm của mình “Galileo Galilei LynchEO”.

rơi tự do

Đối với mối quan tâm khoa học của Galileo, ông vẫn quan tâm đến các chuyển động và trên hết là sự rơi tự do của các vật thể, một trong những chuyển động tự nhiên phổ biến nhất. Như thông lệ vào thời điểm này, chúng ta cần bắt đầu với những gì Aristotle lập luận về vấn đề này. Ý kiến của người sau dựa trên hai tiên đề: tốc độ của vật rơi tỉ lệ thuận với trọng lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với “mật độ của môi trường”. Những khó khăn rõ ràng nảy sinh với tuyên bố thứ hai: hóa ra trong sự trống rỗng, “mật độ” của nó bằng 0, tốc độ rơi phải là vô hạn. Về vấn đề này, Aristotle nói thêm rằng không có sự trống rỗng trong tự nhiên (“tự nhiên bị ràng buộc bởi sự trống rỗng”).

Năm 1585, Galileo có cơ hội làm quen với luận thuyết bất di bất dịch của Benedetti, người đã tự cho phép mình không đồng ý với phát biểu đầu tiên của Aristotle. Và đây là vấn đề. Giả sử có hai vật - nặng và nhẹ (Hình 1); cái đầu tiên phải rơi nhanh. Bây giờ hãy kết nối chúng. Điều tự nhiên là cho rằng vật nhẹ được ưu tiên hơn vật nặng và tốc độ rơi trở thành trung gian giữa tốc độ rơi của các vật thể cấu thành. Nhưng theo Aristotle, tốc độ phải lớn hơn tốc độ của mỗi vật thể. Nghĩ đến công việc của Benedetti, Galile bắt đầu suy ngẫm. Nhưng họ không thực sự tin vào lý luận, và theo Vivania, “ông ấy đã chứng minh điều này bằng các thí nghiệm lặp đi lặp lại được thực hiện từ đỉnh Tháp nghiêng Pisa trước sự chứng kiến của các giảng viên, triết gia khác và toàn thể hội khoa học.” Galileo vẫn thường được vẽ bằng đá kidohim từ Tháp nghiêng Pisa.

Điều hấp dẫn hơn nữa đối với nhận xét của Galileo là một quan sát khác của Benedetti, rằng tốc độ rơi tự do tăng lên khi người ta chuyển động.

Cơ thể của Zhenya. Và Galileo quyết định tìm ra một mô tả chính xác về mặt toán học cho sự thay đổi tốc độ này. Ở đây cần phải nói rằng Galileo ban đầu đã nhìn thấy bài toán của mình khi toán học vật lý của Aristotle: “Triết học được viết trong cuốn sách vĩ đại nhất mà chúng ta thường xuyên mở ra trước mắt chúng ta (tôi đang nói về Vũ trụ); nhưng không thể hiểu nó nếu không học cách hiểu ngôn ngữ trước tiên và phân biệt các dấu hiệu mà nó được viết ra. Nó được viết bằng ngôn ngữ toán học và các dấu hiệu của nó là hình tam giác, hình tròn và các hình toán học khác.” Tuy nhiên, người ta nhanh chóng nhận ra rằng việc toán học hóa đòi hỏi phải xem xét lại một cách có hệ thống tất cả các dữ kiện.

Làm thế nào để tìm ra định luật thay đổi vận tốc rơi tự do? Thí nghiệm chỉ mới bắt đầu đi vào thực tiễn nghiên cứu khoa học. Đối với Aristotle và những người theo ông, ông bị coi là một công việc đơn thuần và không xứng đáng trong cả việc xác lập và xác minh sự thật. Galileo có thể đã thử thực hiện một loạt thí nghiệm với các vật rơi tự do, kiểm tra các phép đo cẩn thận và tìm kiếm mô hình giải thích chúng. Do đó, Kepler đương thời của Galileo, dựa trên nhiều quan sát của Tycho Brahe, đã phát hiện ra rằng các hành tinh chuyển động theo hình elip. Nhưng Galileo chọn một con đường khác. Trước tiên anh ta quyết định chỉ ra định luật từ những cân nhắc chung, và chỉ sau đó mới kiểm tra nó bằng thực nghiệm. Kế hoạch trước đã không làm được điều này, nhưng dần dần kế hoạch nghiên cứu này sẽ trở thành một trong những kế hoạch đi đầu trong việc xác lập các chân lý khoa học.

Bây giờ về cách Galileo đã cố gắng chỉ ra định luật. Ông quyết định rằng thiên nhiên “cố gắng sử dụng những phương tiện đơn giản và dễ dàng nhất trong mọi thiết bị của nó,” và do đó quy luật tăng tốc độ phải được tìm kiếm “ở dạng đơn giản và rõ ràng nhất cho mọi người”. Nhưng vì tốc độ tăng theo quãng đường di chuyển, nên điều gì có thể đơn giản hơn việc giả định rằng tốc độ tỉ lệ với đường đi: $v = cs$ , $c$ là một số không đổi. Giả định này ban đầu khiến anh ta sợ hãi: hóa ra là sự rơi bắt đầu với tốc độ bằng 0 và tốc độ đó ngay từ đầu đã cao. Nhưng đây là một số lý do đã thuyết phục anh ta rằng không có gì mâu thuẫn (Hình 2): “Nếu một tải trọng rơi tự nó từ độ cao 4 cubit khiến vật nặng đó bốc mùi xuống đất khoảng 4 inch, - khi rơi từ độ cao 2 cubit, nó ít bốc mùi xuống đất hơn và tất nhiên, thậm chí còn ít hơn khi rơi từ độ cao một cubit hoặc một nhịp, và cuối cùng, khi tải trọng rơi từ độ cao không quá độ dày của một ngón tay, thì nó có tạo ra tác động lớn hơn lên cơ thể của nó không nếu nó được đặt xuống mà không có bất kỳ cú đánh nào? Tác động của một tải trọng được nâng lên bởi độ dày của tấm sẽ thậm chí còn nhỏ hơn và hoàn toàn độc lập. Vì tác động của cú đánh phụ thuộc vào tốc độ của vật va chạm, liệu người ta có thể nghi ngờ rằng chuyển động cực kỳ chậm và tốc độ là tối thiểu nếu tác động của cú đánh hoàn toàn độc lập?

Galileo đã dành một thời gian dài để khám phá các hệ quả khác nhau của giả định được đưa ra và bất ngờ phát hiện ra rằng… theo một định luật như vậy, không thể tìm thấy chuyển động nào cả! Chúng ta hãy cố gắng hiểu vấn đề là gì. Hệ số của tỷ lệ c phụ thuộc vào việc lựa chọn đơn vị thời gian. Để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử rằng $c = 1$ , đặt nó thay đổi tính bằng mét và thời gian tính bằng giây. Sau đó luôn luôn $v = s$ .

Xét một điểm $A$ nằm cách điểm gốc $O$ 1 m. Hãy ước tính xem từ khi bắt đầu chuyển động cơ thể phải mất bao lâu để đạt đến điểm này. Tại điểm $A$ tốc độ là 1 m/s. Hãy lấy điểm $A_1$ , nằm ở giữa điểm bắt đầu $O$ và $A$ . Trên đoạn $A_1A$ tốc độ tức thời sẽ nhỏ hơn 1 m/s và đối với đoạn dài 1/2 m sẽ mất hơn 1/2 s. Bây giờ chúng ta hãy lấy điểm $A_2$ - ở giữa $O$ và $A_1$ . Trên đoạn $A_1A_2$ tốc độ tức thời sẽ nhỏ hơn 1/2 m/s (tất cả các điểm nằm cách $O$ cách nhau chưa đến 1/2 m) và đoạn $A_1A_2$ có chiều dài 1/4 m lại sẽ mất hơn 1/2 s. Tất nhiên, bạn đã được chứng minh, vì chúng ta sẽ tranh luận thêm: điểm $A_3$ là điểm giữa của đoạn $OA_2$ , thành một đoạn $A_2A_3$ dài 1/8 m với tốc độ nhỏ hơn 1/4 m/s, một lần nữa sẽ mất hơn 1/2 s, v.v. Quá trình phân chia có thể được tiếp tục vô thời hạn và chúng ta có thể thu thập bất kỳ số lượng đoạn nào, đoạn đó mất nhiều hơn 1/2 s, không bao giờ cộng tới $O$ . Điều này có nghĩa là phần thân từ $O$ hoàn toàn không thể đạt tới $A$ !

Chúng tôi đề xuất rằng $A$ cách $O$ 1 m. Nhưng theo cách tương tự, người ta chứng minh rằng vật từ $O$ không thể đạt tới bất kỳ điểm nào cả. Đây là lý luận đáng chú ý mà cơ học cổ điển đã bắt đầu!

Chà, Galileo có mọi lý do để cảm thấy bị xúc phạm trước sự phản bội của thiên nhiên, vốn không chọn con đường đơn giản nhất. Tuy nhiên, kết quả là bản chất của Galileo không hề phai nhạt. Ông xem xét một giả định đơn giản không kém rằng sự gia tăng tốc độ sẽ xảy ra tỷ lệ với thời gian: $v = ct$ . Chuyển động như vậy được gọi là có gia tốc, nhưng thuật ngữ “chuyển động có gia tốc đều” đã có nguồn gốc từ đó.

Galileo kiểm tra biểu đồ tốc độ trong khoảng thời gian từ 0 đến $t$ (Hình 3) và thay thế rằng nếu lấy thời điểm thời gian $t_1$ , $t_2$ , đều từ $t/2$ , thì tốc độ trong $t_1$ nhỏ hơn $ct/2$ là bao nhiêu thì tốc độ hiện tại trong $t_2$ sẽ lớn hơn. Từ đó, ông kết luận rằng tốc độ trung bình là $ct/2$ và quãng đường đi được là $ct/2 \cdot t = ct^2/2$ (đừng suy nghĩ quá khắt khe!). Điều này có nghĩa là nếu ta xét các đoạn thời gian đều $t=1$ , 2, 3, 4,…, thì các đoạn đường đi được lấy từ đầu sẽ liên hệ dưới dạng bình phương của các số tự nhiên 1, 4, 9, 16,…, và các đoạn lấy giữa các thời điểm liền kề của báo cáo sẽ liên hệ với các số lẻ 1, 3, 5, 7,….

Kết luận này được Galileo coi là kết luận chính và ông muốn kiểm tra nó. Nhưng làm thế nào để làm điều này? Bạn không thể tiếp tục ném đá từ Tháp nghiêng Pisa (mặc dù có thể thuận tiện cho việc quan sát vì nó được chia thành các tầng), và trong phòng thí nghiệm, sự rơi sẽ xảy ra quá nhanh. Galileo và đây là lối ra. Nó chứng tỏ rằng nếu sự rơi tự do được gia tốc đều thì chuyển động của các vật dọc theo mặt phẳng nghiêng cũng sẽ được gia tốc đều. Ông tiến hành một loạt thí nghiệm được lựa chọn rất khéo léo.

Chuyển động trên mặt phẳng nghiêng

Galileo tiến hành như sau. Ông nhận thấy rằng từ mệnh đề về sự rơi có gia tốc đều, suy ra chuyển động có gia tốc đều của một vật nặng dọc theo mặt phẳng nghiêng. Về cơ bản, đây là một lập luận ở giữa quen thuộc với sự phân rã của lực, cho thấy một điểm nặng lăn xuống một mặt phẳng nghiêng với gia tốc không đổi $gsin\alpha$ , trong đó $\alpha$ là góc nghiêng so với phương ngang ( $g$ là gia tốc rơi tự do). Lý luận của Galileo phức tạp hơn: ông không đưa ra gia tốc rơi tự do mà thao tác, như thường lệ.

sau đó, với một số lượng lớn các tỷ lệ. Để đạt được điều này, anh ta rút ra một số hệ quả từ tốc độ chuyển động đều của một điểm trên mặt phẳng nghiêng, vốn đã thuận tiện cho việc thử nghiệm bài thuyết trình của LAB (nếu góc nghiêng nhỏ thì thời gian lăn dài). Vị trí trung tâm được chiếm giữ bởi tuyên bố rằng nếu các mặt phẳng nghiêng có cùng độ cao $AB$ , thì thời gian lăn có liên quan đến khoảng cách đi được $AB_j$ (Hình 4).

Chuyển động trên mặt phẳng nghiêng là mối quan tâm độc lập của Galileo. Anh ấy thực hiện một loạt các quan sát. Ví dụ: nếu các điểm chuyển động dọc theo dây của đường tròn $AE_i, BF_j$ (Hình 5), $AB$ là đường kính thẳng đứng thì tất cả thời gian lăn đều bằng thời gian rơi tự do dọc theo $AB$ (chứng minh đi!). Một lý luận khá phức tạp khiến Galileo chứng minh rằng nếu $A, B, C$ là các điểm liên tiếp trên một đường tròn (Hình 6), thì một điểm dọc theo đường đứt nét $ABC$ sẽ lăn nhanh hơn dọc theo dây cung $AC$ . Sai lầm nổi tiếng của Galileo gắn liền với phát biểu này: ông tin rằng điểm nhanh nhất từ $A$ đến $B$ lăn dọc theo đường tròn thứ tư, trong khi cung của một đường tròn có đặc tính này (xem «Kvant», 1975, số 12, trang 29).

Trong các thí nghiệm với mặt phẳng nghiêng, Galileo cần một phương tiện để so sánh thời gian. Để làm được điều này, ông đã sử dụng một dòng nước chảy chậm, tức là một phiên bản nhất định của đồng hồ nước.

Chuyển động của vật thể bị ném

Galileo gọi đây là sự hạn chế chuyển động (ngược lại với sự rơi tự do). Con đường mà ông đã đi vẫn giống nhau: lý thuyết (một mô hình của hiện tượng) đi trước các thí nghiệm. Suy đoán của Galileo về cơ bản rất đơn giản: chuyển động của một vật,

*) Niccolo Tartaglia (1500-1557). Bạn có thể đọc thêm về nó, chẳng hạn như trong bài viết “Nghệ thuật vĩ đại” của S. Gindikin («Kvant», 1976, số 9).

Hình 4. Hình 5. Hình 6.

Hình 7.

ném theo một góc so với đường chân trời, nó bao gồm một chuyển động hình chữ nhật đều, sẽ xảy ra nếu không có trọng lực và rơi tự do. Kết quả là cơ thể di chuyển dọc theo một parabol (Hình 7). Chúng ta hãy lưu ý rằng sự xa lánh này về cơ bản sử dụng định luật quán tính – định luật Galileo.

Khám phá của Galileo đã gây sốc cho những người cùng thời với ông. Các mặt cắt Konchesne (hình elip, parabol, hyperbol) - đỉnh cao của hình học Hy Lạp - dường như là thành quả của trí tưởng tượng toán học, không liên quan đến thực tế. Và vì vậy Kepler đã phát hiện ra rằng các hành tinh chuyển động từ các hình elip, và Galileo đã chỉ ra rằng các parabol phát sinh trong một tình huống hoàn toàn “trái đất”. (Ngay cả trong thế kỷ 19, Laplace đã coi việc sử dụng tiết diện Conches là ứng dụng cần thiết nhất của toán học thuần túy.) Lợi dụng các đặc tính của parabol, Galileo đã biên soạn các bảng, đặc biệt, cho phép xác minh bằng thực nghiệm. Ông đã chứng minh khẳng định của Tartala rằng góc 45° tương ứng với phạm vi bay lớn nhất và chỉ ra rằng đối với các góc cộng lên tới 90° thì phạm vi bay là như nhau (ở tốc độ cố định).

Công trình về cơ học của Galileo được hoàn thành ở Padua, nhưng chỉ được xuất bản vào cuối đời của Galileo trong cuốn sách Các bài giảng và chứng minh toán học liên quan đến hai nhánh khoa học mới liên quan đến cơ học và chuyển động địa phương.
Nó được xuất bản năm 1638, và được viết sau khi Galileo thoái vị, khi ông đang ốm nặng và đang được vinh danh.

Ông viết: “Mặc dù tôi im lặng, nhưng tôi không dành cuộc đời mình hoàn toàn nhàn rỗi”. Cuốn sách được viết dưới dạng đối thoại được thực hiện trong sáu ngày bởi Salviati (cung cấp quan điểm của tác giả), Sagredo và Simpliuno (một người ủng hộ Aristotle, tên của ông được dịch là “simpleton”). Vào ngày thứ ba và thứ tư, họ đọc chuyên luận “Về phong trào địa phương” của học giả (Galileo) và thảo luận chi tiết về nó. Cuộc thảo luận này cho phép chúng ta tìm hiểu rất nhiều về cách Galileo đi đến những khám phá của mình.

Lời kết

Có một khía cạnh khác của câu chuyện được kể: đó là câu chuyện không chỉ về một khám phá đã được thực hiện, mà còn về một khám phá… đã bị bỏ lỡ. Sau khi Galileo nhận ra rằng theo định luật $v(t) = cs(t)$ không thể tạo ra chuyển động, ông không còn hứng thú với định luật này nữa. Mối quan tâm của ông chỉ là những chuyển động tự nhiên bắt nguồn từ tự nhiên, chứ không phải những chuyển động suy đoán “mà trên thực tế không xảy ra trong tự nhiên, nhưng có thể tương ứng với những điều kiện giả định”.
Chẳng bao lâu sau, Lãnh chúa Napier của Wortland bắt đầu quan tâm đến một phong trào nảy sinh theo một quy luật tương tự.

Napier coi một chuyển động hình chữ nhật xảy ra theo định luật $v(t) = l(t)$ , trong đó $v(t)$ là tốc độ tức thời tại thời điểm $t$ và $l(t)$ là khoảng cách từ điểm tại thời điểm $t$ đến một điểm cố định 0 trên đường thẳng. Hãy lắng nghe, được Galileo xem xét, trả lời tình huống khi điểm chuyển động ở thời điểm ban đầu $t = 0$ tại điểm 0, tức là $l(0) = 0$ , $l(t) = s(t)$ . Napier có $l(0) > 0$ , $l(t) = l(0) + s(t)$ .

Hóa ra, về nguyên tắc, chuyển động có tính chất như vậy có thể bắt nguồn và có các tính chất toán học đáng chú ý (mặc dù “nó sẽ không bắt nguồn từ tự nhiên”!). Trước hết, nếu khoảng cách ban đầu $l(0)$ nhân với $c$ thì khoảng cách $l(t)$ và tốc độ $v(t)$ được nhân với $c$ tại mọi thời điểm

DISCORSI
E
DIMOSTRAZIONI
TOÁN HỌC,
intorno à due nuove scienze
Attenenti alla
MESANICA & tôi MOVIMENTI LOCALI,
del Signor
GALILEO GALILEI LINCEO,
Filofoto e Matematico primario del Serenillimo
Grand Duca di Tofcana.
Con vna Appendice del centro digrauità d’alcuni Solidi.

IN LEIDA,
Appresso gli Elsevirii. M. D. C. xxxviii.

Trang tiêu đề của “Cuộc trò chuyện”.

thời gian. Dallee, Napier bị giới hạn trong vụ án $l(0) = 1$ . Sau đó $l(t_1 + t_2) = l(t_1)l(t_2)$ . Hãy nêu cách chứng minh mối quan hệ này. Thật thuận tiện khi khai báo khoảnh khắc $t_1$ mới khi bắt đầu ghi thời gian. Sau đó, theo những gì đã nói ở trên, tại thời điểm mới $t_2$ (cũ $t_1 + t_2$ ), khoảng cách đến 0 phải lớn hơn $l(t_1)$ lần so với thời điểm cũ $t_2$ . Điều này có nghĩa là $l(t_1 + t_2) = l(t_1)l(t_2)$ . Đây là cách chỉ báo chức năng lần đầu tiên xuất hiện trong khoa học.

Chúng ta có $l(x) = e^x$ , trong đó $e = l(1)$ , tức là đây là khoảng cách từ 0 tại thời điểm $t = 1$ . Sử dụng tính chất $e$ là khoảng cách từ 0 tại thời điểm $t = 1$ và tính chất $v = l$ , không khó để chứng minh rằng $e > 2$ (chứng minh đi!). Thật ra $e = 2,71828$ …; $e$ được gọi là số Napier. Bằng cách xem xét các chuyển động xảy ra theo định luật $v(t) = ks(t)$ , có thể thu được hàm số mũ với các cơ số khác.

Đối với bất kỳ $a$ dương nào thì thời gian $t$ mà $s(t) = a$ , Napier gọi là logarit (tự nhiên) $a$ (ký hiệu là $\ln a$ ). Vì lý do trên $\ln ab = \ln a + \ln b$ . Napier đã biên soạn các bảng logarit trong hai mươi năm, và vào năm 1614, “Mô tả về một bảng logarit tuyệt vời” được xuất bản, lời tựa trong đó chứa đựng những lời bào chữa cho những lỗi không thể tránh khỏi và kết thúc bằng dòng chữ: “Lúc đầu không có gì là hoàn hảo”.

Khám phá của Napier đáng chú ý không chỉ vì ông đã tạo ra các bảng logarit mà còn vì ông đã chỉ ra rằng các hàm số mới có thể xuất hiện từ việc nghiên cứu chuyển động. Bắt đầu với những công trình này của Galileo và Napier, cơ học đã trở thành một nguồn xây dựng các hàm số và đường cong mới cho toán học.