История о том, как Галилей открыл законы движения

18

История о том, как Галилей открыл законы движения

С. Гиндикин

Первые основы динамики были заложены Галилеем. Действие сил do него рассматривали исключительно в случае их равновесия; и хотя ускоренное движение свободно подающим тел и кривлениеное движение бросенных тел также присвивали постоянное действующее силу тяжесте, но никаку не удалось установить законов указанного объеденного явления, зависящего от столь простой причины. Галилей первый сделал этот шаг и открыл новую и безграничную область для развития механики. Это открытие… составляет теперь наиболее значительный и непрекрасемый часть заслуge этого велико человека. В самом деле, чтобы открыть спутники Юпитера, фазы Венеры, солнечные пятна и т. д., требуется только телефон и наблюдательность, но нужен исключительный гений, чтобы установить законы природы на явлениях, которые всегда были у всех перед глазами и тем не менее ускользали от внимание философов.

Лагранж

Пролог

Винченцо Галилей, известный во Флореции музыкант, долго размышлял над тем, какое поррище выбрать для своего старшего сына Галилео. Сын, безусловно, был способен к музыке, но отец предпочитал что-нибудь более надежное.

В 1581 году, когда Галилей использовать семнадцать лет, чаша весов склонилась в сторону медицинны. Винченцо понимал, что расходы по обучению будут велики, заго будущее сына будет обеспечено. Местом

20

Портрет Галилея. Гравюра XVII века.

го университета. В Пизе Галилея находился до переезда в 1592 году в Падую. Восемнадцать лет, проживших в Падуе, Галилея считал самым счастьым периодом в своей жизни. С 1610 года и до конца жизни он — «философ и первый математик светлейшего великого герцога тосканского Козимо II Медици». В апреле 1611 года Галилей стал членом Академии Линчиев (рысвеглазых), основанной независимо до этого Федерако Чези, маркизом Монтичелли. С тех пор все труды Галилей подписывал «Галилео Галилей ЛинчEO».

Свободное padение

Что касается научных интересов Галилея, то его по-прежнему интересют движения и, прежде всего, свободное padение тел, одно из самых распространенных естественных движений. Как и полагалось в это время, начать нужно с того, что по этому поводу утверждал Аристотель. Мнение последнего свободилось к двум аксиомам: скорости padающих тел пропорциональны их весу и обратно пропорциональны «густоте среды». Очевидные сложности возникали со вторым утверждением: получалось, что в пустоте, «густота» которой равна нулю, скорость padения должна быть бесконечной. На это Аристотель добавлял, что в природа пустоты не былает («природа бонтся пустоты»).

В 1585 году Галилей получил возможность ознакомиться с недвижимым трактатом Бенедетти, который позволил себе не согласиться и с первым утверждением Аристотеля. И вот в чем дело. Пусть имеются два тела — тяжелое и легкое (рис. 1); первое должно padать быстро. Теперь соединим их. Естественно предположить, что легкое тело приоритет тяжелое и скорость padения становится промежуточной между скоростями padения составляющих тел. Но по Аристотелью скорость должна стать больше, чем скорость каждой тела. С продумыванием работы Бенедетти Галиле начинает свои размышления. Но рассужданием не очень верили, и, по словам Вивании, «он доказывал это неоднократными экспериментами, производившимися с выcostы Пизанской башни в присутствии других лекторов, философов и всей ученой братии». Галилея по сейчас часто рисуют кидошим камни с Пизанской башни.

Еще больше вынимание Галилея привлекло другое наблюдение Бенедетти, что скорость свободного padения увеличается по мере движения.

21

Женя тела. И Галилей решает найти математические точное описание этого изменения скорости. Здесь следует сказать, что первоначально Галилей видел свою задачу в том, чтобы математизировать физику Аристотеля: «Философия написана в величайшей книге, которая постоянно открыта нашим глазам (я говорю о Вселенной); но нельзя ее понять, не научившись сперва понimatь язык и различит знаки, которые она написана. Налисана же она языком математических, и знаки ее суть треугольники, круги и другие математические фигуры». Однако скоро стало ясно, что математизация требует систематического перемотра всех фактов.

Как же найти закон изменения скорости свободного падения? Эксперимент только начинаал входить в практику научного исследования. Для Аристотеля и его последовательей он считался лишьним и недостойным занятем как при установлении истинны, так и при ее проверке. Галилей мог бы попытаться проделать серию экспериментов со свободно падающим телами, проверisti тщательные измерения и искать закономерность, которая их объясняет. Так современник Галилея Кеплер, образытывая многочисленные наблюдения Тихо Браге, обнаружил, что планеты движутся по эллипсам. Но Галилей выбирает другой путь. Он решает вначале указать закон из общих соображений, а уже затем проверить его экспериментально. Раньшеник так не поступал, но постепенно такой план исследований станет одним из ведущих при установлении научных истин.

Теперь о том, как Галилей попытался указать закон. Он решает, что природа «стремится применять во всех своих приспособлениях самые простые и легкие средства», а значит, и закон нарастания скорости должны проискать «в самом простой и ясной для всякого форме». Но раз скорость растет с ростом пройденного пути, то что может быть проще предположения о том, что скорость пропорциональная пути: $v = cs$, $c$ — постоянное число. Это предположение испугало его по началу: ведь получается, что падение начинается с нулевой скоростью, а каждая, что скорость с самого начала велика. Но вот какое рассуждение убедило его, что противоречия нет (рис. 2): «Если груз, падающий на свою с высоты четырех локтей, воняет последнюю в землю приблизительно на четыре дюйма,— при padении с высоты двух локтей он воняет ее в землю меньше и, конечно, еще меньше при padении с высоты одного локтя или одной пяди, и когда, наконец, груз падает с высоты не более толщины пальца, то производит ли он на свою большие действия, чем если бы он был положен без всякого удара? Еще меньшешим и совершенню независимым будет действие груза, поднятого на толщину листа. Так как действие удара находится в зависимости от скорости ударящего тела, то может сомневаться в том, что движение чрезвычайно медленно и скорость минимальная, если действие удара совершенню независимо?»

Галилей долго исследовал различные следствия из сделанного предположения и неожиданно обнаружил, что.. по такому закону движение вообще проискать не может! Давайте и мы попытаемся понять, в чем дело. Козффициент пропорционального с зависит от выбора единиц времени. Будем считать для простоты, что $c = 1$, пусть изменяется в метрах, а время в секундах. Тогда во все моменты времени $v = s$.

22

Рассмотрим точку $A$, находящаяся на расстоянии 1 м от начала $O$. Прикинем, через какое время от начала движения тела оказывается в этой точке. В точке $A$ скорость равна 1 м/c. Возьмем точку $A_1$, лежащую посередине между началом $O$ и $A$. На отрезке $A_1A$ мгновенная скорость будет меньше 1 м/c, и на отрезок длиной 1/2 м потребуется больше 1/2 с. Возьмем теперь точку $A_2$ — посередине между $O$ и $A_1$. На отрезке $A_1A_2$ мгновенная скорость будет меньше 1/2 м/c (все точки нахождения от $O$ на расстоянии, меньше 1/2 м), и на отрезок $A_1A_2$ длиной 1/4 м уйдет опять более 1/2 с. Вы уже, конечно, доказались, как мы будет рассуждать далее: точка $A_3$ — середина отрезка $OA_2$, на отрезок $A_2A_3$ длиной 1/8 м при скорости, меньше 1/4 м/c, опять-tаки уйдет более 1/2 с и т. д. Процесс деления можно продолжать неограниченно, и мы можем набрать любое число отрезков, на прохождение которых уходит больше 1/2 с, так и не добавись до $O$. Значит, тело из $O$ попасть в $A$ вообше не может!

Мы предложили, что $A$ находится на расстоянии 1 м от $O$. Но аналогично показывается, что вообше ни в какую точку тело из $O$ попасть не может. Вот с какого замечательного рассуждания началась классическая механика!

Ну что же, у Галилея были все основания обидется на коварство природы, которая не выбрала самого простого пути. Однако в результате природы у Галилея не угасла. Он рассматривает не менее простое предположение, что нарастание скорости проискодит пропорционально времени: $v = ct$. Такое движение он называется ускоренным, но прижился термин «равномерно ускоренное движение».

Галилей рассматривает график скорости на отрезке времени от 0 до $t$ (рис. 3) и заменяет, что если взят момент времени $t_1$, $t_2$, равносторные от $t/2$, то насколько в $t_1$ скорость меньше $ct/2$, настоящего в $t_2$ она больше. Отсюда он делает вывод, что в среднем скорость равна $ct/2$, а проijdенный путь равен $ct/2 \cdot t = ct^2/2$ (не слишком строго расуждайте!). Значит, если рассмотреть равносторные отрезки времени $t=1$, 2, 3, 4,…, то отрезки пути, проijdенные от начала, будут относиться как квадраты натуральных чисел 1, 4, 9, 16,…, а отрезки, проijdенные между соседними моментами отчета,— как нечетные числа 1, 3, 5, 7,….

Именно этот вывод Галилей считает основным и его он хочет проверить. Но как это сделать? Нельзя же продолжать кидать камни с Пизанской башни (хотя, может быть, для наблюдения и удобно, что она разделена на этажи), а в лаборатории падение проискодит слишком быстро. Галилей и здесь находится выход. Он показывает, что если свободное padение равноускоренное, то равноускоренным будет и движение тел по наклонной плоскости. Он проводит серio очень остручно подобраных экспериментов.

Движение по наклонной плоскости

Галилей поступает следующим образом. Он замечает, что из предложения о равноускоренном padении следует равноускоренное движение тяжелой точки по наклонной плоскости. По существу — это привчное середина рассуждание с разложением сил, показывающее, что тяжелая точка скатывается по наклонной плоскости с постоянным ускорением $gsin\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона к горизонтали ($g$ — ускорение свободного padения). Рассуждение Галилея более громоздки: он не вводит ускорения свободного padения, а маннипулирует, как это было принято

23

тогда, с большим числом пропорций. Он делает целья ряд следствий из равноскорености движения точки по наклонной плоскости, которые уже удобны дляLABораторной проверки (если угол наклона мал, то время скатывания велико). Центральное место занимает утверждение, что если наклонные плоскости имеют одинаковую высоту $AB$, то времена скатывания относится как пройденные пути $AB_j$ (рис. 4).

Движение по наклонной плоскости представляется для Галилея самостояльный интерес. Он делает целья ряд наблюданий. Например, если точки движения по хордам окружности $AE_i, BF_j$ (рис. 5), $AB$ — вертикальный диаметр, то все времена скатывания равны времен свободного падения по $AB$ (доказите!). Довольно сложное рассужждение приводит Галилея в доказательство того, что если $A, B, C$ — последовательные точки на окружности (рис. 6), то точка по ломаной $ABC$ скатывается быстрее, чем по хорде $AC$. С этим утверждением связана известная ошибка Галилея: он считал, что быстрее всего точка из $A$ в $B$ скатывается по четыртой окружности, в то время как этим свойством обладает дуга циклиды (см. «Квант», 1975, № 12, с. 29).

В экспериментах с наклонными плоскостями Галилея нуждается в средстве для сравнения времени. Для этого он пользовался медленно вытекающей стреуей воды, то есть неокторым вариантом водяных часов.

Движение брошенных тел

Такое движение Галилея называл приужждением (в отличие от свободного падения). Путь, по которым он движался, был прежним: теория (модель явления) предшествовала экспериментам. Догадка Галилея была генциально простой: движение тела,

*) Никколо Тарталья (1500—1557). Подробнее о нем можно прочитать, например, в статье С. Гиндикина «Великое искусство» («Квант», 1976, № 9).

Рис. 4. Рис. 5. Рис. 6.

24

Рис. 7.

брошенного под углом к горизонту, складывается из равномерного прямоугольного движения, которое имело бы место не будь силы тяжести, и свободного падения. В результате тело движения по параболе (рис. 7). Отметим, что в этом расчужdenнии существенно используется закон инерции — закон Галиллея.

Открытие Галиллея порозило современников. Кончесне сечения (эллипсы, парабольы, гипербольы) — вершина греческий геометрии — казались плодом математической фантазии, не имеющим отношения к реальной действительности. И вот Кеплер обнаружил, что по эллипсам движения планеты, а Галиллей показал, что парабольы возникают уже совсем в «земной» ситуации. (Еще в XIX веке Лаплас приводил применение кончесских сечений как самое необходимое из применений чистой математики.) Пользовсь свойствми парабольы, Галиллей составил цель таблиц, которые, в частности, допускают экпериментально проверку. Он доказал утверждение Тарталы о том, что угол в 45° отвечает набольшей дальности полета, и показал, что для углов, дающих в сумме 90°, дальности полета одинаковы (при фиксированной величины скорости).

Работы Галиллея по механике были закончены в Падуе, но опубликованы лишь в конце жизни Галиллея в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению».
Она вышла в 1638 году, а была написана после отречения Галиллея, когда он был тяжело болен и почтил.

«Я хотя и молчу, но провожу жизнь несовсем праздно» — писал он. Книга написана в форме диалогов, которые ведут в течение шести дней Сальвиати (проводящий точку зрения автора), Сагредо и Симпллюно (сторонник Аристотеля, его имя переводится как «простак»). В третий и четвертый дни они читают трактат академика (Галиллея) «О местном движении» и подробно обсуждают его. Эта дискуссия позволяет многое узнать про то, как Галиллей шел к своим открытиям.

Эпилог

У расссказанной истории есть и другая сторона: это — история не только о совершившемся открытии, но и об открытии… упущеном. После того как Галиллей понял, что по закону $v(t) = cs(t)$ движение проискодить не может, он потерял интерес к этому закону. Его интерес только естественные движения, проискодшие в природа, а не те умозрительные движения, «которые в действительности в природа не встречаются, но могут соответствовать предполагаемых условиям».
Вскореwortlandский лорд Непер заинтересовался движением, проискодшим по аналогичному закону.

Непер рассмотрел прямоугольное движение, проискодшее по закону $v(t) = l(t)$, где $v(t)$ — мгновенная скорость в момент времени $t$, а $l(t)$ — расстояние движения точки в момент $t$ от фиксированной точки 0 на прямой. Слушай, рассмотренный Галиллеем, ответает ситuation, когда движущая точка находится в начальной момент $t = 0$ в точке 0, то есть $l(0) = 0$, $l(t) = s(t)$. У Непера $l(0) > 0$, $l(t) = l(0) + s(t)$.

Оказывается, что движение с таким свойством в принципе проискодить может и обладает замечательными математическими свойствами (хотя «в природа и не проискодит»!). Прежде всего, если начальное расстояние $l(0)$ умножить на $c$, то на $c$ умножается расстояния $l(t)$ и скорости $v(t)$ во все моменты