Квант
Смесь

Задачи наших читателей

Квант 1980, №1с. 40Тег 1JM5

40

Ф562. Конденсаторы импотеней C1=2.00C_1 = 2.00 мкФ и C2=3.00C_2 = 3.00 мкФ соединены последовательно и подключаны к батарее с ЭДС E=120E = 120 В. средняя точка которого заземлена. Провод, соединяющий конденсаторы, может быть заземлен с помощью ключа K. Найти заряды q1,q2q_1, q_2 и q3q_3, которые пройдут после замыкания ключа через сечения I-I, II-II и III-III в направлениях, указанных на рисунке.

До замыкания ключа заряды qq обих конденсаторов одинаковы (поскольку конденсаторы соединены последовательно) и равны

q=C1C2C1+C2q = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}

После замыкания ключа направления на конденсаторах станут равны 12E\frac{1}{2} E, и заряды конденсаторов будут равны

q′=12C1Eandq′′=12C2E.q' = \frac{1}{2} C_1 E \quad \text{and} \quad q'' = \frac{1}{2} C_2 E.

Следовательно, через сечения I-I и II-II в заданных направлениях пройдут заряды

q1=q′−q=C1(C1−C2)2(C1+C2)E=−2.4⋅10−5 KJ.q_1 = q' - q = \frac{C_1 (C_1 - C_2)}{2 (C_1 + C_2)} E = -2.4 \cdot 10^{-5} \text{ KJ}.

и

q2=q−q′′=C2(C1−C2)2(C1+C2)E=−3.6⋅10−5 KJ.q_2 = q - q'' = \frac{C_2 (C_1 - C_2)}{2 (C_1 + C_2)} E = -3.6 \cdot 10^{-5} \text{ KJ}.

Суммарный заряд соединенных друг с другом пластин конденсаторов до замыкания ключа был равен нулю, а после замыкания ключа он стал равным q′′−q′q'' - q'. Такой заряд, очень/no, и проилегельнее сечение III-III, то есть

q3=q′′−q′=12(C2−C1)E=6⋅10−5 KJ.q_3 = q'' - q' = \frac{1}{2} (C_2 - C_1) E = 6 \cdot 10^{-5} \text{ KJ}.

И. Слободецкий

Задание
наших читателей

Использовая неравенство Кошни — Буняковского

(A12+A22+⋯+AN2)××(B12+B22+⋯+BN2)≥(A1B1+A2B2+⋯+ANBN)2(A_1^2 + A_2^2 + \dots + A_N^2) \times \times (B_1^2 + B_2^2 + \dots + B_N^2) \geq (A_1 B_1 + A_2 B_2 + \dots + A_N B_N)^2

(доказательство его см. в статье В. Левина «Парабола и неравенства» — «Квант»,

1976, № 4; для N=2N = 2 и N=3N = 3 оченьiden геометрический смысл этого неравенства: произведение длин двух векторов не меньше их скалярного произведения), решите следующие задачи:

  1. Найдите наименьшее значения выражений
    a) (x+y)2+(x+a)2+(y+b)2(x + y)^2 + (x + a)^2 + (y + b)^2, где aa и bb — параметры;
    b) (x+y+z)2+(x+a)2+(y+b)2+(z+c)2(x + y + z)^2 + (x + a)^2 + (y + b)^2 + (z + c)^2, где a,b,ca, b, c — параметры;

b) (x1+x2+⋯+xn)2+(x1+a1)2+(x2+a2)2+⋯+(xn+an)2(x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 + (x_1 + a_1)^2 + (x_2 + a_2)^2 + \dots + (x_n + a_n)^2, где aia_i — параметры.

При каких значениях достигаются эти значения?

  1. Докажите, что квадрат любого действительного корня многочлена

P(x)=xn+anxn−1+⋯+a1x+a0P(x) = x^n + a_n x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0

менные суммы квадратов всех его коэффициентов.

Л. Пузач