Три точки, три точки, три точки...

48

Н. Виленкин

Три точки, три точки, три точки…

Однажды во время приемных экзаменов вуз, в котором математика изучается весма глубоко и потому к поступающим предъявляют высокие требования, одному абитриенту задали вопрос, совсем простой на первый взгляд:

Сколько решений имеет уравнение $\left(\frac{1}{16}\right)^x = \log_{\frac{1}{16}} x$?

Поскольку решение уравнения $\varphi(x) = \psi(x)$ равносильно отысканию абсцисс точки, в которых пересекаются графики функций $y = \varphi(x)$ и $y = \psi(x)$, экзаменующейся сделал экзимега графиков функций $y = \left(\frac{1}{16}\right)^x$ и $y = \log_{\frac{1}{16}} x$ (рис. 1) и сказал:

«Это уравнение имеет одно решение. При этом, поскольку по определению логарифма функции $y = \left(\frac{1}{16}\right)^x$ и $y = \log_{\frac{1}{16}} x$ обратны друг другу, их графики симметрины отрицательно».

Рис. 1.

носительно прямой $y = x$, а потому точка пересечения графиков лежит на этой прямой. Значит, чтобы найти ее, надо решить уравнение $\left(\frac{1}{16}\right)^x = x$. Но как его решать, я не знаю».

Экзаменатор ответил:

«To, что Вы не умете решать уравнение $\left(\frac{1}{16}\right)^x = x$, — не беда, мы этого не требуем: оно не решается элементарными методами. Хуже то, что Вы пропустили два его решения: $x = \frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{4}$. Подставьте эти значения в уравнение, проверьте!»

И действительно, написав решение $\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{2}$ и $\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4}$, абитриент с огорченем обнаружил, что они истинны:

$\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ и $\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Таким образом, его обманула «наглядность»: графики функций $y = \left(\frac{1}{16}\right)^x$ и $y = \log_{\frac{1}{16}} x$ пересекаются не только в точке $P(b; b)$, но еще в двух точках: $M\left(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right)$ и $N\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right)$, симметричных относительной прямой $y = x$.

Причина ошибки абитриента состоит в следующем. Он знаел, что при $0 < a < 1$ значения функций $y = \log_a x$ неограниченно увеличивается по мере приближения $x$ к нулю, а функция $y = a^x$ при $x = 0$ принимает значение 1. Отсюда он сделал «вывод», что на всем промежутке $]0; b[$, где $b$ — абсцисс точки $P$, $a^x < \log_a x$, и потому иных точек пересечения, кроме $P$, графики этих функций не имеют. Однако сделать этот вывод следует как, глядя на заключительную таблицу чемпионата СССР по футбольу, сделать вывод, что победившая команда была впереди и после первого круга — как известно, очень осени считают.

Оказалось, что при $a = \frac{1}{16}$ графики рассматриваемых функций ведут

49

Рис. 2.

себя куда хитрее (рис. 2): на промежутке $0; \frac{1}{4}$ [выше расположен график функции $y = \log_{\frac{1}{16}} x$, на промежутке $]\frac{1}{4}$; $b$ [«в лидеры» выходит функция $y = \left(\frac{1}{16}\right)^x$, на промежутке $]\beta; \frac{1}{2}$ [снова выше график функции $y = \log_{\frac{1}{16}} x$ и лишь на луче $[\frac{1}{2}; +\infty[$ функция $y = \left(\frac{1}{16}\right)^x$ окончательно становится лидером — на всем этом луче ее график выше графика функции $y = \log_{\frac{1}{16}} x$.

В данном случае во взаимном расположении графиков удалось разобраться, неосредственно найти корни уравнения $\left(\frac{1}{16}\right)^x = \log_{\frac{1}{16}} x$. При других значениях $a$ дело обстоятель хуже, и ответить без подробного исследования, сколько точек пересечения имеют графики функций $y = \left(\frac{1}{15,5}\right)^x$ и $y = \log_{\frac{1}{15,5}} x$ или графики функций $y = \left(\frac{1}{10}\right)^x$ и $y = \log_{\frac{1}{10}} x$, веса сложно. Мы расскажем сейчас, как это исследование проводится с помощью произвольных$^*$). Сейчас нас интересует только случай $0<a<1$.

Обозначим $\ln a$ через $-k^{**}$. Тогда функция $y = a^x$ и $y = \log_a x$ запишутся так: $y = e^{-kx}$ и $y = -\frac{\ln x}{k}$.

ОтЫскание точек пересечения их графиков равnocльно отысканию точек, в которых график функции $F(x) = e^{-kx} + \frac{\ln x}{k}$ пересекает ось абсцисс, а это последнее связано с изучением промежутков возрастания и убывания функции $F$. Для этого мы найдем произвольную:

$$F'(x) = -ke^{-kx} + \frac{1}{kx} = \frac{1 - k^2xe^{-kx}}{kx}.$$

Разберем три случая.

Первый случай: $0 < k < e$. Покажем, что в этом случае $F'(x) > 0$ для всех $x > 0$. Для этого достаточно доказать, что наименьшее значение функции $1 - k^2xe^{-kx}$ при $x > 0$ положительное. Это наименьшее значение достигается в точке, где $(1 - k^2xe^{-kx})' = 0$, то есть, где $-k^2e^{-kx} + k^3xe^{-kx} = 0$. Решая это уравнение, находим $x = \frac{1}{k}$. При этом значения $x$ численель в (1) равен $1 - ke^{-1}$, что при $k < e$ положительное. Поскольку это значение наименьшее, то $F'(x) > 0$ для всех $x > 0$.

Из того, что $F'(x) > 0$ при $x > 0$, следует, что функция $F$ возвращает на луче $0; +\infty$ [и ее графикрово один раз пересечет ось абсцисс$^*$]. Таким образом, при $0 < k < e$ графики функции $y = e^{-kx}$ и $y = -\frac{\ln x}{k}$ пересекаются лишь один раз, а именно на прямой $y = x$ (так, как на рисунке 1).

Второй случай: $k > e$. Здесь дело было обстоятельство. Обозначим через $b$ абсцисс точки пересечения

$*)$ Это следует, например, из п. 84 по собия «Алгебра и начала анализа 10».

**) См. также «Квант», 1977, № 10, с. 37.
**) Так как $0 < a < 1$, $\ln a < 0$.

50

Рис. 4.

графиков $y = e^{-kx}$ и $y = x$. В этой точке $e^{-kb} = b = -\frac{\ln b}{k}$, и потому $kb = -\ln b$. При $x = \frac{1}{k}$ функция $e^{-kx}$ равна $\frac{1}{e}$, а функция $y = x$ принимает значение $\frac{1}{k}$, поэтому в силу условия $k > e$ абсцисса точки пересечения графиков функций $y = e^{-kx}$ и $y = x$ больше, чем $\frac{1}{k}$ (рис. 3), то есть $b > \frac{1}{k}$. Но тогда $kb > 1$, и потому

$$F'(b) = \frac{1 - k^2be^{-kb}}{kb} = \frac{1 - k^2b^2}{kb} < 0.$$

Значит, при $k > e$ производная функция $F$ в точке $x = b$ отличается. Поскольку $F(b) = 0$, следва от $b$ найдет точки, где $F(x) > 0$. Так как по мере приближения $x$ к нулю $F(x)$ становится отрицательным, существует по крайней мере одна точка $c$, лежащая между 0 и $b$, в которой $F(x) = 0^*$. Это показывает, что при $k > e$ график функции $y = e^{-kx}$ и $y = -\frac{\ln x}{k}$ пересекаются по крайней мере в одной точке, не лежащей на прямой $y = x$. Из того, что эти графики симметрины друг другу относительно прямой $y = x$, вытекает наличие еще одной точки пересечения. Можно доказать, что иных точек пересечения, кроме этих трех, графики не имеют (доказательство связано с изучением второго произвольной функции $F$).

*) См. предыдущую книгу.

Итак, если $k > e$, рассматриваемые графики имеют три точки пересечения.

Третий случай: $k = e$. В точке пересечения $(b; b)$ графиков функции $e^{-kx}$ и $-\frac{\ln x}{k}$ имеем $e^{-kb} = b$ или, в нашем случае, $e^{-eb} = b$. Неисредственной подстановкой проверяется, что число $\frac{1}{e}$ является корнем уравнения $e^{-ex} = x$. Поскольку функция $e^{-ex}$ убивает (на всей прямой), а функция $x$ возрастает, уравнение $e^{-ex} = x$ имеет не больше одного корня. Значит, $b = \frac{1}{e}$. Легко проверить, что $F(b) = F'(b) = 0$, поэтому график функции $F$ при $x = b = e^{-1}$ касается оси абсцисс.

В нашем случае $F(x) = e^{-ex} + \frac{1}{e}\ln x$. Поэтому $F'(x) = -e^{1 - ex} + \frac{1}{ex} = \frac{e^{ex} - 2}{xe^{ex} - 1}$.

Производная функция $e^{ex} - 2$ — это цитательная при $x < b$, равна 0 при $x = b$ и положительная при $x > b$. Поэтому функция $e^{ex} - 2$ — положительная при всех $x \neq b$. Значит, при всех положительных $x \neq b$ имеем $F'(x) > 0$. Следовательно, график функции $F$, касаясь оси абсцисс в точке $x = b$, при перехождение точку $b$ меняет знак с минуса на плоскости.

В соответствии с этим графики функций $y = e^{-ex}$ и $y = \frac{\ln x}{e}$, касаясь друг друга в их общей точке $(e^{-1}; e^{-1})$, «переплегаются» друг с другом (рис. 4).

Подведем итог: если $1 > a \geq e^{-e} \approx \frac{1}{15,18}$, то графики функции $y = a^x$ и $y = \log_a x$ имеют одну точку пересечения; если же $e^{-e} > a > 0$, то три точки пересечения.

Теперь можно с уверенностью сказать, что графики функции $y = \left(\frac{1}{15,5}\right)^x$ и $y = \log_{\frac{1}{15,5}} x$ имеют три точки пересечения, а графики функции $y = \left(\frac{1}{10}\right)^x$ и $y = \log_{\frac{1}{10}} x$ — лишь одну общую точку.