Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

44

Đại học quốc gia Moscow
họ. M. V. Lomonosova

Toán học ở các khoa nhân văn

Bài thi viết

Một học sinh tốt nghiệp trung học phải có khả năng kết hợp kiến ​​thức của các ngành toán học khác nhau ở lời giải bài toán, tức là tiếp cận lời giải bài toán những kiến ​​thức sáng tạo. Việc thực hiện kỳ ​​thi tuyển sinh môn toán tại các khoa nhân văn cho thấy các ứng viên vẫn chưa đối phó tốt với vấn đề này.

Dưới đây là phân tích sơ bộ một trong các phương án cho bộ môn kinh tế chính trị của Khoa Kinh tế, chỉ ra những sai sót điển hình và một số thống kê: tỷ lệ thí sinh (tính theo phần trăm trên tổng số người đã thi đỗ) đã giải hoàn toàn câu bài toán đã cho và không giải được câu nào. Các khoa khác cũng được trình bày bằng từng phương án nhưng chỉ có đáp án và hướng dẫn ngắn gọn.

Khoa Kinh tế Chính trị, Khoa Kinh tế

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{37}-48 \text{ctg} x=8 \text{ctg} x-5.$$

Lời giải. Chúng ta ký hiệu ctg x bằng z và giải phương trình phụ
$$\sqrt{37}-48z=8z-5z.$$

Hãy bình phương cả hai phần của nó (trong trường hợp này, việc xây dựng các nghiệm có thể xuất hiện). Giải phương trình bậc hai thu được
$$16z^2-8z-3=0,$$
hãy tìm $z_1=3/4$, $z_2=-1/4$. Căn bậc $z_2$ là một cấu trúc, vì $8z_2-5<0$ và $\sqrt{37}-48z_2>0$ (ý nghĩa số học của căn thức!). Giá trị $z_1$, như đã được xác minh, thỏa mãn phương trình. Giải phương trình cot x=3/4, ta tìm được đáp số: $x=arctg 3/4+\pi n$ ($n\in\mathbb{Z}$).

Sai lầm chính với lời giải bài toán này là việc thu được các nghiệm được xây dựng (thiếu xác minh) với phép biến đổi không bằng nhau (bình phương cả hai vế của phương trình). 44% người nộp đơn đã giải quyết hoàn toàn câu hỏi này bài toán, 8% không giải quyết được gì cả.

2. Trong tam giác đều ABC ($|AB|=|BC|=8$), điểm E chia cạnh AB theo tỷ lệ 3:1 (tính từ đỉnh B). Tìm các vectơ mong muốn $\vec{CE}$ và $\vec{CA}$ nếu $|CA|=12$.

Lời giải (Hình 1). Từ định nghĩa của tích vô hướng, suy ra rằng
$$\cos \alpha = \frac{\vec{CE} \cdot \vec{CA}}{|\vec{CE}| \cdot |\vec{CA}|},$$
trong đó $\alpha$ là góc giữa các vectơ $\vec{CE}$ và $\vec{CA}$. Hãy giới thiệu hệ tọa độ như trên Hình 1; bởi tính chất đường cao của một tam giác đều $|OA|=|OC|$. Từ $\Delta OBC$
$$|OB|=\sqrt{|BC|^2-|OC|^2}=2\sqrt{7}.$$
Vì $\vec{AE}=1/4\vec{AB}$, chúng ta có $\vec{CE}=\vec{CA}+1/4\vec{AB}$. Trong hệ tọa độ Oxy: $\vec{CA}=(-12; 0)$, $\vec{AB}=(6; 2\sqrt{7})$, $\vec{CE}=(-21/2; 2\sqrt{7/4})$. Thay thế vào biểu thức cho cos $\alpha$, ta tìm được
$$\cos \alpha=\frac{(-12)(-21/2)}{12 \cdot \sqrt{(21/2)^2+7/4}}=\frac{3\sqrt{7}}{8}.$$
Đáp số. Góc giữa các vectơ $\vec{CA}$ và $\vec{CE}$ bằng $\arccos \frac{3\sqrt{7}}{8}$.

Các sinh viên thực tập dưới đây không sử dụng phương pháp tọa độ ở đây; tìm góc $\alpha$, theo quy luật, tùy ý bằng cách sử dụng các phương pháp đo phẳng truyền thống, biểu thức $\alpha=\pm\arccos \frac{3\sqrt{7}}{8}+2\pi n$ ($n\in\mathbb{Z}$) được đề xuất là đáp số, biểu thị việc áp dụng một cách máy móc các công thức mà không hiểu ý nghĩa của bài toán. 27% người nộp đơn quyết định hoàn toàn bài toán, 34% không quyết định gì cả.

3. Từ một bình chứa đầy lcipherin nguyên chất, người ta đổ 2 lít lciferin vào và thêm 2 lít nước vào lượng lciferin còn lại. Sau khi di chuyển, đổ lại 2 lít hỗn hợp và thêm 2 lít nước. Cuối cùng, một lần nữa, sau khi di chuyển, người ta đổ 2 lít hỗn hợp và thêm 2 lít nước vào. Kết quả của những hoạt động này là thể tích nước trong bình lớn hơn thể tích lciferin còn lại trong đó 3 lít. Có bao nhiêu lít lcipherin và nước đọng lại trong bình sau khi thực hiện các thao tác?

45

Lời giải. Nếu chúng ta biểu thị thể tích của bình là $V$ lít thì sau thao tác đầu tiên (thay hai lít glycerin bằng nước), glycerin sẽ chiếm $\frac{V-2}{V}$ một phần của bình. Đổ 2 lít hỗn hợp, ta thu được $(V-2)\frac{V-2}{V}$ lít glycerin cho vào bình và sau khi thêm nước, glycerin sẽ chiếm $\left(\frac{V-2}{V}\right)^2$ phần của bình. Sau thao tác thứ ba, glycerin sẽ chiếm $\left(\frac{V-2}{V}\right)^3$ một phần của bình và lượng glycerin trong bình sẽ bằng $V\left(\frac{V-2}{V}\right)^3$ lít. Theo điều kiện bài toán trong bình có thêm 3 lít nước, tức là $V\left(\frac{V-2}{V}\right)^3 + 3$. Cộng các đại lượng này, chúng ta có phương trình $2V\left(\frac{V-2}{V}\right)^3 + 3 = V$, mở $V^3 - 9V^2 + 24V - 16 = 0$. Vế trái của phương trình này dễ dàng được phân tích thành nhân tử; phương trình sẽ có dạng

$$(V-1)(V-4)^2 = 0.$$

Theo sau đó $V=4$ l, vì $V=1$ l không phù hợp với ý nghĩa của bài toán; Điều này có nghĩa là thể tích của glycerin là $V\left(\frac{V-2}{V}\right)^3 = 0,5$ lít.

Đáp số. Thể tích glycerin là 0,5 l, thể tích nước là 3,5 l. bài toán này hóa ra là khó nhất trong năm bài toán dành cho học sinh. Mặc dù, như bạn có thể thấy, nó được giải rất đơn giản, chỉ có 7% học sinh giải được và 80% không biết phải làm gì với nó.

4. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm $y = |x^2+2x-3| + \frac{3}{2}\ln x$ trên khoảng [1/2; 4].

Lời giải. Trước hết, chúng ta lưu ý rằng một trong các nghiệm của trilinen bình phương $x^2+2x-3$, cụ thể là $x=1$, thuộc đoạn [1/2; 4]. Khi ký hiệu hợp lệ

$$y = \begin{cases} -x^2-2x+3+3/2\ln x, & x \in [1/2; 1]; \\ x^2+2x-3+3/2\ln x, & x \in [1; 4]. \end{cases}$$

Hàm đạo hàm $y(x)$ có thể được viết là

$$y' = \begin{cases} -2x-2+\frac{3}{2x}, & x \in [1/2; 1]; \\ 2x+2+\frac{3}{2x}, & x \in [1; 4]. \end{cases}$$

(Lưu ý dấu ngoặc đơn: tại điểm $x=1$ đạo hàm không xác định). Vì $\frac{-4x^2-4x+3}{2x} < 0$ cho $x \in [1/2; 1]$ (điều này suy ra từ việc xem xét các căn bậc hai của trilinen bình phương $-4x^2-4x+3$), trên khoảng [1/2; 1] chức năng $y(x)$ giết chết. Tương tự như vậy với $x \in [1; 4]$ $y'(x) > 0$. Điều này có nghĩa là (xem “Đại số và sự khởi đầu của phân tích” 9) p. 54) rằng trên khoảng [1; 4] hàm $y(x)$ tăng. Hơn nữa, dễ dàng nhận thấy hàm số $y$ không liên tục dưới $x=1$. Điều này có nghĩa là giá trị nhỏ nhất của hàm là [1/2; 4] đạt được ở $x=1$ và bằng $y(1)=0$ và giá trị nhỏ nhất chỉ có thể đạt được ở cuối đoạn [1/2; 4].

Nhưng $y(4) = 21+3\ln 2 > y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{4} - \frac{3}{2}\ln 2$.

Đáp số. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, lớn nhất là 21+3\ln 2.

Lỗi điển hình: nhiều người nộp đơn không chú ý đến điểm tới hạn $x=1$ (trong đó đạo hàm $y'(x)$ không tồn tại), những người khác giả định giá trị lớn nhất của hàm tại $x=1/2$ ($y'(1/2)=0$) cho giá trị lớn nhất (không sử dụng các hàm ở đầu kia của đoạn). Hầu như chưa có ai thử vẽ đồ thị hàm số này, điều này có thể loại bỏ nhiều đáp số không chính xác. 17% người nộp đơn giải quyết được nhiệm vụ này, 38% không giải quyết được gì cả.

5. Giải phương trình

$$\log_3x+7(9+12x+4x^2) + \log_2x+3(6x^2+23x+21) = 0.$$

Lời giải. Trước hết, hãy lưu ý rằng $9+12x+4x^2 = (2x+3)^2$ và $6x^2+23x+21 = (2x+3)(3x+7)$. Nếu chúng ta biểu thị $\log_3x+7(2x+3)$ bằng $z$, thì phương trình ban đầu có thể được viết lại thành $2z+1+\frac{1}{z}=4$, nhân với $z$ để tìm $2z^2-3z+1=0$, cho ra $z_1=1/2$, $z_2=1$. Chúng tôi có $z_1=1/2 \Rightarrow \sqrt{3x+7}=2x+3$, $z_2=1 \Rightarrow 3x+7=2x+3$.

Bằng cách bình phương phương trình đầu tiên, chúng ta thu được một phương trình bậc hai, các nghiệm của nó là $x_1=1/4$, $x_2=-2$. Căn nguyên của phương trình thứ hai là $x_3=-4$. Trong quá trình biến đổi của chúng ta, tập nghiệm có thể mở rộng nên chúng ta cần kiểm tra; nó cho thấy rằng các giá trị của $x_2=2$ và $x_3=-4$ là các cấu trúc.

Đáp số. {-1/4}.

Những sai lầm điển hình: nhiều người nhầm lẫn khi cố gắng quy logarit về cơ số chung, chuyển đổi biểu thức logarit không chính xác, bỏ qua việc xây dựng nghiệm và không kiểm tra. bài toán này đã được giải quyết chính xác bởi 39% số người đăng ký. “Lời giải” 47% người nộp đơn được phát hiện là hoàn toàn sai.

Lưu ý rằng chỉ có 6% người nộp đơn giải được toàn bộ phương án mà không mắc lỗi.

Khoa Kinh tế Thư viện, Kế hoạch và Khoa Kinh tế

1. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} 4\sin y - 6\sqrt{2}\cos x = 5 + 4\cos^2 y, \\ \cos 2x = 0. \end{cases}$$

2. Diện tích của hình chữ nhật $ABCD$ là 48 và chiều dài đường chéo là 10. Trên mặt phẳng chứa hình chữ nhật, một điểm $O$ được chọn sao cho $|OB|=|OD|=13$. Tìm khoảng cách từ điểm $O$ đến khoảng cách lớn nhất từ ​​điểm đó đến đỉnh của hình chữ nhật.

3. Được biết, số tiền gửi vào ngân hàng từ đầu năm sẽ trả về một tỷ lệ phần trăm nhất định vào cuối năm (tùy từng ngân hàng). Đầu năm, 5/6 số tiền nhất định được đưa vào ngân hàng thứ nhất, phần còn lại vào ngân hàng thứ hai. Đến cuối năm, số tiền gửi này trở nên bằng nhau

46

670 đơn vị tiền tệ, đến cuối năm sau - 749 đơn vị tiền tệ. Người ta tính toán rằng nếu ban đầu 5/6 số tiền ban đầu được gửi vào ngân hàng thứ hai và phần còn lại vào ngân hàng thứ nhất, thì sau một năm, số tiền gửi ở các ngân hàng này sẽ bằng 710 đơn vị tiền tệ.

Giả sử số tiền ban đầu được gửi hoàn toàn vào ngân hàng thứ nhất, hãy xác định số tiền gửi sau hai năm.

4. Tìm các giá trị của tham số $a$ ($a \ge 1$) tại đó diện tích của hình được giới hạn bởi các đường thẳng $y = 1$, $y = 2$ và đường cong

$$y = ax^2, \quad x \ge 0,$$

$$y = \frac{1}{2}ax^2, \quad x \ge 0,$$

sẽ là nhiều nhất và tìm thấy khu vực này.

5. Giải bất đẳng thức

$$\frac{\log_5(x^2 - 4x + 11)^2 - \log_{11}(x^2 - 4x - 11)^3}{2 - 5x - 3x^2} \ge 0.$$

Khoa Tâm lý học

1. Tìm tất cả các phương trình lời giải

$$\sqrt{2 + \sqrt{6} - (6\sqrt{2} - 2\sqrt{3})} \sin x = 2 \sin x - \sqrt{2}.$$

2. Tại giá trị nào của tham số $a > 0$ thì diện tích của hình được giới hạn bởi các đường $y = a\sqrt{x}$ và $y = 2 - \sqrt{x}$ và trục $OY$ sẽ bằng số $b$? Tại $b$ thì bài toán có lời giải là bao nhiêu?

3. Giải bất đẳng thức

$$\frac{4}{|x+1| - 2} \ge |x-1|.$$

4. Điểm $M$ bằng các đỉnh $A, B$, $C$ của tứ diện đều $ABCD$:

$$|MA| = |MB| = |MC| = 2\sqrt{\frac{3}{2}}.$$ Biết rằng đoạn $MA$ vuông góc với đường cao của tam giác $BCD$ rơi từ đỉnh $B$. Tính thể tích của tứ diện $ABCD$.

5. Tìm tất cả các điểm của số $(x; y; z)$ mà kết quả khớp được thực hiện

$$5x^2 + y^2 + 3z^2 - 2yz = 30.$$

Khoa Ngôn ngữ học kết cấu và ứng dụng, Khoa Ngữ văn

1. Cho hai đường tròn cắt nhau. Hai tiếp tuyến chung được vẽ về chúng, cắt nhau tại điểm $A$ của đoạn nối tâm của các đường tròn. Bán kính của một hình tròn bằng $R$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến tâm hình tròn có bán kính lớn hơn là $6R$. Điểm $A$ chia độ dài đoạn tiếp tuyến giữa các điểm tiếp tuyến theo tỷ lệ 1:3. Tìm một hình phẳng được giới hạn bởi các đoạn tiếp tuyến và các cung tròn lớn nối các điểm tiếp tuyến.

2. Giải phương trình

$$\sin \left(2x + \frac{5}{2}\pi\right) - 3 \cos \left(x - \frac{7}{2}\pi\right) = 1 + 2 \sin x.$$

3. Giải bất đẳng thức

$$\log_{1/2}(4-x) \ge \log_{1/2}2 - \log_{1/2}(x-1).$$

4. Với dây chuyền sản xuất tự động, họ cho ra những sản phẩm giống nhau nhưng có năng suất khác nhau. Năng suất của dây chuyền hiện có cao gấp 1,5 lần năng suất của dây chuyền 1 và 2 hoạt động đồng thời. Nhiệm vụ thay đổi cho dòng đầu tiên; tuyến thứ hai và thứ ba làm việc đồng thời có thể hoàn thành nhanh hơn tuyến thứ nhất 4 giờ 48 phút; Dòng thứ hai hoàn thành nhiệm vụ tương tự nhanh hơn 2 giờ so với dòng đầu tiên. Tìm thời gian cần thiết để hoàn thành dòng đầu tiên trong ca làm việc của bạn.

5. Cho $m$ và $n$ là các số tự nhiên và $\frac{m}{n}$ là một phân số tối giản thực sự. Phân số $\frac{3n-m}{5n+2m}$ có thể rút gọn bằng số tự nhiên nào nếu biết rằng nó có thể rút gọn?

H. Bolotina, B. Wilke

Vật lý tại các khoa tự nhiên

Bài toán thi vấn đáp

Khoa Hóa học và Khoa Địa vật lý, Khoa Địa chất

1. Dây được uốn cong sao cho có hai vòng cung (Hình 1). Bán kính của các cung này là $R_1 = 1$ và $R_2 = 2R_1$. Các cung được đặt trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng sao cho tâm $O_1$ và $O_2$ của chúng nằm trên cùng một đường thẳng đứng tính từ điểm $A$ liên hợp của các cung này. Một hạt $B$ được đặt trên dây, hạt này trượt dọc theo nó mà không có ma sát. Hạt được đặt cách điểm $A$ một khoảng nhỏ so với $R_1$ và được thả ra. Tìm thời gian $t$ để hạt đạt đến cạnh cao nhất của điểm $A$.

2. Một người di chuyển một khối lập phương có chiều dài cạnh $a = 1,8$ m lên một mặt phẳng nghiêng tạo một góc $\alpha = 45^\circ$ với đường chân trời thì một lực tác dụng $F$ vuông góc với mặt khối lập phương và đảm bảo cho khối lập phương chuyển động tịnh tiến đều. Hỏi người đó có thể tác dụng một lực ở khoảng cách $x$ bao nhiêu để đáy khối lập phương không rời khỏi mặt phẳng nghiêng? Hệ số ma sát giữa bề mặt của hình lập phương và mặt phẳng nghiêng là $\mu = 0,2$.

3. Trong một bình hình trụ đặt dưới một piston không trọng lượng có một lượng khí ở nhiệt độ $t = 20^\circ C$. Khí chiếm thể tích $V = 1$ lít. Khi nhiệt độ khí tăng $\Delta t = 10^\circ C$, piston tăng lên. Tìm công $A$ do khí thực hiện. Áp suất khí quyển $p_0 = 10^5$ Pa, không có ma sát của piston với thành bình.

Hình 1.