Bài toán M611—M615; F623—F627

26

Bài toán

M611—M615; F623—F627

M611. Trên dây AB của đường tròn tâm O lấy một điểm M tùy ý. Qua các điểm A, M và O vẽ đường tròn cắt đường tròn thứ nhất tại các điểm A và C. Chứng minh rằng $|MB| = |MC|$.

S. Kolpkov, học sinh lớp 10

M612. Dãy số tự nhiên tăng dần ($a_n$) sao cho $a_{n+1} \leq 10a_n$. Chứng minh rằng nếu tất cả các số $a_n$ được viết cạnh nhau (không có dấu cách hoặc dấu phẩy) thì dãy số thu được sẽ không tuần hoàn.

A. Karadulyan

M613. Trên các cạnh của tam giác ABC, các tam giác đồng dạng được dựng ra bên ngoài

$$ADB, BEC \text{ и } CFA \left( |AD| |DB| = |BE| |EC| = |CF| |FA| = k; \right)$$

$$\widehat{ADB} = \widehat{BEC} = \widehat{CFA} = \alpha.$$

Chứng minh rằng:

a) Trung điểm của các đoạn AC, DC, BC và EF - các đỉnh của hình bình hành;

b) hình bình hành này có hai góc có độ lớn $\alpha$ và tỷ lệ độ dài các cạnh là $k$.

L. Kuptsov

M614. Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $S(n)$ biểu thị tổng các chữ số của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến $n$ (theo ký hiệu thập phân):

$$S(1) = 1, S(2) = 3, S(3) = 6, ..., S(9) = 45, S(10) = 46, S(11) = 48, S(12) = 51, ...$$

a) Tìm $S(100)$.

b) Chứng minh rằng $S(10^k - 1) = 45k \cdot 10^{k-1}$ với mọi $k = 1, 2, ...$

b) Chứng minh rằng với số có hai chữ số $\overline{ab}$

$$S(\overline{ab}) = 5a^2 + ab + 41a + b(b+1)/2.$$

d) Tìm công thức tương tự cho số có ba chữ số.

27

E) Thợ thêu S(1980).

Andrzej Paszewicz
(Ba Lan)

M615. Chứng minh rằng chu vi của bất kỳ phần nào của một paramid tam giác bởi một mặt phẳng không vượt quá hầu hết các chu vi các mặt của nó.

V. Người gửi

F623. Một tụ điện biến thiên có điện dung ban đầu $C_0$, được tích điện đến điện áp $U$, được nối với một điện trở có điện trở $R$ (Hình 1). Điện dung của tụ điện phải thay đổi như thế nào theo thời gian để dòng điện chạy qua mạch không đổi? Công suất nào được tạo ra bởi ngoại lực, do đó điện dung của tụ điện thay đổi?

F624. Trong quá trình vận hành bình, được đóng kín bằng một pít-tông phẳng có đường kính $D=5$ cm, có một lượng nước nhỏ (Hình 2). Đường kính của quá trình là $d=2$ mm. Nếu ở nhiệt độ không đổi $t=20^\circ\text{C}$ piston được hạ xuống $H=10$ cm thì mực nước trong quá trình này sẽ tăng $h=1$ mm. Tìm áp suất hơi bão hòa của nước ở nhiệt độ $t=20^\circ\text{C}$.

F625. Một động cơ phản lực được chế tạo từ vỏ trứng, như hình 3. Diện tích phản ứng trong vỏ là $s=3$ mm². Lực đẩy cực đại của động cơ như vậy là bao nhiêu nếu nhiệt độ của nước trong vỏ được duy trì ở 100°C?

F626. Một vận động viên rơi từ độ cao $H=12$ m xuống một tấm lưới đàn hồi căng ngang, bị lệch một góc $h=1$ m. Ước tính lực cực đại tác dụng lên người thôi miên từ lưới lớn hơn lực hấp dẫn bao nhiêu lần nếu kích thước của lưới lớn hơn $h$ và khối lượng của lưới nhỏ so với khối lượng của người.

Thế vận hội thành phố Leningrad, 1979

F627. Trong khi bạn giải bài toán từ «Kvant», khoai tây đang sôi trên bếp đã sôi, nước sôi cạn và bên trong chảo bị cháy. Nên đổ nước lạnh vào đâu để cặn cacbon thoát ra dễ dàng hơn - bên trong chảo hay trên bề mặt bên ngoài của nó?

L. Ashkinazi