Задачи М611—М615; Ф623—Ф627

26

Задачи

M611—M615; Ф623—Ф627

M611. На хорде AB окружности с центром O берется произвольная точка M. Через точки A, M и O проводится окружность, пересекающая первую окружность в точках A и C. Доказите, что $|MB| = |MC|$.

С. Колпаков, ученик 10 класса

M612. Возрастющая последовательность натуральных чисел ($a_n$) такова, что $a_{n+1} \leq 10a_n$. Доказите, что если все числа $a_n$ записать рядом (без пробелов и запятых), то полученная последовательность цифр не будет периодической.

А. Карадулян

M613. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники

$$ADB, BEC \text{ и } CFA \left( |AD| |DB| = |BE| |EC| = |CF| |FA| = k; \right)$$

$$\widehat{ADB} = \widehat{BEC} = \widehat{CFA} = \alpha.$$

Доказите, что:

a) середины отрезков AC, DC, BC и EF — верхины параллелограмма;

b) у этого параллелограмма два угла имеют величины $\alpha$, а отношение длины сторона равно $k$.

Л. Купцов

M614. Для каждой натурального $n$ через $S(n)$ обозначим сумму цифр всех натуральных чисел от 1 до $n$ (в десятичной записи):

$$S(1) = 1, S(2) = 3, S(3) = 6, ..., S(9) = 45, S(10) = 46, S(11) = 48, S(12) = 51, ...$$

a) Найдите $S(100)$.

b) Доказите, что $S(10^k - 1) = 45k \cdot 10^{k-1}$ для всех $k = 1, 2, ...$

b) Доказите, что для двухначного числа $\overline{ab}$

$$S(\overline{ab}) = 5a^2 + ab + 41a + b(b+1)/2.$$

г) Найдите аналогичную формулу для трехначных чисел.

27

Д) Вышите S(1980).

Анджей Пашевич
(Польша)

М615. Докажите, что перimetр любого сечения треугольной парамиды плоскостью не превосходит наиболее из перimetров ее граней.

В. Сендеров

Ф623. Переменный конденсатор с начальной емкостью $C_0$, заряженный до напряжения $U$, замыкают на резистор с сопротивлением $R$ (рис. 1). Как нужно изменять со временем емкость конденсатора, чтобы в цепи щелл постояний ток? Какую мощность развивают внешние силы, благородя котором изменяется емкость конденсатора?

Ф624. В отростке сосуда, закрытою плоским поршнем диаметра $D=5$ см, имеется небольшое количество воды (рис. 2). Диаметр отростка $d=2$ мм. Если при постоянной температуре $t=20^\circ\text{C}$ поршень опустить на $H=10$ см, то уровень воды в отростке повышается на $h=1$ мм. Найти давление насыщенных паров воды при температуре $t=20^\circ\text{C}$.

Ф625. Из яичной скорлупы сделан реактивный двигатель, показанный на рисунке 3. Площадь ответствия в скорлупе $s=3$ мм². Какова наиболее сила тягги такого двигателя, если температура воды в скорлупе поддерживается равной 100°С?

Ф626. Гимнаст падает с высоты $H=12$ м на горизонтальном натянутую упругую сетку, которая проигнается при этом на величины $h=1$ м. Оценить, во сколько раз максимальная сила, действующая на гипнаста со стороны сетки, больше силы тяжесте, если размер сетки много больше $h$ и масса сетки мал по сравнению с массой человека.

Ленинградская городская olимпиада, 1979 г.

Ф627. Пока вы решали задачи из «Кванта», картошка, которая варилась на плите, сварилась, вода выкипела и кастрюла изнутри пригорелла. Куда надо лить холодную воду, чтобы нагар легче отскочил — внутри кастрюли или на ее внешнюю поверхность?

Л. Ашкинази