[Задачи о турнирах]

61

Консультирует чемпион мира по шахматам, международный гроссейстер А. Карпов. Ведет страничку мастер спорта СССР по шахматам, кандидат технических наук Е. Гик.

В марте должны закончиться четвертфинальные матчи претензентов и претензентов. На рисунках 1, 2 приведены схемы, на которых вы можете отмечать результаты этих матче. К концу года знаки вопросов будут снять, и тогда мы узнали, с кем в матах на первенство мира в 1981 году предстоит отстаивать свои чемпионские звания Анатолию Карпову и Майе Чибурданизе.

Заметим, что из всех этапов борбы за первенство мира только совершения претензентов проходят по кубковой (олимпийской) системе. Зональные и международные туриры проводятся по крутовой системе, при которой все шахматные играют друг с другом. В статье «Кто поедет в Рио?» («Квант», 1972, № 8) рассматривается ряд интересных задач про кубковые туриры в предположении, что верен «приицил транситивности»: если А играет сильнее Б, а Б играет сильнее С, то А играет сильнее С. К сожалению, на практике этот принцип не всегда выполняется. Так, любой неудачиктей третий пары (см. рис. 1) имеет более высокий коэффициент Эло, чем участники второй пары, но, увы, борбу за мировую корону после четвертфинала продолжит только один из двух выдающихся шахматистов — М. Таль или Л. Полугаевский.

Предлагаем вам теперь решить четыре задачи — одну про кубковый турир, одну про крутовой и две на шахматной доске.

1. В розыгрыше кубка города участвует $n$ шахматистов. Предварительно прочитут кубки районов (в городе $p$ районов с числом шахматистов $n_1, n_2, \dots, n_p$), иобедители уже разыгрят главный кубок города. Оба этапа совершения проводятся по такой системе: еще не вывышше шахматисты жеребевкой разбиваются на пары и противники играют одну пару.

Рис. 1. Матчи претензентов среди мужчин.

Рис. 2. Матчи претензентов среди женши.

Рис. 3. И. Майзелис. Белье начинают и выиграют.

Рис. 4. Б. Гургенидзе, В. Корольков. Белье начинают и выиграют.

62

Закон всемирного тяготения

1. $\Delta R \approx \frac{2m |u|}{M} \sqrt{\frac{R_3}{g}} \approx 40$ м.

Указание и изменение скорости спутника $\Delta |v|$ и изменение радиуса его орбиты $\Delta R$ связаны соотношениям $2 |v| \Delta |v| = g \Delta R$.

2. $\frac{M_{10}}{M_3} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2 \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^3 \approx 320$.

3. $r_{\max} = 2R \left( \frac{T}{T_3} \right)^{2/3} - r_{\min} \approx 52 \cdot 10^8$ км,

где $T_3 = 1$ год — период обращения Земли вокруг Солнца.

Указание и изменение виспейные вектора $u$ должны совпадать с направлением движения спутника по орбите.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Математика на гуманитарных факультетх Отделение планирования и экономической библиотекки экономического факультета

1. $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z},$
   $y = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$.

2. $\frac{1}{5} \sqrt{7105}.$ Указание. Полезно ввести систему координат $Exy$ так, как указано на рисунке 1.

3. 726 денежных единиц.

4. Площадь будет наибольшей и равной $\frac{2}{3} (5 - 3\sqrt{2})$ при $a = 1$. Указание. Здесь удобнее выразить площадь $S$ через $y$ (а не через $x$); тогда площадь $S(a)$ находится сразу:

$$S(a) = \int_1^2 \left( \sqrt{\frac{2y}{a}} - \sqrt{\frac{y}{a}} \right) dy = \frac{2}{3} (5 - 3\sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{a}}.$$

5. $]^{1/3}; 2 + \sqrt{15}[$.

Рис. 1.

Факультет психологии

1. $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \ (n \in \mathbb{Z})$.

2. Площадь фигуры равна $b$ при $a = \sqrt{\frac{8}{3b}} - 1$, задача имеет решение при $0 < b < \frac{8}{3}$.

3. $] -1 - 2\sqrt{2}; -3 \ [\cup] 1; 3]$.

4. $\frac{16}{3} \sqrt{2}$.

5. $\{(1; 5; 0), (1; -5; 0), (-1; 5; 0), (-1; -5; 0)\}$.

Указание и изменение сдачей замени $n = y - z$.

Отделение структурой и прикладной лингвистики филологического факультета

1. $10R^2 (\sqrt{3} + \frac{2}{3}\pi)$.

2. $x_1 = \pi k \ (k \in \mathbb{Z})$;

$x_2 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \ (n \in \mathbb{Z})$.

3. $] 1; 2] \cup [3; 4]$.

4. Первая линия выполняет сменное задание за 8 часов.

5. Дробь $\frac{3n - m}{5n + 2m}$ можно сократить на 11.

Указание. Из условия задачи следует, что $3n - m = kp$ и $5n + 2m = kq$, где $p$ и $q$ взaimно просты. Умножая первоое уравнение на 2 и складывая со вторым, получим $11n = k(2p + q)$; умножая первоое на 5, второе на 3 и складывая, получим $11m = k(-5p + 3q)$. Из полученных уравнений не сложно вывести, что $k$ делится на 11 и даже, что $k = 11$.

Физика на естественных факультах

Химический факультет и отделение геофизики геологического факультета

1. $t = \frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2} \sqrt{\frac{R_1}{g}} \approx 1,2$ с.

2. $x \leqslant \frac{a}{\sqrt{2} (\sin \alpha + \mu \cos \alpha)} = 1,5$ м.

3. $A = p_0 V \Delta t / T \approx 3,46$ Дж.

4. $r = R / \sqrt{2} \approx 1,4$ Ом.

5. $n_{\min} = 1 / \sin \alpha \approx 1,15$.

Географический факультет, отделение общего геологического факультета и факультет почвоведения

1. $|\overrightarrow{F_a}| = mga/c = 200$ Н (стержень $AB$ расстояние); $|\overrightarrow{F_b}| = mgb/c = 250$ Н (стержень $CB$ скат).

2. $t = \frac{\pi}{3} \sqrt{\frac{l}{g}} \approx 0,35$ с.

3. $\Delta m = m_1(t_2 - t_1)/T_2 \approx 27$ г.

4. $U_{AB} = -\frac{2}{3} \beta = -4$ В.

5. $S = a^2 \sqrt{3} \approx 692$ см².

Заочная школа программирования, урок 4 (см. «Квант», 1979, № 11)

4.1 ЗАПОМНИТЬ ПРОЦЕДУРУ ЧЕТВЕРКА; 10 СЛОЖИТЬ А С А И ПРИСВОИТЬ А;

63

20 СЛОЖИТЬ А С А И ПРИСВОИТЬ А;
ЗАКОНЧИТЬ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ;
4.2
1 ПРИСВОИТЬ N; 0 ПРИСВОИТЬ M;
0 ПРИСВОИТЬ S;
ЗАПОМНИТЬ РЕЛЬС;
10 ПРОЕХАТЬ 24М;
20 СЛОЖИТЬ 1 С N И ПРИСВОИТЬ N;
30 СЛОЖИТЬ 24 С M И ПРИСВОИТЬ M;
40 :ПРОВЕРКА; ЗАКОНЧИТЬ;
ЗАПОМНИТЬ СИГНАЛ;
10 ОТПЕЧАТАТЬ ‘СТЫК НОМЕР’, N, ‘НЕИСПРАВЕН’;
20 ОТПЕЧАТАТЬ ‘РАССТОЯНИЕ’, M, ‘МЕТРОВ’;
30 СЛОЖИТЬ S С 1 И ПРИСВОИТЬ S;
ЗАКОНЧИТЬ;
ЗАПОМНИТЬ ПРОВЕРКА;
10 ЕСЛИ СТЫК НЕИСПРАВЕН TO :СИГНАЛ;
20 ЕСЛИ ВПЕРЕДИ ТУПИК TO ОТПЕЧАТАТЬ ‘ВСЕГО СТЫКОВ’, S, ИЗ НИХ НЕИССПРАВНО’, N ИНАЧЕ :РЕЛЬС;
ЗАКОНЧИТЬ;
ЗАПОМНИТЬ НОД(A, B);
10 ПОКА А БОЛЬШЕ В ПОВТОРЯТЬ :СЧЕТ;
30 ОТПЕЧАТАТЬ ‘ЧАСТНОЕ РАВНО’, ЧАСТ, ‘ОСТАТОК РАВЕН’, A;
ЗАКОНЧИТЬ;
ЗАПОМНИТЬ СЧЕТ;
10 СЛОЖИТЬ 1 С ЧАСТ И ПРИСВОИТЬ ЧАСТ;
20 ВЫЧЕСТЬ В ИЗ A И ПРИСВОИТЬ А;
ЗАКОНЧИТЬ;
4.4
ЗАПОМНИТЬ НОД(A, B);
10 ПОКА А НЕ РАВНО В ПОВТОРЯТЬ ЕСЛИ А БОЛЬШЕ В ТО ВЫЧЕСТЬ В ИЗ A И ПРИСВОИТЬ B;
ИНАЧЕ ВЫЧЕСТЬ А ИЗ B И ПРИСВОИТЬ B;
20 ОТПЕЧАТАТЬ A; ЗАКОНЧИТЬ;

Заочная школа программирования, урок 5
(см. «Квант» № 1)
5.1. 15->A; 24->B;
3A+A!3B!2+(A+B)!5-A!6/25+ +33A!6->C;
8C+A!2*(A+B+C)!7-33+(76A-34)/58+C!9->K;
K!8/38+5A/8+(A+K+B)!9-76+ +58C->J;
5.2. A=857 B=4 C=200.
5.3. (-B+(B!2-4AC)! 0.5)/(2A)->X1;
(-B-(B!2+4AC)! 0.5)/(2*A)->X2;
5.4. ЕСЛИ A>B TO A->МАКС;
B->МИН ИНАЧЕ A->МИН;
B->МАКС ВСЕ;
5.5. 1->N; 0->СЧ;
ПОКА N=<100 :: N! 2+СЧ->СЧ;
N+1->N ВСЕ;
5.6. ПОКА A/=B :: ЕСЛИ A>B TO B-A->ИНАЧЕ A-B->В ВСЕ ВСЕ;

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 2)

1. a) 24 и 26; 6) 13 и 14.
2. Для страниц с однозначными номерами потребуется 9 цифр, для страниц с двухначными номерами — 2·90=180 цифр. Остается 1392—189=1203 цифры — по 3 на страницу. Их хватит на 401 страницу. Всего в книге 401+90+9=500 страниц.
3. Аня носит белое платье, Валя — голубое, Галя — зеленное, а Надя — розовое.
4. Ответ. Да.
   Решение. Пусть «эта золотомка»=головомка A; «золовомка, которое вы раздали перед тем, как вы раздали золотомку A»,=головомка B.
   Тогда задача переформулируется так: «Если головомка B была труднее, чем головомка A, то была ли головомка B труднее, чем головомка A?».
5. См. рисунки 2 и 3: |AE|=|AB|, [FG]∩[AE], |FG|=|AE|, O∈[FG].

Шахматная страничка
(см. «Квант» № 2)

1. После 1. Лл:a6+!Kpb8 (1…ba 2. Фb6+ Кра8 3. Ф:a6+ Лл:a7 4. Ф:c8×) 2. Фа4 черные сладкие, так как от матовых угроз нет зашиты.
2. 1. Кd4+ Кре1 2. Фh2! Крd1! 3. Фh7! (гометрические движения ферзя довольно интерсены) Кре1! 4. Фh4+ (4. Фe4? Кpf2 5. Фf3+ Крg1 6. Ke2+ Крh2 7. Ф:f1 пат!). Теперь возникалот два основных варианта: a) 4… Крd1 5. Фe4! Фe1+ 6. Крb3 Фf2 (6…Фd2 7. Фh1+ Фe1 8. Фh5+ e2 9. Кf3) 7. Фb1+ Крd2 8. Фc2+ Крel 9. Фc1×; 6) 4…Фf2 5. Кc2+ Крe2 6. Фh5+ Кpf1 7. Фh1+ Фg1 8. Фf3+ Фf2 9. K:e3+ Крg1 10. Фd1+ Крh2 11. Кg4+.
3. Решение содержит 14 движений белого ферзя: Фe4+, Фа4+, Фf4+, Фf8+, Фf3+, Фa3+, Фg3+, Ф:g8+, Ф:a2+, Фh2+, Фh8+, Фa1+ и 14. Фа6× (все ходы черных вынуждаемых и поэтому не приводятся). Заметим, что такие сложные возвратно-поступательные движения ферзя (на достагоно шроких просторах dockи) шахматные композиторы называют виржом.
4. Будем считать, что наш необучная доска расположена в левом нижнем углу общей шахматной dockи. В этом случае 45 необходимых перемещений фигур можно записать следующим образом: Лл, С, Лл3d2 (на d2 могут пойти две ладьи), Кр, К, Кр, Лл, С, К, Кр, С, Кр, С, Лл1d2, С, К, Лл, Лл2d3, С, Кр, Ф, К, Ф, Кр, Ф, К, Кр, Ф, С, Лл, Лл4d3, К, С, Лл, С, Ф, С, Лл3d2, Ф, К, Ф, Лл, С, Лл. Король и ферз поменялись местами, все остальные фигуры вернулись на первоначальные поля.

Неожиданный ракурс
(см. «Квант» № 2)

1. a) Плоскость π, параллельная прямым a и b; 6) прямая, лежащая в плоскости π. Расмотреть две параллельные проекции: вдоль прямой a (или b) и вдоль прямой, соединяющей точки пересечения плоскости α с прямыми a и b.

64

2. Расстояние параллельного проекцию вдоль плоскости KLM.
3. а) Боковые ребра парамиды; ребра SB, SD и SE делятся соответственно в отношениях 3:4, 3:11 и 3:8, считая от вершины S. 6) Боковые ребра SA, SB, SC, SD и стороны основания AF и FE; ребра SB и SD делятся в отношениях 9:17 и 9:23, считая от S, ребра FA и FE — в отношениях 1:2 и 1:9, считая от F. Расстояние параллельного проекцию вдоль плоскости сечения на числовую ось, считая $x_K = x_L = x_M = 0$, $x_S = 1$. Зная координаты A, C и F (или E), определять координату проекции центра основания, а затем координаты остальных вершин.
4. Если точка K лежит вне трапеци, то $\frac{1}{15} S$, если внутри — то $\frac{2}{15} S$. Спроектировать трапецию вдоль прямой, параллельной основаниям на пересекающий их прямую; определить отношение высоты треугольника, опущенной из вершины K к высоте трапеци.
5. 1:2. Расстояние проекции вдоль $(BC_1)$ и вдоль боковых ребер признаны.
6. $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}} a$. Спроектировать парамиду вдоль (BD) на (SAD).
7. Спроектируйте вдоль секущей плоскости.
9. $\frac{7}{32} \text{см}^3$.
10. Косинус угла при ребре $AA_1$ равен $\frac{s_1^2 - s_2^2}{4S_1S_2}$.

Кроссворд
(см. «Квант» № 2, 3-ю с. обложки)

По горизонтали: 5. Магнето. 7. Лагранж.
11. Диагональ. 12. Дальномер. 13. Точка.
14. Ампер. 15. Абель. 16. Секанс. 18. Диоптр.
22. Кеплер. 24. Нейман. 27. Осмос. 29. Дирак.
30. Кулон. 31. Экстремум. 32. Лоуренский.
33. Радикал. 34. Локация.
По вертикали: 1. Марнитт. 2. Многочлен.
3. Ортоцентр. 4. Инфелью. 6. Тонна. 8. Альфа.
9. Алгамс. 10. Разряд. 17. Алгол. 19. Осмий.
20. Геометрия. 21. Наклонная. 23. Радиус.
24. Нуклон. 25. Домкрат. 26. Антимир.
28. Сфера. 30. Карно.

Задчини наших читателей
(см. «Квант» № 1, с. 55)

1. $b_n = 2 \cdot \frac{10^{6n-3}-1}{9}$, $n = 1, 2, 3, \dots$.
2. Имеем: $S = 2xy$ (обозначения см. на рисунке 1). Найдем произведение $xy$. Построим рис. 4.

Рис. 4.

$[O_1E] \perp [AB]$, где $|AE| = |EB|$ (рис. 1). Тогда по условию $|O_1B| = R$, $|O_2A| = r(O_2 = [AO] \cap [O_1E])$. Треугольники $AO_2E, O_1BE$ и ВОС подобны, поэтому

$$\begin{cases} \frac{z}{2r} = \frac{x}{z}, \\ \frac{z}{2R} = \frac{y}{z}. \end{cases}$$

Отсюда

$$z^2 = \frac{4r^2R^2}{R^2 + r^2},$$

$$xy = \frac{z^4}{4rR},$$

то есть

$$S = \frac{8r^3R^3}{(R^2 + r^2)^2}.$$

4. Доказательство provedem методом математической индукции. Для $n = 1$ утверждение задачи очевидно. Предположим, что оно верно для некоторого $n = k$. Докажем, что тогда оно верно для $n = k + 1$. Пусть имеется $3(k + 1)$ городов, для связи между которых используется $k + 1$ видов транспорта. Возьмем некоторый город $C$. Он связи с $3(k + 1)$! городами. Докажем, что найдется не менее $3k!$ городов, с которых город $C$ связан одинаковыми видами транспорта. Предположим, что среди этих $3k!$ городов имеют города $A$ и $B$, связанные между собой тем же видом транспорта, что и с городом $C$. Значит, выхав из города $C$, мы, не меняя вида транспорта, повышаем в городах $A$ и $B$ и вернемся обратно в $C$. Если же двух таких городов не найдется, то приdem к случая, когда имеется $3k!$ городов и $k$ видов транспорта, что дает утверждение ответ на вопрос задачи по предположению индукции.

Номер готовили:
А. Виленкин, И. Климова, Т. Петрова,
А. Сосинский, В. Тихомирова, Ю. Шиханович
Номер оформили:
М. Дубах, Г. Красников, Э. Назаров,
И. Смирнова, В. Чернов

Зав. редакцией Л. Чернова

Художственные редактор Т. Макарова

Корректор О. Кривенко, Т. Панькова

113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, «Квант», тел. 231-83-62
Сдано в набор 17.1.80
Подписано в печать 27.11.80
Печать офсетная
Бумага 70×108 1/16. Физ. печ. 4
Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,02. Т=01179
Цена 30 коп. Заказ 61. Тираж 266 907 экз.

Чеховский полигraphический комбинат
Соэзполигraphирома
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphиром и книжной торговли,
г. Чехов Московской области