Квант
Смесь

Задачи наших читателей

Квант 1980, №3с. 8Тег G54U

8

каждое из которых есть центральная симметрия, то есть поворот на 180°, представляет собой поворот на 180° • 5 = 2 • 360° + 180° (см. ниже задачу 9). Следовательно, f есть центральная симметрия, и потому A есть центр этой симметрии. Как же найти точку A? Берем произвольную точку A’ и строим точки B’ = s₁(A’), C’ = s₂(B’), D’ = s₃(C’), E’ = s₄(D’), F’ = s₅(E’).

Тогда f(A’) = E’, то есть точки A’ и F’ симметричных относительно исходной точки A (рис. 12), и потому A есть середина отрезка A’F’. Найдя A, легко затем отыскать и остальные вершины искомого пятугольника.

Задание

  1. Сколько существует перемещений плоскости, переводящих данные отрезок AB в себя?
  2. Докажите следующие аксимы подвижности: если |AB| = |A₁B₁|, причем A ≠ B, то существуетровно одно сохраняющее ориентацию перемещения, переводшее точки A, B соответствующего A₁, B₁, ировно одно меняющее ориентацию перемещение, переводшее точки A, B соответствующего A₁, B₁.
  3. Сколько существует перемещений, переводящих правильный n-угольник в себя? Сколько из них сохраняет ориентацию? Меняют ориентацию? Указание. Воспользовитесь тем, что каждое из этих перемещений переводит центр описанной окружности в себя.
  4. Точка A называется неподвижной точкой перемещения f, если f(A) = A. Сколько неподвижных точки имеет каждое из перемещений, перечисленных в теореме 1?
  5. Прямая l называется неподвижной прямой перемещения f, если f(l) = l. Сколько неподвижных прямых имеет каждое принципать сумма S = 1/1 + a₁ + + 1/1 + a₂ + … + 1/1 + aₙ, где все числа aᵢ положительные и a₁ • a₂ • … • aₙ = 1?

Задание
наших читателей

  1. Какие значения может принимать сумма S = 1/1 + a₁ + + 1/1 + a₂ + … + 1/1 + aₙ, где все числа aᵢ положительные и a₁ • a₂ • … • aₙ = 1?
    A. Ermilov

  2. Если число 2²k + 2ⁿ + 1 простое, то оно — делитель числа 2²k+1 — 1. Докажите. Г. Карнаух

  3. Докажите равенства:
    a) cos 2π/21 + cos 8π/21 +

  • cos 10π/21 = √21 + 1/4.
  1. cos 8π/35 + cos 12π/35 +
  • cos 18π/35 = 1/2 cos π/5 +
  • √7/2 sin π/5.

M. Розенберг

  1. На рогатку подвешен груз (рис. 1). Широкий конец рогатки медленно опускают. Определите, при каком угле наклона φ груз сокользет с рогатки φ, длина нити, на которой подвешен груз, l.

M. Ваксман