Закон всемирного тяготения

Квант 1980, №3 с. 41-42 Тег TRRA

Среди различных сил, действующих во Вселенной, самой фундаментальной и величественной является сил тяготения. Под действием этой силы планеты Солнечной системы, включая нашу Землю, движется по своим орбитам вокруг Солнца. Эта сила притягивает к центру Земли все нахождения на ней тела. Против этой силы была направлена вся мощь двигателей космического корабля, когда 4 октября 1957 года впервые в мире на околоземную орбиту был выведен первый советский искусственный спутник Земли.

Первым, кто понял роль силы тяготения, был Ньюотон. Анализируя законы Кеплера, которые описывают движение планета по своим орбитам вокруг Солнца, он пришел к заключению, что для удержания планеты на орбите должны существовать силы, направления точно от планеты к Солнцу и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Однако главная задача Ньюотона в том, что он сумел понять, что сила притягения планеты к Солнцу — это частный случай тяготения, действующего между любыми и двумя телами. Не случайно закон, открытий Ньюотом, назвается законом всемирного тяготения. Это один из самых фундаментальных законов природы.

В простейшем случае, когда взаимодействие тела можно считать материальным точками (размеры тел мы по сравнению с расстоянием между ними), закон всемирного тяготения формируется так — любые две материальные точки притягиваются друг друга с силой $\vec{F}$ , направленной по линии, их соединяющей, прямо пропорционально их массам $m_1$ и $m_2$ и обратно пропорционально квадрату расстояния $r$ между ними:

$|\vec{F}| = G \frac{m_1 m_2}{r^2}.$

Здесь $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{H} \cdot \text{m}^2/\text{кг}^2$ — гравиитционная постоянная; впервые она была измерена Кавендишем.

Если же размерами тел пренебречь нельзя, тела нужно мысленно разбит на небольшие участки также, чтобы их можно было считать материальным точками. Для каждой пары материальных точки нужно записать закон тяготения в виде () и найти соответствующее силу притягения, а затем — все полученные результаты сложить. Оказывается, для центрано симметричных тел (например, для шара или сферического слоя) силу притягения можно считать непосредственно по формуле (), поимая под $r$ расстояние между центрами масс взаимодействующих тел.

Как известно, гравиитционные поля (поля тяготения) являются потенциальными, то есть работа поля по перемещению тела из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, а определяется лишь разность потенциальных энергий тела в точках 1 и 2 соответствующего:

$A_{12} = E_{p1} - E_{p2}.$

Из этого равенства ясно, что определенный физический смысл имеет лишь разность потенциальных энергий в различных точках поля. Численное же значение потенциальной энергии в отдельной точке особого смысл не имеет, оно всегда определяется с точностью до некоторой постоянной величины. Вот почему при решении конкретных задач нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать произвольно, в наиболее удобной точке.

Объчно для определения потенциальной энергии тела массой $m$ , поднятого на высоту $h$ над нулевым уровнем, пользовется формулой

$E_p = mgh.$

Однако это равенство справедливо лишь для значений $h$ , много меньше радиуса Земли $R_3(h \ll R_3)$ . Если такое условие не выполняется, потенциальную энергию надо считать, по-другому. Поясим это на конкретной задаче.

Задача 1. Подавая в бесконечности (то есть на большом расстоянии от Земли, где сила тяотнения пребрежимо мала) потенциальную энергию тела равной нулю, найдите зависимость потенциальной энергии $E_p$ от расстояния $r$ от центра Земли.

Ограничимся областью $r \geq R_3$ .

Пotenциальная энергия $E_p$ тела массой $m$ , находящемся на расстоянии $r$ от центра Земли, равна равете, которое совершает поле тяотнения, перемещая это тело из данной точки в бесконечность. Поскольку в потенциальном поле равота не зависит от формы траектории, будем считать, что тело перемещается вдоль радиального направления. При перемещении тела из точки 1, находящемся на расстоянии $r_1$ от центра Земли (рис. 1), в точку 2, отстоящую от центра Земли на расстояние $r_2$ , поле совершает равоту

$A_{12} = \int_{r_1}^{r_2} |\vec{F}(r)| \, dr = \int_{r_1}^{r_2} -G \frac{mM_3}{r^2} \, dr = G \frac{mM_3}{r_2} - G \frac{mM_3}{r_1}.$

При условии, что точка 2 бесконечно удалена, первое слагаемое равно нулю (при $r_2 \to \infty \frac{1}{r_2} \to 0$ ). Таким образом, зависимость потенциальной энергии от расстояния $r$ от центра Земли имеет вид

$E_p(r) = -G \frac{mM_3}{r},$

где $M_3$ — масса Земли. График этой зависимости изображен на рисунке 2.

Разберем еще несколько задач.

Задача 2. Определите, какую минимальную скорость надо сообщить находящему на поверхности Земли тела для того, чтобы оно ушло из сферы действия gravitationного поля Земли.

Прежде всего заметим, что искому скорость называют второй космической скоростью $\vec{v}_{2k}$ . Для определения ее модели $v_{2k}$ воспользуемся законом сохранения энергии.

Сразу же после запуска, то есть непосредственно у поверхности Земли, кинетическая энергия тела равна $mv_{2k}^2/2$ , а его потенциальная энергия равна $-GmM_3/R_3$ . Полная механическая энергия

$E = \frac{mv_{2k}^2}{2} - G \frac{mM_3}{R_3}.$

Когда тело удалится от Земли на бесконечно большое расстояние (уйдет за пределы действия поля тяотнения Земли), потенциальная энергия тела становится равной нулю. Очевидно, что при этом кинетическая энергия тоже обратится в нуль (мы ищем минимальную начальную скорость тела). Поскольку полная энергия тела не изменяется, получаем

$\frac{mv_{2k}^2}{2} - G \frac{mM_3}{R_3} = 0.$

Отсюда

$v_{2k} = \sqrt{2G \frac{M_3}{R_3}} = \sqrt{2gR_3} \approx 11,2 \text{ km/c}$
( $g = 9,8 \text{ m/c}^2$ — ускорение свободного давления у поверхности Земли).

Задача 3. Искусственный спутник, использующий в системе