Выпуклость функций и доказательство неравенств

21

М. Шкапенюк

ВЫПУКЛОСТЬ
ФУНКЦИЙ
И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
НЕРАВЕНСТВ

В этой статье исследуются свойства выпukлых функций. В частности, установливается неравенство между средним арфметическим значением выпukлой функции в л точках и ее значением в среднем арфметическим этих точек. Из этого неравенства легко получаются классические соотношения между средним гармоничским, средним геометрическим, средним арфметическим и средним квадратическим.

Выпukлые функции
Рассмотрим функцию $f$, дифференцирую в любой точке отрезка $[a; b]$, и обозначим через $\Gamma$ часть графика функции $f$, отвечающего этому отрезку:

$$\Gamma = \{(x; y) | x \in [a; b] \text{ и } y = f(x)\}.$$

Функция $f$ называется выпukлой вверх на отрезке $[a; b]$ («Алгебра и начала анализа 10», п. 79), если для любой точки $T \in \Gamma$ кривая $\Gamma$ лежит ниже касательной к $\Gamma$ в точке $T$ (рис. 1 a). Аналитически, как легко видеть (рис. 2), это условие записья в виде неравенства

$$f(x_2) < f(x_1) + f'(x_1)(x_2 - x_1),$$

которое должно выполнять при любых (различных) $x_1, x_2 \in [a; b]$. Аналогично определяется выпukлость вниз на отрезке (рис. 1, б); для нее знак < в неравенстве (1) нужно заменить на >.

В том же пункте учебника формулируется достаточно при любых функциях: если на промежутке вторая произвольная положительная (отрицательная), то график обращен выпukлостью вниз (вверх). Геометрические первому случае obtueаетускоренное возрастание или замедленноеубывание, а второму — замедленноеубывание илиускоренноеубывание.

Примеры 1) Функция $f(x) = x^2$ выпukла вниз на любом отрезке $[a; b]$. 2) Функция $f(x) = \lg x$ выпukла вверх $[a; b]$, если $0 < a < b$. 3) Функция $f(x) = \sin x$ выпukла вверх $[0; \pi]$ и выпukла вниз $[\pi; 2\pi]$.

Рассмотрим теперь несколько простых свойств выпukлых функций; мы их формулируем для случая функций, выпukлых вверх, оставляя читатель их переформулировки для функций, выпukлых вниз.

I. Если $f$ выпukла вверх $[a; b]$, то для любых (различных) точки

$$f\left(\frac{1}{2}(x_1 + x_2)\right) > \frac{1}{2}(f(x_1) + f(x_2)).$$

Рис. 1 a

Рис. 1 6

22

Доказательство очевидно: достаточно проверки касательную к графику функций в точке $\frac{1}{2}(x_1+x_2) \in [a; b]$ и заметить, что длина отрезка $|AB|$ равна $\frac{1}{2}(f(x_1)+f(x_2))$ (рис. 3).

Можно показать, что дифференцируемая на отрезке $[a; b]$ функция, обладающая свойством I, обладаетно будет выпуклой вверх. На этом факт не потребуется, поэтому доказательство мы не приводим.

II. Если функция $f(x)$, $g(x)$ выпуклы вверх на $[a; b]$, то их сумма $h(x)=f(x)+g(x)$ тоже выпукла вверх на $[a; b]$.

Дейстивительно, складывая неравенства (1) для $f$ и $g$ и пользовать тем, что $h'(x)=f'(x)+g'(x)$, мы сразу получим неравенство (1) для функции $h$.

III. Если функция $f(x)$ выпукла вверх на $[a; b]$, то функция $h(x)=-f(x)$ выпукла вниз на $[a; b]$.

Это сразу следует из определения выпуклости функции. Из свойств II и III сразу вытекает следующее свойство:

IV. Если функция $f(x)$ выпукла вверх на $[a; b]$, а функция $g(x)$ выпукла вниз на этом отрезке, то функция $h(x)=f(x)-g(x)$ на нем выпукла вверх.

А вот и обещанное основное неравенство.

Теорема. Если функция выпукла вверх на $[a; b]$ и числа $x_1, x_2, \dots, x_n \in [a; b]$ ($n \geqslant 2$) не все равны, то

$$f\left(\frac{1}{n}(x_1+\dots+x_n)\right) > \frac{1}{n}[f(x_1)+\dots+f(x_n)].$$

Эта теорема — неиссЯкаемый источник неравенства: достаточно подставить любую конкретирую выпуклу вверх функцию вместе функции $f$ в (*) и… неравенство готово! Например, взяв вместе $f$ функцию sin, получим, что для любых (различных) $x_1, \dots, x_n \in [0; \pi]$ выполняется такое неравенство:

$$\sin\left(\frac{1}{n}(x_1+\dots+x_n)\right) > \frac{1}{n}(\sin x_1+\dots+\sin x_n).$$

Мы отключим доказательство теоремы до конца статьи, а сейчас посмотрим, как из нее получаются.

Классические неравенства

Напомним несколько определений, часто встречающихся в математике и грашших важную роль в ее приложениях (теории вероятностей, математической статистике и т. д.).

Средним гармоничским положительным чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ называется число

$$P_{-1} = \left(\frac{1}{n}(x_1^{-1}+x_2^{-1}+\dots+x_n^{-1})\right)^{-1} = n/(x_1^{-1}+x_2^{-1}+\dots+x_n^{-1}).$$

Средним геометрическим положительным чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ называется число

$$P_0 = \sqrt{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n},$$