[Bài toán về các giải đấu]

61

Lời khuyên của nhà vô địch cờ vua thế giới, đại kiện tướng quốc tế A. Karpov. Trang này được điều hành bởi E. Gik, Thạc sĩ Thể thao Cờ vua Liên Xô, Ứng viên Khoa học Kỹ thuật.

Các trận tứ kết giữa kẻ thách thức và kẻ thách thức sẽ kết thúc vào tháng 3. Hình 1, 2 hiển thị sơ đồ để bạn có thể đánh dấu kết quả của các kết quả khớp này. Đến cuối năm, các dấu hỏi sẽ bị xóa, và sau đó chúng tôi biết được Anatoly Karpov và Maya Chiburdanise sẽ phải bảo vệ danh hiệu vô địch của họ trong các trận đấu ở Giải vô địch thế giới năm 1981.

Hãy lưu ý rằng trong tất cả các giai đoạn của cuộc chiến giành chức vô địch thế giới, chỉ có các ứng viên được thực hiện theo hệ thống cúp (Olympic). Các giải đấu khu vực và quốc tế được tổ chức theo một hệ thống hay, trong đó tất cả các kỳ thủ chơi cờ với nhau. Trong bài viết “Ai sẽ tới Rio?” («Kvant», 1972, Số 8) một số bài toán thú vị về các giải đấu cúp được xem xét với giả định rằng “nguyên tắc chuyển tiếp” là đúng: nếu A chơi mạnh hơn B và B chơi mạnh hơn C thì A chơi mạnh hơn C. Thật không may, trên thực tế, nguyên tắc này không phải lúc nào cũng được đáp ứng. Như vậy, bất kỳ thất bại nào của cặp thứ ba (xem Hình 1) đều có hệ số Elo cao hơn so với những người tham gia cặp thứ hai, nhưng than ôi, chỉ một trong hai kỳ thủ xuất sắc - M. Tal hoặc L. Polugaevsky - sẽ tiếp tục cuộc chiến giành vương miện thế giới sau vòng tứ kết.

Bây giờ chúng tôi mời bạn giải bốn bài toán - một về giải đấu cúp, một về giải đấu hay và hai trên bàn cờ.

1. $n$ Các kỳ thủ đang tham gia cúp thành phố. Cúp của các quận sẽ được đọc trước (trong thành phố có $p$ quận có số người chơi cờ là $n_1, n_2, \dots, n_p$), và những người chiến thắng sẽ tranh cúp chính của thành phố. Cả hai giai đoạn hoàn thành đều được thực hiện theo hệ thống sau: những kỳ thủ chưa có trình độ cao được chia thành từng cặp bằng cách bốc thăm và đối thủ chơi một cặp.

Hình 1. Trận đấu giữa các đối thủ nam.

Hình 2. Trận đấu của các tay vợt nữ.

Hình 3. I. Maizelis. Đồ lót bắt đầu và chiến thắng.

Hình 4. B. Gurgenidze, V. Korolkov. Đồ lót bắt đầu và chiến thắng.

62

Định luật hấp dẫn

1. $\Delta R \approx \frac{2m |u|}{M} \sqrt{\frac{R_3}{g}} \approx 40$ m.

Gợi ý và sự thay đổi tốc độ của vệ tinh $\Delta |v|$ và sự thay đổi bán kính quỹ đạo của nó $\Delta R$ có ​​liên quan đến các mối quan hệ $2 |v| \Delta |v| = g \Delta R$.

2. $\frac{M_{10}}{M_3} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2 \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^3 \approx 320$.

3. $r_{\max} = 2R \left( \frac{T}{T_3} \right)^{2/3} - r_{\min} \approx 52 \cdot 10^8$ km,

trong đó $T_3 = 1$ năm là thời kỳ Trái đất quay quanh Mặt trời.

Gợi ý và sự thay đổi của vectơ không gian $u$ phải trùng với hướng chuyển động quỹ đạo của vệ tinh.

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Toán các khoa nhân văn Khoa Kế hoạch và Kinh tế Thư viện Khoa Kinh tế

1. $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z},$
   $y = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$.

2. $\frac{1}{5} \sqrt{7105}.$ Gợi ý. Sẽ rất hữu ích khi giới thiệu hệ tọa độ $Exy$ như được chỉ ra trong Hình 1.

3. 726 đơn vị tiền tệ

4. Diện tích sẽ lớn nhất và bằng $\frac{2}{3} (5 - 3\sqrt{2})$ tại $a = 1$. Gợi ý. Ở đây sẽ thuận tiện hơn khi biểu thị diện tích $S$ theo $y$ (thay vì theo $x$); thì diện tích $S(a)$ được tìm thấy ngay:

$$S(a) = \int_1^2 \left( \sqrt{\frac{2y}{a}} - \sqrt{\frac{y}{a}} \right) dy = \frac{2}{3} (5 - 3\sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{a}}.$$

5. $]^{1/3}; 2 + \sqrt{15}[$.

Hình 1.

Khoa Tâm lý học

1. $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \ (n \in \mathbb{Z})$.

2. Diện tích của hình là $b$ với $a = \sqrt{\frac{8}{3b}} - 1$, bài toán có ​​lời giải với $0 < b < \frac{8}{3}$.

3. $] -1 - 2\sqrt{2}; -3 \ [\cup] 1; 3]$.

4. $\frac{16}{3} \sqrt{2}$.

5. $\{(1; 5; 0), (1; -5; 0), (-1; 5; 0), (-1; -5; 0)\}$.

Gợi ý và thay đổi bằng cách chuyển thay thế $n = y - z$.

Khoa Cấu trúc và Ngôn ngữ học ứng dụng, Khoa Ngữ văn

1. $10R^2 (\sqrt{3} + \frac{2}{3}\pi)$.

2. $x_1 = \pi k \ (k \in \mathbb{Z})$;

$x_2 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \ (n \in \mathbb{Z})$.

3. $] 1; 2] \cup [3; 4]$.

4. Người thứ nhất hoàn thành một ca làm việc trong 8 giờ.

5. Phân số $\frac{3n - m}{5n + 2m}$ có thể giảm đi 11.

Gợi ý. Từ điều kiện bài toán suy ra $3n - m = kp$ và $5n + 2m = kq$, trong đó $p$ và $q$ đều nguyên tố chung. Nhân phương trình đầu tiên với 2 và cộng nó với phương trình thứ hai, chúng ta được $11n = k(2p + q)$; nhân số thứ nhất với 5, số thứ hai với 3 rồi cộng lại, chúng ta được $11m = k(-5p + 3q)$. Từ các phương trình thu được, không khó để suy ra rằng $k$ chia hết cho 11 và thậm chí chia hết cho $k = 11$.

Vật lý tại các khoa tự nhiên

Khoa Hóa học và Khoa Địa vật lý, Khoa Địa chất

1. $t = \frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2} \sqrt{\frac{R_1}{g}} \approx 1,2$ tr.

2. $x \leqslant \frac{a}{\sqrt{2} (\sin \alpha + \mu \cos \alpha)} = 1,5$ m.

3. $A = p_0 V \Delta t / T \approx 3,46$ J.

4. $r = R / \sqrt{2} \approx 1,4$ Ôm.

5. $n_{\min} = 1 / \sin \alpha \approx 1,15$.

Khoa Địa lý, Khoa Tổng hợp Khoa Địa chất và Khoa Khoa học Đất

1. $|\overrightarrow{F_a}| = mga/c = 200$ N (khoảng cách thanh $AB$); $|\overrightarrow{F_b}| = mgb/c = 250$ N (thanh $CB$).

2. $t = \frac{\pi}{3} \sqrt{\frac{l}{g}} \approx 0,35$ tr.

3. $\Delta m = m_1(t_2 - t_1)/T_2 \approx 27$ g.

4. $U_{AB} = -\frac{2}{3} \beta = -4$ V.

5. $S = a^2 \sqrt{3} \approx 692$ cm2.

Trường Lập trình Tương ứng, Bài 4 (xem «Kvant», 1979, Số 11)

4.1 NHỚ THỦ TỤC BỐN; 10 THÊM A VỚI A VÀ Gán A;

63

20 THÊM A VỚI A VÀ Gán A;
HOÀN THÀNH MÔ TẢ THỦ TỤC;
4.2
1 PHẦN N; 0 CHỈ M;
0 Gán S;
HÃY NHỚ ĐƯỜNG SẮT;
10 ĐI 24M;
20 CỘNG 1 VỚI N VÀ Gán N;
30 CỘNG 24 VÀO M VÀ Gán M;
40 : KIỂM TRA; HOÀN THÀNH;
TÍN HIỆU CỬA HÀNG;
10 IN ‘SỐ LIÊN’, N, ‘LỖI’;
20 IN ‘KHOẢNG CÁCH’, M, ‘MÉT’;
30 THÊM S VÀO 1 VÀ Gán cho S;
HOÀN THÀNH;
NHỚ KIỂM TRA;
10 NẾU KHỚP LỖI: TÍN HIỆU;
20 NẾU CÓ KẾT THÚC PHÍA TRƯỚC ĐỂ IN ‘TỔNG KHOẢN’, S, CỦA CHÚNG LÀ LỖI’, N ELSE: RAIL;
HOÀN THÀNH;
NHỚ GD(A,B);
10 TẠM BIỆT THÊM TRONG LẶP LẠI :COUNT;
30 IN ‘QUOTIVE EQUALS’, PHẦN, ‘RESAIN EQUALS’, A;
HOÀN THÀNH;
NHỚ TÀI KHOẢN;
10 THÊM 1 VÀO TRƯỚC VÀ Gán TẦN SỐ;
20 TRỪ B TỪ A VÀ GIAO CHO A;
HOÀN THÀNH;
4.4
NHỚ GD(A,B);
10 ĐẾN KHI A BẰNG B LẶP LẠI NẾU A LỚN HƠN B SAU ĐÓ TRỪ B TỪ A VÀ Gán B;
KHÁC TRỪ A TỪ B VÀ GIAO CHO B;
20 IN A; HOÀN THÀNH;

Trường học viết mã, bài 5
(xem «Kvant» số 1)
5.1. 15->A; 24->B;
3A+A!3B!2+(A+B)!5-A!6/25+ +33A!6->C;
8C+A!2*(A+B+C)!7-33+(76A-34)/58+C!9->K;
K!8/38+5A/8+(A+K+B)!9-76+ +58C->J;
5.2. A=857 B=4 C=200.
5.3. (-B+(B!2-4AC)! 0.5)/(2A)->X1;
(-B-(B!2+4AC)! 0.5)/(2*A)->X2;
5.4. NẾU A>B ĐẾN A->MAX;
B->MIN ELSE A->MIN;
B->TỐI ĐA TẤT CẢ;
5.5. 1->N; 0->MF;
TẠM BIỆT=<100 :: N! 2+MF->MF;
N+1->N TẤT CẢ;
5.6. WHILE A/=B :: IF A>B TO B-A->ELSE A-B->B ALL ALL;

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(xem «Kvant» số 2)

1. a) 24 và 26; 6) 13 và 14.
2. Đối với các trang có số có một chữ số thì bắt buộc phải có 9 chữ số, đối với các trang có số có hai chữ số - 2·90=180 chữ số. Vậy còn lại 1392—189=1203 số—3 số trên mỗi trang. Chúng đủ cho 401 trang. Tổng cộng cuốn sách có 401+90+9=500 trang.
3. Anya mặc váy trắng, Valya mặc váy xanh, Galya mặc váy xanh lá cây và Nadya mặc váy hồng.
4. Đáp số. Đúng.
   Lời giải. Đặt “thợ kim hoàn này” = đầu A; “chị dâu bạn đã đưa trước khi đưa đồng tiền vàng A” = đầu B.
   Khi đó bài toán được phát biểu lại thành: “Nếu câu đố B khó hơn câu đố A thì câu đố B có khó hơn câu đố A không?”
5. Xem Hình 2 và 3: |AE|=|AB|, [FG]∩[AE], |FG|=|AE|, O∈[FG].

Trang cờ vua
(xem «Kvant» số 2)

1. Sau 1. Rl:a6+!Kpb8 (1…ba 2. Qb6+ Kra8 3. Q:a6+ Rl:a7 4. Q:c8×) 2. Q4 màu đen rất ngọt ngào, vì không có khả năng phòng vệ trước các mối đe dọa giao phối.
2. 1. Nd4+ Ke1 2. Qh2! Kd1! 3. Qh7! (chuyển động hình học của nữ hoàng khá thú vị) Kre1! 4. Qh4+ (4. Qe4? Kpf2 5. Qf3+ Kg1 6. Ke2+ Kh2 7. Q:f1 bế tắc!). Bây giờ có hai lựa chọn chính: a) 4… Kd1 5. Qe4! Qe1+ 6. Kb3 Qf2 (6…Qd2 7. Qh1+ Qe1 8. Qh5+ e2 9. Nf3) 7. Qb1+ Kd2 8. Qc2+ Krel 9. Qc1×; 6) 4…Qf2 5. Kc2+ Ke2 6. Qh5+ Kpf1 7. Qh1+ Qg1 8. Qf3+ Qf2 9. K:e3+ Kg1 10. Qd1+ Kh2 11. Ng4+.
3. Lời giải chứa 14 nước đi của quân hậu trắng: Qe4+, Q4+, Qf4+, Qf8+, Qf3+, Qa3+, Qg3+, Q:g8+, Q:a2+, Qh2+, Qh8+, Qa1+ và 14. Q6× (tất cả các nước đi đen đều bị ép buộc và do đó không được đưa ra). Lưu ý rằng những chuyển động qua lại phức tạp như vậy của quân hậu (trong những bến tàu rộng lớn) được các nhà soạn nhạc cờ vua gọi là virges.
4. Giả sử rằng bàn cờ không dành cho huấn luyện của chúng ta nằm ở góc dưới bên trái của bàn cờ chung. Trong trường hợp này, 45 chuyển động cần thiết của các quân có thể được viết như sau: Ll, S, Ll3d2 (hai quân xe có thể đi đến d2), Kr, K, Kr, Ll, S, K, Kr, S, Kr, S, Ll1d2, S, K, Ll, Ll2d3, S, Kr, F, K, F, Kr, F, K, Kr, F, S, Ll, Ll4d3, K, S, Ll, S, F, S, Ll3d2, F, K, F, Ll, S, Ll. Vua và hoàng hậu đổi chỗ cho nhau, tất cả các quân cờ khác đều trở về ô ban đầu.

Góc bất ngờ
(xem «Kvant» số 2)

1. a) Mặt phẳng π song song với đường thẳng a và b; 6) một đường thẳng nằm trong mặt phẳng π. Xét hai hình chiếu song song: dọc theo đường thẳng a (hoặc b) và dọc theo đường thẳng nối giao điểm của mặt phẳng α với đường thẳng a và b.

64

2. Khoảng cách song song với hình chiếu dọc theo mặt phẳng KLM.
3. a) Các gân bên của ba la mật; các gân SB, SD và SE được chia lần lượt theo tỷ lệ 3:4, 3:11 và 3:8 tính từ đầu S. 6) Các gân bên SA, SB, SC, SD và các cạnh đáy AF và FE; các gân SB và SD được chia theo tỷ lệ 9:17 và 9:23 tính từ S, các gân FA và FE - theo tỷ lệ 1:2 và 1:9 tính từ F. Khoảng cách của hình chiếu song song dọc theo mặt phẳng tiết diện lên trục số, tính $x_K = x_L = x_M = 0$, $x_S = 1$. Biết tọa độ A, C và F (hoặc E) xác định tọa độ hình chiếu của tâm đáy rồi đến tọa độ các đỉnh còn lại.
4. Nếu điểm K nằm ngoài hình thang thì $\frac{1}{15} S$, nếu nằm trong hình thang thì $\frac{2}{15} S$. Chiếu một hình thang dọc theo một đường thẳng song song với các đáy lên một đường thẳng cắt chúng; xác định tỉ số giữa chiều cao của tam giác rơi từ đỉnh K và chiều cao của hình thang.
5. 1:2. Khoảng cách chiếu dọc theo $(BC_1)$ và dọc theo các cạnh bên được nhận dạng.
6. $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}} a$. Chiếu paramid dọc theo (BD) lên (SAD).
7. Thiết kế dọc theo mặt phẳng cắt.
9. $\frac{7}{32} \text{см}^3$.
10. Cosin của góc ở cạnh $AA_1$ bằng $\frac{s_1^2 - s_2^2}{4S_1S_2}$.

trò chơi ô chữ
(xem «Kvant» số 2, trang bìa thứ 3)

Ngang: 5. Magneto. 7. Độ trễ.
11. Đường chéo. 12. Công cụ tìm phạm vi. 13. Điểm.
14. Ampe. 15. Abel. 16. Bí tích. 18. Diop.
22. Kepler. 24. Neumann. 27. Thẩm thấu. 29. Dirac.
30. Mặt dây chuyền. 31. Cực độ. 32. Lawrence.
33. Cấp tiến. 34. Vị trí.
Dọc: 1. Marnitte. 2. Đa thức.
3. Trực tâm. 4. Infelho. 6. Tôn. 8. Alpha.
9. Algam. 10. Xả. 17. Algol. 19. Osmium.
20. Hình học. 21. Xiên. 23. Bán kính.
24. Nucleon. 25. Jack. 26. Phản thế giới.
28. Quả cầu. 30. Carnot.

Làm khó độc giả của chúng tôi
(xem «Kvant» số 1, trang 55)

1. $b_n = 2 \cdot \frac{10^{6n-3}-1}{9}$, $n = 1, 2, 3, \dots$.
2. Chúng ta có: $S = 2xy$ (về các ký hiệu, xem Hình 1). Hãy cùng tìm sản phẩm $xy$. Hãy xây dựng một hình. 4.

Hình 4.

$[O_1E] \perp [AB]$, trong đó $|AE| = |EB|$ (Hình 1). Sau đó theo điều kiện $|O_1B| = R$, $|O_2A| = r(O_2 = [AO] \cap [O_1E])$. Do đó, tam giác $AO_2E, O_1BE$ và BOC tương tự nhau

$$\begin{cases} \frac{z}{2r} = \frac{x}{z}, \\ \frac{z}{2R} = \frac{y}{z}. \end{cases}$$

Từ đây

$$z^2 = \frac{4r^2R^2}{R^2 + r^2},$$

$$xy = \frac{z^4}{4rR},$$

đó là

$$S = \frac{8r^3R^3}{(R^2 + r^2)^2}.$$

4. Chứng minh được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Với $n = 1$ mệnh đề bài toán là hiển nhiên. Giả sử nó đúng với một số $n = k$. Hãy chứng minh rằng nó đúng với $n = k + 1$. Giả sử có $3(k + 1)$ thành phố để liên lạc với nhau, trong đó $k + 1$ phương thức vận tải được sử dụng. Hãy lấy một số thành phố $C$. Anh ấy được kết nối với $3(k + 1)$! các thành phố. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng có ít nhất $3k!$ thành phố mà thành phố $C$ được kết nối bằng cùng một phương thức vận tải. Giả sử rằng trong số các thành phố $3k!$ này có các thành phố $A$ và $B$, được kết nối với nhau bằng cùng một loại phương tiện giao thông như với thành phố $C$. Điều này có nghĩa là, sau khi rời khỏi thành phố $C$, chúng tôi, không thay đổi loại phương tiện giao thông, tăng số lượng các thành phố $A$ và $B$ và quay trở lại $C$. Nếu không có hai thành phố như vậy, thì chúng ta sẽ đi đến trường hợp có $3k!$ thành phố và $k$ phương thức vận tải, đưa ra tuyên bố đáp số cho câu hỏi bài toán bằng giả định quy nạp.

Phòng đã được chuẩn bị:
A. Vilenkin, I. Klimova, T. Petrova,
A. Sosinsky, V. Tikhomirova, Y. Shikhanovich
Số đã được phát hành:
M. Dubach, G. Krasnikov, E. Nazarov,
I. Smirnova, V. Chernov

Chủ biên tập bởi L. Chernov

Biên tập nghệ thuật T. Makarova

Người hiệu đính O. Krivenko, T. Pankova

113035, Mátxcơva, M-35, B. Ordynka, 16/21, «Kvant», tel. 231-83-62
Giao hàng vào ngày 17/1/80
Ký xuất bản ngày 27/11/1980
in offset
Giấy 70×108 1/16. Vật lý. lò 4
Lò nướng có điều kiện l. 5.6. Biên tập học thuật. tôi. 7.02. T=01179
Giá 30 kopecks. Đặt hàng 61. Phát hành 266.907 bản.

Nhà máy in Chekhov
Soezpolyography
Ủy ban Nhà nước Liên Xô
về xuất bản, in ấn và kinh doanh sách,
Chekhov, khu vực Moscow