Bài toán M616—M620; F628—F632

30

Bài toán

M616 — M620; F628 — F632

M616. Có thể chia các số 1, 2, …, 30 thành các nhóm không?
a) mỗi số có năm số,
b) mỗi số có sáu số
sao cho tổng các số trong tất cả các nhóm bằng nhau?
b) Với n và k nào thì có thể chia các số 1, 2, …, nk thành n nhóm, mỗi nhóm k số sao cho tổng các số trong tất cả các nhóm đều bằng nhau?

S. Berkolaiko

M617. Bên trong tam giác có các đường tròn α, β, γ, δ có cùng bán kính sao cho mỗi đường tròn α, β, γ tiếp xúc với hai cạnh của tam giác và đường tròn δ (Hình 1). Chứng minh rằng tâm đường tròn δ thuộc đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp.

V. Yagubyants

M618. a) Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên n sao cho n! chia hết cho n2+1.
b) Chứng minh rằng với mọi α>0 đều có vô số số tự nhiên n thỏa mãn [αn]! chia hết cho n2+1. (Ở đây m!=1·2·…·m; [x] là phần nguyên của số x.)

A. Sivatsky, học sinh lớp 10

M619. Chứng minh rằng nếu đẳng thức |CD|=|AD|+|BC| thỏa mãn tứ giác nội tiếp ABCD thì các đường phân giác của các góc A và B cắt nhau trên cạnh CD.

I. Sharytsin

M620. Đặt x₁, x₂, …, xₙ là các số thực sao cho x₁²+x₂²+…+xₙ²=1. Chứng minh rằng tổng mô hình của 2ᵐ số
±x₁±x₂±…±xₙ
(vì vậy với tất cả các tổ hợp có thể có của các dấu “+” và “—”) không vượt quá 2ᵐ.

J. Kasakovskikh