Thế giới quan duy vật biện chứng trong các môn toán và vật lý ở trường

15

Thế giới quan duy vật biện chứng trong các môn toán và vật lý ở trường

Vladimir Ilyich Lênin có những câu nói thể hiện yêu cầu đầu tiên đối với một nhà khoa học chân chính: “… không có nền tảng triết học vững chắc, không có khoa học tự nhiên, không có chủ nghĩa duy vật nào có thể đứng vững được trong cuộc đấu tranh chống lại sự tấn công dữ dội của tư tưởng tư sản và khôi phục lại thế giới quan tư sản. Để đứng vững trong cuộc đấu tranh này và hoàn thành thắng lợi đến cùng, con người tự nhiên phải là một nhà duy vật hiện đại, một mặt có ý thức của chủ nghĩa duy vật do Mác trình bày, tức là phải có một thế giới quan duy vật biện chứng. từ ngữ hoàn toàn áp dụng cho độc giả trẻ «Kvant», những người yêu thích vật lý và toán học: bài toán của họ không chỉ để tích lũy những sự kiện và kiến thức khoa học cụ thể mà còn để trau dồi một thế giới quan duy vật biện chứng.

Một số vấn đề này được thảo luận trong báo cáo của Viện sĩ A. N. Kolmogorov, được đọc vào năm 1977 trong thời gian bị giam giữ lần IV của Hội đồng Phương pháp Khoa học của Bộ Giáo dục Liên Xô. Dưới đây là (với những chữ viết tắt nhỏ) nội dung của báo cáo này. Mặc dù báo cáo này không dành cho học sinh nhưng chúng tôi chắc chắn rằng nó cũng sẽ truyền cảm hứng cho các em.

Thảo luận về thế giới quan duy vật biện chứng trong các môn toán và vật lý ở trường, tôi muốn nhấn mạnh khía cạnh khó khăn hơn của vấn đề: làm quen với các yếu tố của tư duy biện chứng. Việc thảo luận về chủ đề này thường bị coi là có chút nghi ngờ, vì thường cuộc trò chuyện về phép biện chứng vẫn còn rất hời hợt.

Ví dụ, họ trích dẫn một thực tế rằng, theo Engels, với sự xuất hiện của các đại lượng thay đổi trong toán học, chuyển động và phép biện chứng đã đi vào toán học. Từ đó, họ kết luận rằng việc đưa sớm các biến vào sách giáo khoa hiện đại là một thành tựu theo nghĩa đưa phép biện chứng vào toán học ở trường. Đồng thời, họ quên rằng một biến trong sách giáo khoa này chỉ được coi là một chữ cái, cùng với đó, bạn có thể đặt tên của bất kỳ phần tử nào của một tập hợp nhất định. Phép biện chứng ở đây ẩn sâu hơn - đằng sau định nghĩa hình thức này. Hiểu nó đòi hỏi phải phát triển một cách tiếp cận lịch sử đối với vấn đề.

Tôi muốn minh họa ý tưởng của mình bằng những ví dụ cụ thể.

1. Các bạn đều biết rõ phương trình vi phân tăng hoặc giảm theo cấp số nhân (“Đại số và sự khởi đầu của phân tích 10”, đoạn 110)

$$f'(t) = kf(t),$$

trong một ghi chú ngắn

$$y' = ky.$$

Ví dụ đầu tiên, sách giáo khoa đưa ra độ phân rã phóng xạ của một chất: $f(t)$ biểu thị lượng chất phân rã được bảo toàn tính đến thời điểm $t$. Ở đây hệ số $k$ là âm. Ví dụ thứ hai với khoảng cách dương $k$, dân số cả nước tăng 2% mỗi năm. Chính ví dụ thứ hai này đã gây ra sự hoang mang hoặc thậm chí phản đối gay gắt ở nhiều người. Làm thế nào, nói về mặt toán học, chúng ta có thể lấy vi phân một hàm chỉ chấp nhận các giá trị nguyên! Sự nhiễu loạn được thay thế bằng sự thay thế sau khi lấp đầy, trong trường hợp phân rã phóng xạ, chúng ta cũng đang nói về toàn bộ số nguyên tử được bảo toàn tại thời điểm $t$.

Trong khi đó, đây là lý do chính đáng để nhấn mạnh mô hình toán học của hiện tượng này; Như một quy luật, hiện tượng này được sơ đồ hóa. Vì vậy, cô ấy đưa ra dự đoán chính xác

16

truyền thuyết chỉ trong những giới hạn nhất định (trong trường hợp của chúng tôi, chỉ với dân số lớn và trong khoảng thời gian khá ngắn). Vượt quá những giới hạn này, mô hình toán học sẽ mất đi ý nghĩa thực sự của nó và khi áp dụng một cách thiếu suy nghĩ sẽ dẫn đến những kết quả sai lầm hoặc vô nghĩa.

2. Các ví dụ nổi tiếng và cổ điển: Cơ học Newton ở tốc độ bình thường trên trái đất phản ánh chính xác một cách khách quan các hiện tượng có thể thực hiện được, nhưng ở tốc độ tương đương với tốc độ ánh sáng, nó không còn có thể áp dụng được - nó dẫn đến mâu thuẫn với kinh nghiệm. Ngoài những giới hạn phù hợp của cơ học Newton, còn có một cơ chế khác vận hành – cơ học tương đối của lý thuyết Einstein. Nhưng điều cực kỳ quan trọng là phải minh họa quá trình chuyển đổi biện chứng này từ một số mô hình, đúng đắn một cách khách quan trong những giới hạn nhất định, sang những mô hình mới bằng các ví dụ đơn giản hơn. Tôi sẽ phân tích chi tiết một ví dụ về cơ học mà tôi đã thảo luận với học sinh tại một trường hè ở Pushino năm nay.

Khóa học vật lý lớp VIII nêu đúng rằng trong nhiều bài toán, một vật thể đủ nhỏ có thể được coi là một “điểm vật chất” - nên bỏ qua kích thước của nó. Đây là hình dáng của một quả bóng được ném lên, chuyển động theo quy luật

$$z = v_0 t - \frac{gt^2}{2}.$$

Tốc độ của nó thay đổi theo quy luật

$$v = v_0 - gt,$$

và gia tốc là không đổi

$$a = -g.$$

Tọa độ $z$ và tốc độ $v$ thay đổi liên tục. Sách giáo khoa nói rằng điều này đúng với trường hợp chuyển động tổng quát của một điểm vật chất. Các lực tác dụng lên vật luôn hữu hạn. Do đó, gia tốc là hữu hạn, điều này đã hàm ý tính liên tục của sự phụ thuộc thời gian của vận tốc và tọa độ $z$. Nhưng trong thực tế, quả bóng khi chạm sàn sẽ ngay lập tức đổi hướng và bật lên. Vì quả bóng không đàn hồi hoàn toàn nên trong lần nhảy thứ hai, tốc độ ban đầu của nó sẽ là

$$v_1 = kv_0,$$

trong đó hệ số $k$ nhỏ hơn một. Giả sử rằng hệ số $k$ không đổi cho các lần nhảy liên tiếp, chúng ta có thể tính được trọng số của quá trình tiếp theo của quá trình. Học sinh được yêu cầu tính toán và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của $z, v$ và $a$ đúng thời gian đối với các hệ số khác nhau $k$. Họ đã hoàn thành nhiệm vụ này một cách hoàn hảo, mặc dù kết quả khiến họ ngạc nhiên và gây ra nhiều tranh cãi.

Hóa ra những khoảnh khắc va chạm liên tiếp lên sàn $t_n$ khi tính $n$ sẽ hội tụ về giới hạn cuối cùng $T$: trong khoảng thời gian [0; $T$] có một chuỗi các bước nhảy vô tận với độ cao ngày càng giảm dần.

Tất nhiên, mô hình này được lý tưởng hóa; đối với các cú nhảy lên độ cao bằng đường kính của quả bóng thì không áp dụng. Nhưng mô hình khá thực tế. Nhanh chóng bắt được khoảnh khắc chạm sàn và dừng bóng hoàn toàn sau thời gian $T$ được quan sát khá đơn giản “bằng tai”. Hình vẽ thể hiện sơ đồ về sự phụ thuộc của $z$ và $v$ vào thời gian $t$.

Tại thời điểm loại bỏ $t_n$, tốc độ thay đổi đột ngột từ giá trị tính từ $-v_{n-1}$ sang giá trị $v_n = kv_{n-1}$. Gia tốc luôn bằng $-g$, ngoại trừ những khoảnh khắc táo bạo $t_n$. Tại những thời điểm này quả bóng nhận được xung lực tức thời có cường độ hữu hạn.

18

3. Ai cũng biết rằng việc giáo dục thế giới quan duy vật khoa học là không thể nếu không cho học sinh làm quen với lịch sử khoa học và hiểu các giai đoạn chính của sự phát triển của khoa học. Chính từ những thông điệp này mà khái niệm về phương trình vi phân đơn giản nhất đã được đưa vào chương trình toán học mới. Chỉ có ba phương trình được nghiên cứu chi tiết: chuyển động có gia tốc đều

$$y'' = a,$$

dao động điều hòa

$$y'' = -k^2 y$$

và tăng trưởng hoặc suy giảm theo cấp số nhân

$$y' = ky.$$

Hãy để tôi nhắc bạn rằng đối với Newton có hai phân tích bài toán chính: 1) tìm các hàm tùy ý của chúng theo các hàm, 2) tự tìm các hàm này bằng sự tương ứng giữa các hàm và hàm tùy ý của chúng. bài toán thứ hai là bài toán nội hóa các phương trình vi phân. Bài toán Newton coi việc tìm nguyên hàm là một trường hợp đặc biệt đơn giản.

Toàn bộ hệ tư tưởng của toán học tự nhiên từ Newton đến Laplace gắn bó chặt chẽ với khái niệm phương trình vi phân. Laplace đặt ra nguyên tắc chung của thuyết tất định dựa trên thực tế là các quy luật cơ bản của tự nhiên được thể hiện dưới dạng phương trình vi phân và cách giải thích chúng cho phép người ta thực sự tưởng tượng ra tương lai. Nội hóa của các phương trình vi phân tương ứng, như đã biết, là một gradient bài toán, chỉ có thể được giải bằng phương pháp số. Nhưng không khó để đưa ra ý tưởng rõ ràng về bài toán. Nếu không có sự hiểu biết khá cụ thể về giai đoạn phát triển tự nhiên của toán học này thì không thể hiểu được các giai đoạn tiếp theo, sự xuất hiện của vật lý thống kê, vật lý lượng tử.

4. Kể từ thời Plato, sự tồn tại của toán học thuần túy với những kết luận hoàn toàn đáng tin cậy, vượt xa các giới hạn của thử nghiệm thực nghiệm vốn luôn chỉ là