Đế chiều cao nằm ở đâu?

Kvant 1980, số 4 tr. 40-42 Thẻ JNH8

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Khi giải phương trình lập thể bài toán, điều quan trọng là có thể xác định chính xác vị trí tương đối của các phần tử của các hình xuất hiện trong chúng. Nhiều lỗi mắc phải với lời giải những lỗi bài toán này có liên quan đến việc mô tả chiều cao của paramid (hoặc lăng kính). Vị trí của chiều cao đáy so với đáy của paramid (hoặc lăng kính) không chính xác; kết quả là người đến sẽ xác định không chính xác góc nghiêng của cạnh bên với mặt phẳng của đế; anh ta mắc lỗi khi dựng một góc thẳng với hai góc vuông, v.v.

Mục đích của bài toán và các ví dụ bên dưới là hướng dẫn bạn cách giải phương trình lập thể bài toán mà không mắc phải những lỗi tương tự. Để làm điều này, ở đầu bài viết, chúng tôi cung cấp ba bài toán với danh sách đáp số có thể có mà từ đó bạn cần chọn đúng. Tất nhiên, ở đây chúng ta không thể giới hạn việc đoán đúng đáp số: nó cần phải được chứng minh. Để giải quyết những vấn đề này, bạn có thể dễ dàng đọc các ví dụ lời giải sau đây, được lấy từ thực tiễn của kỳ thi tuyển sinh.

Bài toán 1. Điểm nào của mặt phẳng ABC là đáy đường cao của paramid SABC nếu:
a) chất tải lên các gân bên;
b) các gân bên tạo thành các góc bằng nhau với mặt phẳng của đế;
b) các mặt bên tạo thành góc tắc với mặt phẳng đáy;
d) các góc phẳng tại đỉnh S vuông góc;

e) phân phối lại cho nhau hai cặp cạnh đối diện;
e) xếp các gân bên lại với nhau và
$ASB = ASC = 60^\circ, BSC = 90^\circ$ ;
g) $ACB = 90^\circ, (AC) \perp (BS)$ ;
h) $\vec{SO} = \frac{1}{3}(\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC})$ ?

Có thể đáp số:

giao điểm các đường trung tuyến của tam giác ABC;
điểm giao nhau của độ cao của nó;
tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hoặc một trong các đường tròn bên ngoài *);
trung điểm của đoạn BC;
điểm của đường thẳng BC.

Đối với lời giải bài toán, điều cần thiết là phải xác định xem đáy của độ cao thuộc về paramit hay nằm ngoài nó.

Bài toán 2. Trong paramit SABC, các góc nghiêng của các gân bên với mặt phẳng của đế được tải cùng nhau. Với điều kiện nào thì đáy đường cao SO của paramid thuộc tam giác ABC?

Có thể đáp số:

$\triangle ABC$ - đều;
$\triangle ABC$ - đều;
$\triangle ABC$ - thẳng hoặc góc nhọn;
$\triangle ABC$ - góc tù;
trong mỗi trường hợp này.

Bài toán 3. Đáy của SABCD paramid là hình thang ABCD ([BC]||[AD], |BC|<|AD|). Các xương sườn bên của paramida được gắn chặt với nhau. Trong điều kiện nào thì đáy đường cao SO của đường paramid nằm bên ngoài hình thang ABCD?

Có thể đáp số:

nếu $ABD \leq 90^\circ$ ;
nếu $ABD > 90^\circ$ ;
nếu $(BD, CA) \geq 90^\circ$ ;
nếu $(BA, CD) > 90^\circ$ ;
không có vấn đề gì.

*) Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác đó và kéo dài bởi hai cạnh kia.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phân tích hai ví dụ điển hình của kỳ thi tuyển sinh.

Ví dụ 1 (KSU, 1975). Các cạnh bên của một paramid hình tam giác có cùng độ dài $l$ . Hai góc phẳng ở đỉnh của paramid là $\alpha$ và góc thứ ba là $\beta$ . Tìm thể tích của paramid.

Lời giải. Đặt $SABC$ là tham số đã cho, $\hat{ASB} = \beta$ , $\hat{ASC} = \hat{BSC} = \alpha$ . Từ điều kiện bài toán ta tìm được:

$(\triangle ASC \cong \triangle BSC) \Rightarrow$
$\Rightarrow ([AC] \cong [BC])$ ;

đáy $O$ có chiều cao $SO$ nằm ở tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ (bài toán 1). Có thể xảy ra ba trường hợp (xem bài toán 2):

a) $\hat{ACB} < 90^\circ$ – đáy của chiều cao nằm bên trong $\triangle ABC$ (Hình 1);
b) $\hat{ACB} = 90^\circ$ – đáy của chiều cao

ở giữa $[AB]$ sẽ xảy ra (Hình 2);
c) $\hat{ACB} > 90^\circ$ - đáy của chiều cao nằm ngoài tam giác $ABC$ (Hình 3).
Hãy ký hiệu $D$ là trung điểm của đoạn $AB$ .

Trường hợp a). Dựa vào điều kiện ta tìm được

$|AB| = 2l \sin \frac{\beta}{2}; \quad |SD| = l \cos \frac{\beta}{2};$
$|AC| = |BC| = 2l \sin \frac{\alpha}{2};$
$|CD| = \sqrt{4l^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} - l^2 \sin^2 \frac{\beta}{2}} = l \sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}}.$

Hãy đặt $|OD| = x$ . Từ tam giác $SOD$
$|SO|^2 = l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - x^2;$

từ tam giác $CSO$
$|SO|^2 = l^2 - (|CD| - x)^2 = l^2 - l^2 + 2l^2 \cos \alpha - l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - x^2 + 2xl \sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}}.$

Từ đây
$l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - x^2 = 2l^2 \cos \alpha - l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - x^2 + 2xl \sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}};$
$x = l \frac{\cos^2 \frac{\beta}{2} - \cos \alpha}{\sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}}};$
$h = |SO| = \sqrt{l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - l^2 \frac{(\cos^2 \beta/2 - \cos \alpha)^2}{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \beta/2}} = l \frac{\sqrt{\cos^2 \beta/2 - \cos^2 \alpha}}{\sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \beta/2}}.$

Có nghĩa,
$V = \frac{1}{3} Sh = \frac{1}{3} l^3 \sin \frac{\beta}{2} \sqrt{\cos^2 \frac{\beta}{2} - \cos^2 \alpha}.$

Quét. Vì $\hat{ASB} < \hat{ASC} + BSC$ , bất đẳng thức $\beta < 2\alpha$ giữ nguyên và biểu thức phụ là dương. Vpro-

hơn thế nữa, trong những bài toán thuộc loại này, việc nghiên cứu miền định nghĩa của biểu thức thu được trong đáp số là không cần thiết.

Trường hợp 6). Trường hợp này có thể xảy ra khi và chỉ khi
$\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2}.$
(2)

Thật vậy, nếu $\hat{C} = 90^\circ$ , $|CD| = |AD| = l \sin \frac{\beta}{2}$ ; $|CD| = |AC| \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} l \sin \frac{\alpha}{2}$ (Hình 2).

Do đó $\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2}$ . Ngược lại, nếu $\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2}$ thì
$|CD| = l \sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}} = l \sqrt{2 - 2 \cos \alpha - \sin^2 \frac{\beta}{2}} = \sqrt{2} l \sqrt{1 - \cos \alpha - \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \sqrt{2} l \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \sqrt{2} l \sin \frac{\alpha}{2}.$

Vì vậy $\cos \hat{ACD} = \frac{|CD|}{|AC|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Do đó $\hat{ACD} = 45^\circ$ , $\hat{C} = 90^\circ$ . Nếu $\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2}$ thì $h = |SD| = l \cos \frac{\beta}{2}$ (Hình 2), $V = \frac{l^2}{3} \sin^2 \frac{\beta}{2} \times l \cos \frac{\beta}{2}$ , $V = \frac{l^3}{6} \sin \beta \sin \frac{\beta}{2}$ .

Trường hợp c). Chúng ta hãy đặt $x = |OD|$ (Hình 3). Như trường hợp a), ta tìm được:
$x = l \frac{\cos \alpha - \cos^2 \frac{\beta}{2}}{\sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}}};$
$h = |SO| = l \frac{\sqrt{\cos^2 \frac{\beta}{2} - \cos^2 \alpha}}{\sqrt{1 - 2 \cos \alpha - \cos^2 \frac{\beta}{2}}};$
$V = \frac{1}{3} l^3 \sin \frac{\beta}{2} \sqrt{\cos^2 \frac{\beta}{2} - \cos^2 \alpha}.$

Chúng ta thấy rằng đáp số trong trường hợp a) và b) giống nhau, mặc dù chúng không thu được theo cùng một cách. Hơn nữa, trong trường hợp 6) đáp số này cũng phù hợp, không khó kiểm tra (loại bỏ α trong (1) bằng cách sử dụng tương ứng (2), ta thu được (3)).

Đáp số:
$V = \frac{l^3}{3} \sin \frac{\beta}{2} \sqrt{\cos^2 \frac{\beta}{2} - \cos^2 \alpha}.$

Bằng cách nhấn mạnh rằng lời giải, chỉ trường hợp a) được phân tích, không thể được coi là đầy đủ.

Ví dụ 2. Tham số SABC dựa trên một tam giác có $|AB| = |BC| = 20$ cm, $|AC| = 32$ cm; Góc giữa mặt phẳng đáy và mỗi mặt bên là 45°. Tìm các thông số khối lượng.

Lời giải. Cơ sở của các tham số độ cao là một điểm bằng độ dài của các đường thẳng AB, AC, BC, tức là tâm của đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ hoặc một trong các đường bên ngoài (bài toán 16). Do đó, điều kiện bài toán được thỏa mãn bởi bốn tham số, cơ sở của các độ cao là các điểm $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ , $O_4$ (Hình 4). Để tính thể tích của các tham số này, chỉ cần xác định độ cao $SO_1$ , $SO_2$ , $SO_3$ , $SO_4$ , vì diện tích đáy là $S = S_{\triangle ABC} = 192$ cm². Vì các mặt bên nghiêng với mặt phẳng của đáy một góc 45° nên chiều cao của tham số bằng bán kính của hình tròn nội tiếp $\triangle ABC$ hoặc một trong các hình bên ngoài có tâm là đáy của chiều cao của tham số.

Hình 4.