Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьных курсах математики и физики

Квант 1980, №4 с. 15, 16, 18 Тег VKHF

Диалектко-материалистическое мировоззрение в школьных курсах математики и физики

Владимир Ильич Ленину приналлежат слова, в которых выражено первейшее требование к настоящему ученому: «…без солидного философского обоснования никакие естественные науки, никакой материлизм не может выдержать борбы против натиска буржузных идей и восстановления буржузного мирооззрения. Чтобы выдержать эту борбу и провести ее до конца с полным успехом, естественный должен быть современным материлистом, сознаательным стороном того материлизма, который представлен Марксом, то есть должен диалектко-mатериалистческое мировоззрение. Эти слова в полной мере относятся к юным читателем «Кванта», любительям физики и математики: их задача состоит не только в том, чтобы накапливать конкретные научные факты и знания, но и в том, чтобы воспитывать в себе диалектко-mатериалистческое мировоззрение. Вопросы, входящие в школьные курсы математики и физики, дают достаточно много возможностей для того, чтобы на элементарном уровне познакомиться с материалистическим понятием научных проблем, с элементами диалектического мышления.

О некоторых из этих вопросов рассылается в докладе академика А. Н. Колмогорова, прочитанном в 1977 году на IV плену Ученого методического совета Министерства просвещения СССР. Ниже приводится (с незначительными сокращениями) текст этого доклада. Хотя доклад не предназначался для школьников, мы уверены, что он запитует и их.

Обсуждая диалектко-mатериалистческое мировоззрение в школьных курсах математики и физики, я хочу сделать ударение на более трудной стороне дела: на знакомстве с элементами диалектического мышления. К обсуждению этой темы обычно относятся с некоторым недоверием, так как часто разговор о диалектике остается очень поверхностным.

Например, ссылаются на то, что по словам Энгельса, с появлением в математике переменных величины в математике вошли движение и диалектика. Отсюда делают вывод, что раннее введение переменных в современных учебниках является достинением в смысле внедрения диалектики в школьную математику. При этом забывают о том, что переменная в этих учебниках трактуется просто как буква, вместе которой можно поставить наименование любого элемента некоторого множества. Диалектика здесь kroется глубже — за этим формальным определением. Ее понимание требует развернуть исторического подхода к делу.

Я хочу на конкретных примерах проплодировать свою мысль.

Вы все хорошо знаете дифференциальное уравнение показательного роста или убывания («Алгебра и начала анализа 10», п. 110)

$f'(t) = kf(t),$

в краткой записи

$y' = ky.$

В качестве первого примера в учебнике приводится радиоактивный распад вещества: $f(t)$ обозначает количество распадающего вещества, сохранившего к моменту времени $t$ . Здесь коэффициент $k$ отрицательен. В виде второго примера с положительным $k$ расстоянием рост населения страны на 2% в год. Вот этот второй пример и вызывает у многих недоумение или даже резкий протест. Как же, говоря рецептели математической стороны, дифференцировать функцию, принимающую только целые значения! Возмущение сменяет замещательством после наполнения, что в случае радиоактивного распада речь идет тоже о целом числе атомов, сохранившихся к моменту времени $t$ .

Между тем это хорошо повод для того, чтобы подчернуть математическая модель явления; как правило, это явление схематизирует. Поэтому она дает правильные pred-

сказания лишь в некоторых пределах (в нашем случае лишь при большой численности населения и для неслишком малых промежутков времени). За этими пределами математическая модель теряет реализный смысл и при ее бездумном применении приводит к ошибочным или бессмысленным результатам.

Общеизвестные ставшие классические примеры: ньютоновская механика при обычных земных скоростях объективно правильно отражает realizные явления, но при скоростях, сравнимых со скоростью света, перестает быть применой — приводит к противоречию с опытом. За пределами годности ньютоновской механики действует уже другая — механика теории относительной Эйнштейна. Но крайне важно пропллюстрировать и на более простых примерах этот диалектический процесс перехода от одних моделей, объективно правильных в некоторых пределах, к новым. Разберу подробно один пример из механики, который я разбирал со школьниками в летней школе в Пушино в этом году.

В курсе физики для VIII класса правильно говорится, что во многих задачах достаточно маленькое материальное тело можно считать «материальной точкой» — пренебрегать его размерами. Таким является подброшенный вверх мяч, движущийся по закону

$z = v_0 t - \frac{gt^2}{2}.$

Его скорость меняется по закону

$v = v_0 - gt,$

аускорение постоянно

$a = -g.$

Координата $z$ и скорость $v$ меняются непрерывно. В учебнике говорится, что так и должно быть в общем случае движения материальной точки. Действующие на тело силы всегда конечны. Поэтому конечно иускорение, откуда уже вытекает непрерывность зависимости от времени скорости и координаты $z$ . Но на практике мяч, ударившись об пол, сразу меняет направление движения и подпрыгивает вверх. Так как мяч не совершенню упругий, при втором прыжке его начальная скорость будет

$v_1 = kv_0,$

где коэффициент $k$ меньше единиццы. Приявив, что коэффициент $k$ постоянен при последовательных прыжках, можно рассчитать вес дальнейший ход процесса. Школьникам было предложено проделать расчеты и нарисовать графики зависимости $z, v$ и $a$ от времени при различных коэффициентах $k$ . С этим заданием они справились с местотельно, хотя результаты их очень удивили и вызывали много споров.

Оказалось, что последовательные моменты удалов об пол $t_n$ при расчете $n$ скодятся к конечному пределу $T$ : за промежуток времени [0; $T$ ] происходит бесконечная последовательность подскоков все уменшающееся высоты.

Конечно, эта модель идеализирована; для подскоков на высоту того же порядка, что и диаметр мяча, она не применiza. Но модель вполне реалистична. Быстро ущение моментов удала об пол и полная остановка мяча через время $T$ наблюдается достагоно является простой «на слух». На рисунке представлены схематические графики зависимости $z$ и $v$ от времени $t$ .

В момент удала $t_n$ скорость меняется скачком от прицательного значения $-v_{n-1}$ к значению $v_n = kv_{n-1}$ . Ускорение все время равно $-g$ , за исключением моментов удала $t_n$ . В эти моменты мяч получает мгновенные имплульсы конечной величины.

Общеизвестно, что воспитание научного материалистического мировозрения невозможно без ознакомления учашихся с историей научки и понимания учашимся основных этапов развития науки. Именно из этих сообщений в новую программу по математике введено понятие о простейших дифференциальных уравнений. Изучаются детально лишь три уравнения: равномерно-ускоренного движения

$y'' = a,$

гармонических колебаний

$y'' = -k^2 y$

и показательного роста или убывания

$y' = ky.$

Напомню, что для Ньютона существовали две основные задачи анализа: 1) нахождение по функциям их произвольных, 2) нахождение по соответствием между функциями и их произвольными самих этих функций. Вторая задача и есть задача интеррирования дифференциальных уравнений. Задачу нахождения первообразных Ньютона рассматривал как простой частный случай.

С понятием дифференциального уравнения неразрывно связана вся идеология математического естественного от Ньютона до Лапласа. Общий принцип determинизма Лапласа излагаал, исходя из того, что основные законы природы выражаются в форме дифференциальных уравнений, а их интеррирование позволяет по-настоящему представить будущее. Интеррирование соответствующих дифференциальных уравнений, как известно, представляет собой градинозную задачу, решаемую лишь численными методами. Но ясно представление о задаче дать нетрудно. Без достаточно конкретиного понимания этого этапа развития математического естественного невозможно и понимание дальнейших этапов, появления статистической физики, квантовой физики.

Со времени Платона существование чистой математики с ее абсолотно достоверными выводами, выходящими за пределы эмпирической проверки, которая всегда лишь при-