Умножение... точек на плоскости

19

М. Смолянский

Умножение…
точек на плоскости

«Умножать точки — разве это возможно? — спроситудивленный читатель. — Ведь умножают (и складывают) числа, а не точки!» Такому читателю легко возразить: во-первых, действительные числа часто рассматривают как точки на числовой оси, поэтому в этом смысле можно умножить точки; во-вторых, в современной математике умножают не то что точки, а почти все что угодно: функции, матрицы, перемещения…

В этой статье мы постараемся показать читатель, как и зачем нужно умножать точки на плоскости. На этом пути мы получим геометрическую модель компликственных чисел и изучим некоторые их свойства. А кроме того, мы показем, что разумно умножать точки в пространстве уже нельзя.

Прежде чем научиться умножать точки на плоскости, будет полезно посмотреть…

Как умножаются точки на прямой
Чтобы сложить две точки на прямой, достаточно функционировать

начало $O$: тогда точки можно складывать как векторы. Если зафиксировать точку $A$ и прибавить ее к каждой точке $X$ на прямой, получим отображение $X \rightarrow X + A$ прямой на себя. Ясно, что это будет параллельный перенос всей прямой на вектор $\vec{OA}$ (рис. 1a). Для умножения нужно еще функционировать единицу $1$: тогда прибретают координаты, и с их помощью точки можно перемножать (как числа); при этом, как легко видеть, умножение всех точек прямой на функсированную точку $A$ — этоометрия с центром $O$, переводящая точку $1$ в точку $A$ (рис. 1, 6).

Определим умножение на плоскости

Прежде всего выясним, какое умножение мы хотим определить на нашей плоскости, в котором уже выбрана числа ось $Ox$ с единицей $1$ (рис. 2). (Заметим, что сложеное точек уже определено: наличие начала $O$ позволяет складывать точки как векторы, по правлу параллелограмма.) Мы, конечно, хотим, чтобы новое умножение совпадало с тем, которое уже есть на оси $Ox$ (мы будем назвать эту ось действительной). Поэтому мы потребуем:

I. Умножение на любую точку $A$ действительной оси $Ox$ естьометрия с центром $O$ и коэффициентом $x$, где $x$ — абсцисса точки $A$.

Но этого, конечно, мало. Нам еще нужно, чтобы наше умножение обладало общными свойствамиарифметических операций. Именно:

II. Умножение ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения, и определено деление на любую точку $A$, отличную от $O$.

Запишем эти свойства более подробно:

Па. Ассоциативность. Для любых точек $A, B, C: A(BC) = A(BC)$.

Рис. 1.

20

Пис. 2.

IIб. Дистрибутивность. Для любых точек $A, B, C$

$$A(B+C) = AB+AC,$$
$$(B+C)A = BA+CA.$$

IIв. Деление (существование обратного). Для любой (отличной от $O$) точки $A$ существует точка $A^{-1}$ также, что

$$A^{-1}A = AA^{-1} = 1.$$

Итак, нам нужно построить операцию умножения на плоскости, удовлетворяющего условиям I и II. Стоп: пока не читайте дальше, а подумайте сначала, как это сделать.

Ну как, придумали? Конечно же, проще всего определить умножение «так же», как для точек на действительной оси. Именно, умножение на точку $A$ — это подобие плоскости, переводящей точку 1 в точку $A$, оставляющей на месте точку $O$ и сохраняющей ориентацию. Наглядно можно себе представить, что мы поворачиваем плоскость около начала так, чтобы луч [О1) совпал с лучом [OA), а затем делаем готовую, переводящую точку 1 в точку $A$.

Ясно, что для такого умножения выполняется условие I.

Уражение 1. Докажите, что выполено также II и, более того, умножение коммутативно.

Преждем чем читать дальше, разберите, как устройо умножение на конкретиные точки, например, $I(0,1)$, $J(-1,0)$, $C(1,1)$.

Естестенно спросят, является ли введенное нами умножение единственным, обладающим свойствами I и II.

Уражение 2*. Докажите, что такое умножение не единственное.

Если это упражнение не будет получаться, то советем вернуть к нему после прочитания дальнейше-то. В следующем же разделе мы выязываем в пространстве?

Как и плоскость, нашей пространство сначала числовой осью $Ox$ с единицей 1; мы будем искать умножение, удовлетворяющей тем же условиям, что и в предыдущем разделе, то есть ответать на такой вопрос: можно ли в пространстве вещецы умножение, удовлетворяющей условиям I и II?

Okрыленные предыдущими условиями, вы скажете: конечно, можно,ритом так же, как раньше: умножение на точку $A$ — это подобие пространства, переводящей 1 в $A$ и $O$ в $O$. Но тут получится небольшая загвоздака:

Уражение 3. Покажите, что при $A$, не лежащей на действительной оси, существует бесконечного много таких подобий.

Какое из них брать? Да возьмем любое, скажет оптимист. На это мы ему возразим, что вряд ли из этого выйдет что-либо путиное: ведь умножения на разные точки должны быть согласованы (так, чтобы выполнялось условие II). Как их согласовать?

Не пробуйте — не получится. Дело в том, что умножения в пространстве со свойствами I и II не существует! Мы доказем это от противного.

Допустим, нам удалось определить неокоторое умножение. Возьмем произвольную точку $X$ вне оси $Ox$ и рассмотрим ее степень $X^2$ и $X^3$ (то есть точки $X \cdot X$ и $(X \cdot X) \cdot X$).

В силу одной из аксиом геометрии, предложенных Г. Вейlem («Геометрия 9—10», с. 234), для любых четырех векторов пространства $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ можно найти такие действительные числа $k, l, m, n$, не все равные нулю, что выполняется равенство

$$k\vec{a} + l\vec{b} + m\vec{c} + n\vec{d} = \vec{0}.$$

Приименим этот факт к четырем векторам, соединяющим точку $O$ с четырьмя точками $1, X, X^2, X^3$; тогда существует действительные числа (в нашей терминологии —

21

Рис. 3.
точки действительной оси) $A, B, C, D$ такие, что выполяется равенство:
$$A + BX + CX^2 + DX^3 = 0$$
(1)

У праванице 4. Объясните, почему $A \cdot 1 = A$.

Теперь нам потребуется следующий факт:
У праванице 5*. Любое уравнение третьей степени имеет действительный корень.
(Если вам трудно решить это уравнение, посмотите «Квант», 1980, № 2, с. 20.)

Обозначим этот корень (точку на действительной оси) через $X_0$; тогда для некоторых чисел (точек на действительной оси) $C', B'$
$$X - X_0) (DX^2 + C'X + B') = A + BX + CX^2 + DX^3.$$

Так как произведение ненулевых сомножителей не может даить нуль (это следует из условия Па, ПВ: если $Q \neq 0$, $P \neq 0$ и $P \cdot Q = 0$, то $0 = 0 \cdot Q^{-1} = P \cdot Q \cdot Q^{-1} = P \cdot 1 = P \neq 0$), одна из этих скобок равна нуль. Так как $X$ — не «действительная» точка, $D \neq 0$ и точки 0, 1, $X$ и $X^2$ лежат в одной плоскости. Расмотрим точку $Y$, не лежащую в этой плоскости (рис. 3).

Рассмотрим четыре точки 1, $X$, $Y$, $YX$, лежащие в пространстве; еще раз применяя (ту же) аксиomy, можно подобрать такие точки $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ на действительной оси, не все равные нулю, что
$$B_1 + B_2X + B_3Y + B_4YX = 0.$$

Иначе это можно записать так:
$$(B_1 + B_2X) + Y(B_3 + B_4X) = 0.$$ (2)

Заметим, что в плоскости, содержащей 0, 1, $X$, есть точка $Y_0$, удовлетворяющая (2).

Рис. 4.
У праванице 6. Запишите ее в виде $C_1 + C_2X$ и найдите $C_1$ и $C_2$, воспользовавшись уравнениям $DX^2 + C'X + B' = 0$.

Но тогда $(Y - Y_0)(B_3 + B_4X) = 0$, откуда $Y = Y_0$, то есть точка $Y$ лежит в той плоскости, вне которой она была выбрана. Противоречие. Нет нужного нам умножения в пространстве!

Для тех, кто знает, что такое четырехмерное пространство, отметим, что в нем ввести умножение (удовлетворяющей условием I и II) можно, но это умножение не будет коммутативным. Это не просто, но по-proбуйте это сделать!

Вернемся теперь на плоскость. Что же мы там получили?

Точки как комплексные числа

Будем считать, что действительная прямая горизонтальная, и рассмотрим вектор единичной длины, торчащий вверх (рис. 4). Обозначим его через $i$. Легко видеть, что $i^2 = -1$. Итак, для плоскости разрешим уравнение $x^2 + 1 = 0$; рассирив действительное прямую до плоскости, мы получили возможность решать уравнение, которое для прямой не разрешимо.

Любую точку плоскости можно записать в виде $a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные точки; сложение и умножение точки, записанных таким образом, задается формулами:
$$(a_1 + ib_1) + (a_2 + ib_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2),$$
$$(a_1 + ib_1) \cdot (a_2 + ib_2) = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + b_1a_2).$$

У праванице 7. Выведите эти формулы из геометрических определений.

22

Рис. 5.

Эти формулы показывают, что наши точки, их сложение и умножение — геометрическая модель компплексных чисел *). Легко получить такой замечательный факт: любое уравнение $AX^2 + BX + C = 0$ (вде $A, B, C$ — точки плоскости и $A \neq 0$) разрезимо — на плоскости существует точка, обращающая его в точдество. На самом деле на плоскости разрезимо любое алгебраическое уравнение (см. «Квант», 1980, № 2, с. 17).

Упражнение 8. Напишите формулу для решения квадратных уравнений на плоскости.

Формулы для корней $n$-й степени

Как вы знаете, для действительных чисел, а значит и для действительной прямой, уравнение $X^n = A$ при $A \neq 0$ и четных $n$ не всегда разрезимо. Причем оно либо не разрезимо, либо разрезимо двух значений. (Например, 1 и —1 в квадрате дают единицу.) Для плоскости сгущения намного изящней: для каждой отличной от нуля точки $A$ у уравнения $X^n = A$, $n$ — натуральное число, существуетровно $n$ корней.

Для того чтобы доказать это, научимся сперва возводить в степени точки, лежащие на окружности $\Gamma$ единичного радиуса с центром в нулей (рис. 5). Эта окружность обладает таким замечательным свойством: произведение двух точек из $\Gamma$ — вновь точка окружности $\Gamma$. В самом деле, умножение плоскости на точку этой окружности — просто поворот с центром в нулей. Поскольку при поворотах единичная окружность,

*) См. «Квант», 1980, № 2, с. 17.

Рис. 6.

как и все другие окружности с центром в нулей, переходит в себя, наше утверждение справедливо. Задно мы получили новый способ записи поворота — как умножения на соответствующее точку.

Тепер ясно, что такое $X^n$ для $X \in \Gamma$. Умножение на $X^n$ — это композиция $n$ поворотов на угол, соответствующий точке $X$, поэтому точке $X^n$ соответствует угол в $n$ раз больший угла $XO1$. Итак, $X^n$ — это точка $\Gamma$, для которого

$$X^n \widehat{O1} = n \cdot X \widehat{O1}.$$

С учетом знака угла точки $X^n$ определяется этой формулой однозначно.

Но теперь понятно и как obtains корень уравнения $X^n = A$, если $A \in \Gamma$: это такая точка $X \in \Gamma$, что

$$\widehat{XO1} = \frac{1}{n} \widehat{AO1}.$$

Ну, а где же общеанные $n$ значений? Оказывается, они спрятаны в этой формуле. Действительно, мы можем определить величины угла $AO1$ с точностью до числа радиан, кратных 2π: углам $\widehat{AO1}, \widehat{AO1} + 2\pi, \widehat{AO1} + 4\pi, \dots$, вообще $\widehat{AO1} + 2\pi k$, где $k$ — целое, соответствует одна и та же точке. А при определении $X$ для разных $k$ получается разные точки. Легко видеть, что получится как раз $n$ разных точек, отвечающих углам величины $\frac{1}{n} \widehat{AO1} + 2\pi \frac{k}{n}$ ($k = 0, 1, \dots, n-1$). На рисунке 6 изображены корни следующей из единиц. Видно, что они образуют вершины правильного семиугольника.

(Окончание см. на c. 29)