Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

48

Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова

Matematika

Писменный экзамен

Механико-математический факультет

Вступительные экзаменов по математике на механико-математический факультет МГУ многое бояться, считая, что поступающим предлагают головоломно-trудные задачи. Эти опасения не обоснованы. Вступительные экзамены проводятся в соответствии с «Программой вступительных экзаменов для поступающих в высшие учебные заведения СССР». Задания, предлагаемые на приемных экзаменах, требуют для решения лишь хорошего знания этой программы, уменяя пользоваться правилами и приемами, изученными в школе. Никаких дополнительных знаний от поступающих не требуется. Нередко молодые люди, научанные программими физико-математических кругков и задачи различных олимпiad, не решают подавать заявления на механик МГУ. Между тем, многие из них бывают неплохо подготовлены и могли бы успешно участвовать в конкурсе.

Две-три задачи в вариантах письменного экзамена достаточно просты и в полне доступны каждому, кто усвоил школьную программу. Однако на письменном экзамене получить высокую оценку нелегко, так как, наряду с нетрудными задачими, в варианты включаются и более сложные задачи, решения которых требует достаточно высокой математической культуры.

В 1979 году навыление письменной работы отводилось четые часа. Для получения положительной оценки достагоно было правильно решить две задачи.

Вариант 1

1. Найти все решения уравнения
   1—5 sin x + 2 cos² x = 0,
   удовлительющие неравенству cos x ≥ 0.

2. Отрезок KL является диаметром некоторой окружности. Через его концы K и L проведены две прямые, пересекающие окружность соответствующего в точках P и Q, лежа-

ших по одному сторону от прямой KL. Найти радиус окружности, если PKL = π/3 и точка пересечения прямых KP и Q удалена от точек P и Q на расстояние 1.

3. Найти точки минимума функции y = x³ – 2x |x – 2|, определенной на отрезке [0; 3], и ее наиболее значение на этом отрезке.

4. Решить неравенство
   $$\frac{6}{2x+1} > \frac{1+\log_2(2+x)}{x}$$

5. Основанием треугольной прямды ABCD является треугольник ABC, в котором А = π/2, С = π/6, |BC| = 2√2. Длины ребер AD, BD, CD равны между собой. Сфера радиуса 1 касается ребер AD, BD, продолжения ребра CD за точку D и плоскости ABC. Найти величины отрезка касательной, проведенной из точки A к сфере.

Разберем подробно этот вариант.

1. Ответ. x = π/6 + 2πk (k ∈ Z). Указание и е. Данное уравнение равносильно квадратному (относительно sin x) уравнению:
   2 sin² x + 5 sin x – 3 = 0,
   которое имеет два решения: sin x = –3 и sin x = 1/2. Подходит, конечно, только второе. Решая его относительно x, находим
   x = (-1)⁴ arcsin 1/2 + πm (m ∈ Z), (1)
   что в данном случае удобно записать в виде двух серий решения:
   x₁ = π/6 + 2πk (k ∈ Z),
   x₂ = 5π/6 + 2πl (l ∈ Z).

Условию cos x ≥ 0 удовлетворяет только первая серия.

В целом абитриенты с этой задачей справились успешно. Некоторые поступающие решения уравнения sin x = 1/2 в виде (1), затем не сумели обрабатывать значения x, удовлетворяющие условия cos x ≥ 0.

2. Ответ. 1. Решение е. Из условия задачи следует, что P ≠ Q, так как в противном случае пересечения прямых KP и Q (точка P = Q) была бы удалена от точек P и Q на расстояние 0. Нарисуем окружность, диаметр KL и, под углом π/3, хорду KP (рис. 1).

Рассмотрим два случая расположения точки Q: Q ∈ ∪ KP (рис. 2) и Q ∈ ∪ PL (рис. 3). Пусть (LQ) ∩ (KP) = A.

В первом случае PQL = PKL (вписанные углы, опирающиеся на одну дуг) и APQ = PQL (|AP| = |AQ|); значит, QAP = π – 2 · π/3 = π/3
(РКL = π/3), что невозможно, так как ∠QAP – внешний угол в прямой угол

49

Рис. 1.
треугольник $PAL$ ($\widehat{KPL} = \frac{\pi}{2}$). Итак, первый сluчай невозможен.

Во втором сluчae $\widehat{PQL} = \pi - \widehat{PKL}$ (четырехугольник $PQLK$ вписан в окружность), $\widehat{PQA} = \pi - \widehat{PQL} = \widehat{PKL} = \frac{\pi}{3}$, $\widehat{QPA} = \frac{\pi}{3}$ ($|\dot{A}P| = |AQ|$), $\widehat{QAP} = \pi - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$, $\widehat{ALK} = \pi - 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$. Значит, $\Delta AKL$ — равносторонний ($ALK = \widehat{LAK} = \widehat{AKL}$). В этом треугольнике $LP$ — высота ($\widehat{LPK} = \frac{\pi}{2}$), поэтому $LP$ — медиана. Следовательно, $|AK| = 2$ ($|AP| = 2$), $|KL| = |AK| = 2$, откуда $|OK| = 1$.

Многие абитриенты решали эту задачу, сразу считая, что точки $P$ и $Q$ расположены так, как изображено на рисунке 3. Чертеж есть лишь иллюстрация к решению геометрической задачи. Если решение использует какое-то свойство чертежа (например, равенство $\widehat{PQL} = \pi - \widehat{PKL}$, верное в сluчae, изображенном на рисунке 3, и неверное в сluчae, изображенном на рисунке 2), то наличие этого свойства должно быть обосновано. Иначе решение задачи будет неполным.

3. Ответ. Функция $f(x) = x^3 - 2x \cdot |x| - 2$ ($x \in [0; 3]$) имеет одну точку минимума $x = \frac{2}{3}$, ее наиболее значение на [0; 3] равно 21 ($\max f(x) = f(3) = 21$). Решение. По условиям областю определения исследуемой функции $f$ является отрезок [0; 3]. По определению модели

$$f(x) = \begin{cases} x^3 + 2x^2 - 4x, & \text{ если } 0 \leq x \leq 2, \\ x^3 - 2x^2 + 4x, & \text{ если } 2 < x \leq 3. \end{cases}$$

Значит,

$$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 4x - 4, & \text{ если } 0 < x < 2, \\ 3x^2 - 4x + 4, & \text{ если } 2 < x < 3. \end{cases}$$

На ]0; 2[ функция $f$ имеет одну критическую точку $x = \frac{2}{3}$, причем $f'(x) < 0$ на ]0; $\frac{2}{3}$ [, $f'(\frac{2}{3}) = 0$ и $f'(x) > 0$ на ]2; $\frac{2}{3}$ [. Значит, $x = \frac{2}{3}$ — точка минимума.

На ]2; 3[ $f'(x) > 0$. Значит, на ]2; 3[ функция $f$ не имеет критических точок.

Рассмотрим теперь точку $x = 2$. Эта точка не может быть точкой минимума, так как в любой окрестности точки 2 функция $f$ принадлежит значению, меньше $f(2)$; действительно, при $0 \leq x \leq 2$ функция $f$ совпадает с многочленом $f_1(x) = x^3 + 2x^2 - 4x$, который на ]2; $+\infty$ [ возвращает.

Рис. 2.
Нибольшее значение $f(x)$ функции $f$ на [0; 3], очень/no, равно набольшему из чисел $\max f_1(x)$, $\max f_2(x)$, где $f_2(x) = x^3 - 2x^2 + 4x$; эти числа легко найти: они равны $f_1(0) = 0$ и $f_2(3) = 21$, поэтому $\max f(x) = f(3) = 21$.

Значительная часть ошибок в решении этой задачи связана с формальным условием соответствующих разделов школьной программы.

Например, некоторые абитриенты дифференцировали функцию $f$ в области, содержащих точку $x = 2$, где функция в действительности произвольной не имеет. Многие абитриенты не смогли правильно обьясить, почему точка $x = 2$ не является точкой минимума, так как $f(2) = 8 > f(\frac{2}{3}) = -\frac{40}{27}$).

Часты абитриентов под точкой минимума попнимаются координатами ($\frac{2}{3}; -\frac{40}{27}$), а не точку $x = \frac{2}{3}$ из области определения функции, как должно быть в соответствии со школьным учебником.

4. Ответ. ] - $\frac{1}{2}$; 0 [. Решение. Оба части данного неравенства определены при

$$\begin{cases} 2x + 1 \neq 0, \\ 2x > 0, \\ x \neq 0, \end{cases}$$

50

то есть на множество $-2; -\frac{1}{2} \cup U - \frac{1}{2}; 0 \cup ]0; +\infty[$.

На множество $-2; -\frac{1}{2} \cup U - \frac{1}{2}; 0 \cup ]0; +\infty[$ данное неравенство равносильно неравенству
$$\frac{6x}{2x+1} < 1 + \log_2(2+x)$$

или
$$\frac{4x-1}{2x+1} < \log_2(2+x).$$
(1)

На множество $0; +\infty$ оно равносильно неравенству
$$\frac{4x-1}{2x+1} > \log_2(2+x).$$
(2)

Нарисуем примерные графики функции
$$y = \frac{4x-1}{2x+1} = 2 + \frac{-\frac{3}{2}}{x + \frac{1}{2}}$$ и $y = \log_2(2+x)$ на одном рисунке (рис. 4*).

При $x < -\frac{1}{2}$ имеем $\frac{4x-1}{2x+1} > 2,$
$\log_2(2+x) < 1$. Значит, на $-2; -\frac{1}{2}$ [
неравенство (1) решений не имеет.
При $-\frac{1}{2} < x < 0$ имеем $\frac{4x-1}{2x+1} < 0,$
$\log_2(2+x) > 0$. Значит, неравенство (1) справедливо при всех $x \in -\frac{1}{2}; 0$ [
при $0 < x < 1$ имеем $\frac{4x-1}{2x+1} < 1,$
$\log_2(2+x) > 1$ — на $0; 1$ [
неравенство (2) решений не имеет.
При $1 \leq x < 2$ имеем $\frac{4x-1}{2x+1} < \frac{7}{5},$
$\log_2(2+x) > \log_23,$ но неравенство
$$\frac{7}{5} < \log_23$$ равносильно неравенству
$$2^{7/5} < 3, 2^7 < 3^5, 128 < 243;$$ значит, на $[1; 2$ [
неравенство (2) тоже решений не имеет.
Наконец, при $x \geq 2$ имеем $\frac{4x-1}{2x+1} < 2,$
$\log_2(2+x) > 2$ — тоже нет решений.

5. Ответ. $\sqrt{3} - 1$. Решение. Обозначим через $H$ основание высоты прямиды, проведенной из вершины $D,$ и через $M$ — точку касания с плоскостью $ABC$ (рис. 5). Так как $|AD| = |BD| = |CD|$ и равные наклонные имеются равные проекции, $|AH| = |BH| = |CH|$. Это означает, что точка $H$ является центром окружности, описанной вокруг прямого треугольника $ABC$, то есть $H$ — середина гипotenузы $BC$.
   Обозначим через $A_1, B_1, C_1$ точки касания

*) При дальнейшем решении нижних ссылок на этот рисунок не будет — тем не менее фактически именно он подсказывает все дальнейшие рассуждания.

сферы с прямыми $AD, BD, CD$ соответственно. Из условия следует, что
$$\begin{cases} |AA_1| = |AD| - |DA_1|, \\ |BB_1| = |BD| - |DB_1|, \\ |CC_1| = |CD| + |DC_1|. \end{cases}$$

Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки $C$ сфере, равновелики, то

52

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

2. Невесомый рычаг может свободно врашаться в вертикальном плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку O (рис. 2). Массы $m_1$ и $m_2$, закрепленные на концах рычага, находятся соответственно, на расстояниях $l_1$ и $l_2$ от оси. В начальном положении рычаг отклонен на угол $\alpha$ от вертикального положения. После освобождения рычаг совершает колесения. Определить линейную скорость массы $m_2$ в момент прохождения положения равновесия.

3. С какимускорением будет движаться по наклонной плоскости дважестко скрепленных между собой тела, имеющих массы $m_1$ и $m_2$? Коэффициенты треня между телами и наклонной плоскостью равны, соответственно, $k_1$ и $k_2$. Угол наклонной плоскости равен $\alpha$.

4. Идеальный газ совершает работу. При этом состояние газа меняется по замкнутому циклу, состоящему из двух изохор и двух изобар (рис. 3). Температуры газа в точках 1 и 3 равны, соответственно, $T_1$ и $T_3$. Определить работу, совершаемую одним молем газа, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

5. Смешали $V_1=1$ м³ воздуха с влажностью $\alpha_1=20\%$ и $V_2=2$ м³ воздуха с влажностью $\alpha_2=30\%$. Обе порции были взяты при одинаковых температурах. Определить относительной влажность $\alpha$ полученной в воздухе, считать идеальным газом.

6. В цилиндре под поршнем в пространстве объемом $V_1=1,5$ л находится воздуха и насыщенный водной пар при температуре $t_1=20^\circ\text{C}$. Какова будет относительная влажность воздуха в цилиндре, если объем уменный до величины $V_2=0,1$ л, а температуру повышить до $t_2=100^\circ\text{C}$? Давление насыщенного водного пара при $20^\circ\text{C}$ равно $p_{h1}=2,2 \cdot 10^3$ Pa. (Ненасыщенный пар, содержащийся в воздухе, считать идеальным газом.)

7. Плоский конденсатор подключили к источнику постоянного напряжения $U=300$ В. Затем источник отсоединили. Какую работу необходимо совершить, чтобы развинуть пластины конденсатора на расстояние в два раза больше первого аналогного? Начальная емкость конденсатора $C_0=100$ пФ $=10^{-10}$ Ф.

8. В схеме, изображенной на рисунке 4, сопротивления равны $R_1=2$ Ом, $R_2=6$ Ом, $R_3=8,95$ Ом и $R_4=3$ Ом. До какой температуры необходимо нагреть сопротивление $R_3$, чтобы через галванометр не шел ток? Температурный коэффициент сопротивления равен $\alpha=0,1 \cdot 10^{-3}$ К$^{-1}$. Начальная температура сопротивления $R_3$ равна $t_0=20^\circ\text{C}$.

9. Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F_1=4$ cm и тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием $F_2=-3$ cm. Расстояние между линзами $l=2$ cm. Определить, в каких точках (на каком расстоянии от линз) сочутся параллельные лучи света, падающие на системе с одной и с другой стороны?

10. В концы отрезка трубы, внутренняя сторона которой зачерена, вступает с сопротивлением (с одной стороны) и сопротивлением (с другой стороны) линзы. Диаметр трубы $D=3$ cm, длина отрезка трубы $l=12$ cm. Со стороны собирающей линзы на трубу вдоль ее оси падает широкий пучок параллельных лучей. Луччи, прошедшие через трубу, выходят из нее параллельным пучком диаметром $d=1$ cm. Чему равны фокусные расстояния линзы?

Механико-mатематический факультет

1. Клин с углом при основании, равным $\alpha=45^\circ$, может скользить вдоль горизонтальной плоскости. На клине находится брусок

53

(рис. 5). С каким ускорением $\vec{a}$ должен двигаться клин в горизонтальном направлении (в плоскости рисунка), чтобы брусок относительно клина находился в покое, если коэффициент треня между поверхностями клина и бруска равен $\mu=0,1$?

2. На горизонтальном столе лежит тонкий диск массой $M=500$ г и радиусом $R=15$ см (рис. 6). В центре диска укреплен тонкий неевесомый вертикальный стержень длиной $l=40$ см. К верхнему концу стержня на неевесомой нерастяжимой нити подвешен маленький шарик массой $m=300$ г. Длина нити меньше длины стержня. Шарик приводится в движение так, что он описывает окружность в горизонтальной плоскости вокруг стержня. Какой максимальный угол $\alpha$ может при этом составлять нить со стержнем, чтобы диск не отрывался от стола? Считать, что вследствие треня диск не может скольать по столу.

3. Теннисный мяч ударят пакеткой у самой поверхности Земли, сообщая ему начальную скорость $\vec{v}$ ($|\vec{v}|=20$ м/c), направленную под углом $\alpha=45^\circ$ к горизонту. Мяч летит к вертикальной стене, движясь в плоскости, перпендикулярной к этой стене, и испытывает со стеной абсцилтоно упругое сударение. Степа находится от места удара на расстоянии $l=15$ м. На каком расстоянии $x$ от места удара мяч упадет на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Сухой воздуш заполняет закрытый сосуд объемом $V=25$ л при давлении $p_1=10^5$ Pa и температуре $t_1=-23^\circ\text{C}$. В сосуд кладут кусок льда массой $m=9$ г и нагревают сосуд до температуры $t_2=127^\circ\text{C}$. Определить давление влажного воздуха. Газовая постоянная $R=8,3$ Дж/(моль·К), давление насыщенных паров воды при температуре $t_2=127^\circ\text{C}$ равно $p_h=2,5 \cdot 10^5$ Pa.

5. Алюминный конус с углом между осью и образующей, равным $\alpha=30^\circ$, стоит на горизонтальном столе. На конус надето тонкое железное колюц, плоскость которого на расстоянии $h=5$ см ниже вершины конуса. На какую величину $\Delta h$ изменяется расстояние от вершины конуса до плоскости колюца, если температура конуса и колюца повышится на величины $\Delta t=100^\circ\text{C}$? Коэффициенты линейного расшириения алюминия $a_1=2,4 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$ и железа $a_2=1,2 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$. Трене колюца о поверхности конуса отсутствует.

6. Пластины плоского конденсатора имеют форму квадрата со стороны $a=20$ см. Расстояние между ними $d=6$ мм. Пластины присоединены к источнику постоянного тока, ЭДС которой $\varepsilon=500$ В. В пространство между пластинами вдвягают, как показано на рисунке 7, с постоянной скоростью $\vec{v}$ ($|\vec{v}|=2$ мм/c) квадратную стеклянную пластинку, размеры которого таковы, что она в конце концов заполняет все пространство внутри конденсатора. Найти силу тока $I$, текущего по проводам от источника к конденсатору, пока пластинка движется. Краевыми эфективами пренебречь. Диэлектрическая проницаемость стека $\varepsilon=7$. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \times 10^{-12}$ Ф/m.

7. Электрическая цепь состоит из соединенных последовательно источника постоянного напряжения, сопротивления $R=500$ Ом и плоского конденсатора, у которого площадь пластинки $S=4$ см$^2$, а расстояние между пластинками можно изменять. Если пластинны сдвинуты до соприкосовения друг с другом, в цепи течение $I=0,2$ А. Какой величины заряды будут на пластинах, если пластинны развинуты на расстояние $d=2$ мм? Внутренним сопротивлением источника пренебречь. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/m.

8. Жесткая проводящая рамка квадратной формы лежит на горизонтальной непроводящей поверхности и находится в магнитном поле, линия индекции которого параллельны двум сторонам рамки. Масса рамки $m=20$ г,лина ее стороны $a=4$ см, абсцилтная величина магнитной индукции $|\vec{B}|=0,5$ T. Какой силы $I$ постоянный ток нужно пропускать по рамке, чтобы одна из ее сторон начала приподниматься?

9. Внутренняя поверхность конуса, покрыта отражающим слоем, образует конечное зерна. Вдоль оси конуса внутреннего протянута тонкая светящая нить. При каком минимальном угле $a$ растора конуса лучи, индические от нити, будут отражаться от поверхности конуса не более одного раза?

10. Предмет находится на расстоянии $d=10$ см от собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=20$ см. Во сколько раз изменяется величина изобравжения, если на месте собирающей линзы поставить рассеивающий с тем же по модулю фокусным расстоянием?

С. Кротов, Л. Михеева