Một lần nữa về bộ ba Pythagore

39

Một lần nữa về bộ ba Pythagore

Bộ ba số tự nhiên (3, 4, 5) là Pyfadorian: $3^2 + 4^2 = 5^2$. Làm thế nào để tìm tất cả các bộ ba Pythagore? Điều này đã được viết trong «Kvant» (1979, Số 4, trang 40). Một phương pháp khác lời giải trong số bài toán này được chỉ ra ở đây.

Rõ ràng, nếu $(a, b, c)$ là bộ ba số Pythago, thì bất kỳ bộ ba $(ak, bk, ck)$ nào, trong đó $k$ N, đều là số Pythagogian. Nếu bất kỳ hai số nào trong số $a, b, c$ có ước nguyên tố chung $p$ thì số thứ ba cũng chia hết cho $p$. Do đó, chỉ cần liệt kê các bộ ba Pythagogian với các số nguyên tố đồng thời theo từng cặp $a, b, c$ là đủ.

Vì vậy, hãy để $(a, b, c)$ là một bộ ba số Pythagoan và để các số $a, b, c$ đơn giản theo từng cặp.

Các số $a$ và $b$ không thể chẵn cùng một lúc. Chúng không thể lẻ cùng một lúc, vì nếu không thì tổng bình phương của chúng chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho số chẵn, và do đó, không thể là bình phương của một số tự nhiên. Vì vậy, một trong các số $a$ và $b$ phải là số chẵn, số lẻ thứ hai; Hơn nữa, số $c$ là số lẻ. Chúng ta sẽ giả sử rằng $a$ là số lẻ và $b$ là số chẵn.

Hãy vẽ một hình vuông có cạnh dài $c$. Ở góc trên bên trái của nó, chúng ta đặt một hình vuông từ cạnh có chiều dài $a$ và ở góc dưới bên phải - một hình vuông từ cạnh có chiều dài $b$ (xem hình). Hình vuông này giao nhau với hình vuông màu đỏ và trong hình vuông lớn, hai hình chữ nhật đồng bộ sẽ không được che chắn. Từ điều kiện $a^2 + b^2 = c^2$ suy ra diện tích hình vuông bằng tổng diện tích của các hình chữ nhật đồng bộ.

Độ dài cạnh của hình chữ nhật đồng bộ là $c - a$ và $c - b$, và độ dài cạnh của hình vuông màu đỏ là $a + b - c$. Vì các số $c - a$ và $a + b - c$ là số chẵn nên mỗi hình chữ nhật đồng bộ có thể được chia thành hai hình chữ nhật giống hệt nhau và hình vuông màu đỏ có thể được chia thành bốn hình vuông giống hệt nhau với độ dài các cạnh bằng nhau. Chúng ta hãy biểu thị độ dài các cạnh của hình chữ nhật được bảo vệ bằng $k$ và $l$ ($k = c - b, 2l = c - a$) và chiều dài cạnh của hình vuông được bảo vệ bằng $s$ ($2s = a + b - c$). Từ sự bằng nhau về diện tích của chúng ta suy ra $kl = s^2$.

Từ tính nguyên tố lẫn nhau từng cặp của các số $a, b$ và $c$, suy ra rằng các số $k$ và $l$ đều nguyên tố lẫn nhau. Đúng là các số $k$ và $l$ có chung thừa số nguyên tố $p$. Bởi vì $b^2 = c^2 - a^2 = (c - a)(c + a) = 2l(c + a)$ được phóng đại lên $p$. Nhưng $c = b + k$. Điều này có nghĩa là $c$ cũng chia hết cho $p$, điều này mâu thuẫn với tính nguyên tố lẫn nhau của $b$ và $c$.

Hãy quay trở lại đẳng thức $kl = s^2$. Vì $k$ và $l$ là số nguyên tố cùng nhau và tích của chúng là một số chính phương nên bản thân mỗi số này phải là một số chính phương. Hãy để $k = m^2, l = n^2$. Sau đó $s = m \cdot n$.

Bây giờ chúng ta hãy biểu thị $a, b$ và $c$ theo $m$ và $n$:

$$a = k + 2s = m^2 + 2mn = (m + n)^2 - n^2,$$
$$b = 2l + 2s = 2n^2 + 2mn = 2n(m + n),$$
$$c = k + 2l + 2s = m^2 + 2n^2 + 2mn = (m + n)^2 + n^2.$$

Đặt $m + n = t$, ta được $a = t^2 - n^2, b = 2nt, c = t^2 + n^2$.

Dễ dàng kiểm tra xem đối với bất kỳ $t$ và $n$ nào, các công thức này cho, nếu $t > n$, một bộ ba Pythagogian. Nếu $t$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau có số chẵn lẻ khác nhau thì các số $a, b, c$ sẽ là số nguyên tố cùng nhau theo cặp.

3. Zuraviili