Bài toán thích bài toán

38

Vấn đề như bài toán

Ở một số trường, học sinh lớp 9 giải bài toán: Trong tứ diện đều PABC, điểm M lấy trên cạnh PC, K là trung điểm cạnh AB. Vẽ một mặt phẳng song song với đường thẳng PB đi qua K và M. Biểu diễn chu vi của phần đó bằng khoảng cách |PM| nếu độ dài cạnh của tứ diện là 1. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó.

Vasya Nulikov được gọi lên hội đồng quản trị. “Chà, chà! Vấn đề giống như bài toán - đối với chương trình miễn phí, Vasya nghĩ. Với nội dung hình học. Họ nói những điều này xảy ra trong các kỳ thi.”

“Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng từ điểm K song song với đường thẳng PB,” anh ấy bắt đầu. — Vì cả điểm K và đường thẳng PB đều thuộc mặt phẳng APB nên đường thẳng vẽ cũng nằm trong mặt phẳng APB. Chúng ta hãy biểu thị giao điểm của đường vẽ với cạnh AP bằng chữ L (xem hình). Từ điểm M ta cũng vẽ một đường thẳng song song (PB). Giao điểm của nó trên cạnh BC ký hiệu là N. Từ (KL) || (PB) và (MN) || (PB) theo sau (KL) || (MN). Điều này có nghĩa là các đường thẳng KL và MN nằm trong cùng một mặt phẳng, nghĩa là KLMN là một tứ giác phẳng. Đây là phần được đề cập trong điều kiện bài toán. Hãy |PM| = x. Hiển nhiên là 0  x  1.”

Sau đó trên bảng xuất hiện dòng chữ sau:

$$|KL| = \frac{1}{2}, |PL| = \frac{1}{2},$$
$$|LM| = \frac{1}{2} \sqrt{4x^2 - 2x + 1},$$
$$|MN| = |CM| = 1 - x,$$
$$|BN| = x, |KB| = \frac{1}{2}, |KN| = |LM|,$$
$$P_{KLMN} = \frac{3}{2} - x + \sqrt{4x^2 - 2x + 1}.$$

“Chu vi đã được thể hiện,” Vasya nói. “Bây giờ hãy xem xét hàm $\Phi(x) = \frac{3}{2} - x + \sqrt{4x^2 - 2x + 1}$.”

Phân biệt và đưa đến mẫu số chung

$$\Phi'(x) = \frac{4x - 1 - \sqrt{4x^2 - 2x + 1}}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1}},$$

Vasya lưu ý rằng mẫu số không biến mất và bắt đầu giải phương trình $\Phi'(x) = 0$:

$$4x - 1 - \sqrt{4x^2 - 2x + 1} = 0,$$
$$4x - 1 = \sqrt{4x^2 - 2x + 1},$$
$$\left\{(4x - 1)^2 = 4x^2 - 2x + 1, \right.$$
$$4x - 1 \geq 0,$$
$$\left\{12x^2 - 6x = 0, \right.$$
$$x \geq \frac{1}{4},$$
$$x = \frac{1}{2}.$$

“Trái ít hơn, phải nhiều hơn,” Vasya nói, dường như đang so sánh số tùy ý với số 0. — Hơn nữa, hàm số $\Phi$ liên tục tại $x = \frac{1}{2}$. Điều này có nghĩa là $x = \frac{1}{2}$ là điểm tối thiểu của nó. Bây giờ chúng ta đếm các giá trị của hàm $\Phi$ tại điểm cực trị duy nhất của nó $x = \frac{1}{2}$ và ở các điểm cuối của đoạn

$$[0; 1] : \Phi\left(\frac{1}{2}\right) = 2, \Phi(0) = \frac{5}{2}, \Phi(1) =$$