Задача как задача

38

Задча как задача

В некоторых школе девятиклассики решали задачу: В правильном tetraэдре PABC на ребре PC взята точка M, K — середина стороны AB. Через K и M проведена плоскость, паралельная прямой PB. Выразите перimeter сегения через расстояние |PM|, если длина ребра tetraэдра равна 1. Вычислите его наибольшее и наименьшее значения.

К доске вызывали Васю Нуликова. «Ну, что ж! Задча как задача — на произвольную, подумал Вася. С геометрическим содержанием. Говорят, такие бывают на экзаменах».

«Проведем из точки K прямую, паралельную прямой PB,— начал он. — Поскольку и точка K, и прямая PB принадлежат плоскости APB, проведенная прямая тоже будет лежать в плоскости APB. Обозначим точку пересечения проведенной прямой с ребром AP через L (см. рисунок). Из точки M тоже проведем прямую, паралельную (PB). Точка ее пересечения со стороны BC обозначаем через N. Из (KL) || (PB) и (MN) || (PB) следует (KL) || (MN). Значит, прямые KL и MN лежат в одной плоскости, то есть KLMN — плоский четырехугольник. Это и есть сечение, о котором говорится в условии задачи. Положим |PM| = x. Очевидно, 0 ≤ x ≤ 1.»

Послепенно на доске появилось:

$$|KL| = \frac{1}{2}, |PL| = \frac{1}{2},$$
$$|LM| = \frac{1}{2} \sqrt{4x^2 - 2x + 1},$$
$$|MN| = |CM| = 1 - x,$$
$$|BN| = x, |KB| = \frac{1}{2}, |KN| = |LM|,$$
$$P_{KLMN} = \frac{3}{2} - x + \sqrt{4x^2 - 2x + 1}.$$

«Перimeter выразили, — сказал Вася. — Расмотрим теперь функцию $\Phi(x) = \frac{3}{2} - x + \sqrt{4x^2 - 2x + 1}$.»

Продифференцировав и приведя к общему знаменателю

$$\Phi'(x) = \frac{4x - 1 - \sqrt{4x^2 - 2x + 1}}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1}},$$

Вася отметил, что знаменатель в нуль не обращается, и стал решать уравнение $\Phi'(x) = 0$:

$$4x - 1 - \sqrt{4x^2 - 2x + 1} = 0,$$
$$4x - 1 = \sqrt{4x^2 - 2x + 1},$$
$$\left\{(4x - 1)^2 = 4x^2 - 2x + 1, \right.$$
$$4x - 1 \geq 0,$$
$$\left\{12x^2 - 6x = 0, \right.$$
$$x \geq \frac{1}{4},$$
$$x = \frac{1}{2}.$$

«Слева меньше, справа больше, — сказал Вася, видимо сравнивая произвольную с нулем. — Кроме того, функция $\Phi$ непрерывна при $x = \frac{1}{2}$. Значит, $x = \frac{1}{2}$ — точка ее минимума. Сосчитаем теперь значения функции $\Phi$ в ее единственной точке экстремума $x = \frac{1}{2}$ и в концах отрезка

$$[0; 1] : \Phi\left(\frac{1}{2}\right) = 2, \Phi(0) = \frac{5}{2}, \Phi(1) =$$