Соединим две точки отрезком

12

И. Яелом

Соединим две точки отрезком

Древние греки под математикой понимали в первую очередь геометрию. Например, алгебраическое равенство $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ они доказывали с помощью чертежа (рис. 1). Сегодня математика, например, стремительно алгебраизуется — алгебра в своих отношениях с геометрией берет реванш. В последние годы изложение геометрии чаще всего основывают на тех или иных исчислениях (например, на векторном исчислении). Об одном из этих исчислений, очень простом, но неожиданном, поjdет речь в статье.

Умножение точек и фигур

Отрезок с концами $A$ и $B$ часто обозначает символьом $AB$ (рис. 2). Эта запись подсказывает неожиданную терминология: отрезок $AB$ называем произведением точек $A$ и $B$. Аналогично произведением αβ фигур α и β мы назовем обведенное всех отрезков $AB$, где $A \in \alpha$, $B \in \beta$, то есть обведенное всевозможных произведений точек фигуры α на точки фигуры β (рис. 3). Мы уверены, что никакет это неожиданное произведение точек и фигур с обычным произведением чисел.

Каковы же свойства такого умножения точек? Первые из них очевидны:

(a) Умножение точек коммутировно:

$$AB=BA$$

(b) Умножение точек ассоциативно:

$$(AB)C=A(BC)$$

для любых точек $A, B$ и $C$.

В самом деле, произведение $(AB)C$ представляет собой объединение всех отрезков, соединяющих точки отрезка $AB$ с точкой $C$ (рис. 4,a), а произведение $A(BC)$ — объединение отрезков, соединяющих $A$ с точками отрезка $BC$ (рис. 4,б). Таким образом, $(AB)C=A(BC)=ABC$, где $ABC$ — треугольник с вершинами $A, B, C$.

Здесь нам будет удобно объединение фигур α и β называть также их суммой; соответственно, вместе α и β мы будем писать α+β.

(c) Умножение точек дистрибутно относительно их сложения:

$$(A+B)C=AC+BC$$

для любых точек $A, B$ и $C$.

Это ясно, так как произведение пары точек $A+B$ на точку $C$ является объединением отрезков $AC$ и $BC$ (рис. 5).

Следующое свойство умножения точек уже отличается от привченных нам свойств умножения чисел:

(d) Умножение точек идентично:

$$AA=A$$

для любой точки $A$.

Действительно, отрезок $AA$ со слившимся концами — это просто точка $A$.

Свойства (a) — (c) умножения точек переносится и на произвольные фигуры:

(A) Умножение фигур коммутировно:

$$\alpha\beta=\beta\alpha.$$

(B) Умножение фигур ассоциативно:

$$(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma).$$

Фигуру $(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)$ уместно обозначит через αβγ; она представляет собой объединение всех возможных треугольников $ABC$, где $A\in \alpha$, $B\in \beta$, $C\in \gamma$.

13

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
Рис. 6.
(C) Умножение фигур дистрибутивно относительно их сложения:
$(\alpha + \beta)\gamma = \alpha\gamma + \beta\gamma$
(рис. 6).
Однако идемпотность умножения фигур места, вообще говоря, не имеет. Можно утверждать лишь, что
(D) Произведение любой фигуры на себя содержит эту фигуру:
$\alpha\alpha \supset \alpha$.
Рисунок 7 показывает, что фигура $\alpha\alpha$ может не совпадать с $\alpha$. Более того, нетрудно видеть, что для любой фигуры $\alpha$
$\alpha^n \subset \alpha^{n+1}$, где под $\alpha^n$, как обычно, понимается произведение $\underbrace{\alpha\alpha \dots \alpha}_{n\text{ раз}}$.
Упражнения

1. Пусть $A, B, C$ и $D$ — произвольные точки (плоскости или пространства). Докажите, что
   $(AB)(CD) = (AD)(BC) =$
   $= (AC)(BD) = A(BCD) = B(ACD) =$
   $= C(ABD) = D(ABC)$.
   Что представляется собой это произведение четырех точек (его можно обозначить просточерез $ABCD$ без скобок)?
2. Докажите, что $(AB)(AC) = ABC$.
3. Что представляют собой фигуры $a)(A+B)(A+C); 6)(A+B)(C+D);$
   $b)(A+B+C)D; 7)(A+B+C)(D+E)$?
   (В задачах 6) — г) отделно рассмотрите случай, когда все точки принадлежат одной плоскости и когда это произвольные точки пространства.)
4. Что представляет собой произведение а) точки и круга; 6) точки и окружности;$$b) точки и треугольника; 7) точки и контур треугольника; 8) точки и квадрата; e) двух кругов; ж) двух треугольников; з) двух квадратов; и) круга и квадрата?
5. Что представляет собой произведение двух прямых, если эти прямые a) параллельны; 6) пересекаются; в) скрещиваются?

Когда $\alpha\alpha = \alpha$
В аргументке и в алгебре особую роль играют те числа, для которых $a \cdot a = a$. Ясно, что этим свойством обладают лишь замечательные и во многих других отношениях числа 1 и 0.

14

В геометрии также интересно специально рассмотреть такие фигуры $\alpha$, для которых $\alpha^2 = \alpha \alpha = \alpha$. Каждая такая фигура характеризуется тем, что ей принадлежит любой отрезок, соединяющий две точки этой фигуры (рис. 8). Такие фигуры, как вы знаете, называются выпуклыми.

Определению выпуклой фигуры можно придать также следующую элегантную форму: множество точек $\alpha$ называется выпуклым, если оно замкнуто относительно операции умножения точек, то есть, наряду с любыми двумя точками $A$ и $B$, фигуре $\alpha$ принадлежит и произведение $AB$ этих точек.

Легко придумать плоскую фигуру $\beta$, для которого $\beta^2$ не выпуклая. Можно доказать, что для любой плоской фигуры $\beta$ фигура $\beta^3$ является выпуклой; она представляется собой наименьшую выпуклую фигуру, содержащую $\beta$, и называется выпуклой оболочкой фигуры $\beta$. Для фигуры $\beta$, расположенной в трехмерном пространстве, выпуклой оболочкой будет $\beta^4$.

Вообще, для любой фигуры $\beta$, расположенной в $n$-мерном эклидовом пространстве, фигура $\beta^{n+1}$ выпукла, и потому все фигуры $\beta^{n+2}, \beta^{n+3}, \dots$ совпадают с $\beta^{n+1}$.

Теория выпуклых фигура занимает сегодня в математике видное место.

Упражнения

6. Докажите, что произведение двух выпуклых фигура выпуклою.

7. Что представляют собой фигуры $\beta^2; \beta^3; \beta^n$, если $\beta$ — объединение: a) трех точек плоскости; b) четырех точек пространства; c) вершин правильного пятугольника; d) окружности и точки, которая не лежит в плоскости окружности и ortogonalно проектировется в ее центр.

Где умножение, там и деление

В области чисел деление определяется как операция, обратная умножению: число $q$ называется частным чисел $a$ и $b$ (запись: $q=a/b$), если $a$

15

есты произведение $b$ и $q$. Другими словами, записи $q=a/b$ и $a=bq$ имеют один и тот же смысл. Аналогично этому и операцию деления точек мы ведем как обратную для их умножения: если $A \neq B$, то через $A/B$ обозначим множество точек $Q$, для которых $A \in BQ$; положим еще, по определению, $A/A=A$.

В силу определения умножения точек условие $A \in BQ$ означает, что $A$ принадлежит отрезку $BQ$ (рис. 9); таким образом, точка $Q \in A/B$ лежит на проходящей черте $A$ и $B$ прямой и расположена по другую сторону от $A$, чем точка $B$. Итак, частное $A/B$ двух точек — это луч с началом $A$, продолжение которого проходит черте $B$. Можно также сказать, что $A/B$ — это тень, отбрасываемая «кольшком» $A$, освещенным «фонарем» $B$ (рис. 10).

Частное $\alpha/\beta$ двух фигур $a$ и $b$ мы определим как обе имена всех лучей $A/B$, где $A \in \alpha, B \in \beta$, то есть объединение всехозможных частных точек фигуры $a$ на точки фигуры $b$ (рис. 11). Например, если $A$ — точка, то $\alpha/A$ — это тень, отбрасываемая фигурой $a$, освещенной «фонарем» $A$ (рис. 12).

Как легко видеть (см. рис. 13—17), для каждой трех точек $A, B$ и $C$ справедливы следующее соотношение (первые два из них положки на свойства чисел):

$$(A/B)/C = A/(BC),$$
$$(A+B)/C = (A/C) + (B/C),$$
$$A/(B+C) = (A/B) + (A/C),$$
$$(AB)/C = (A/C)(B/C)$$
$$A/(BC) = (A/B)(A/C).$$

Ясно, что для любой фигуры $a$ справедливо включение $\alpha/\alpha \supset \alpha$. Обычный интерес представляют такие фигуры $\lambda$, для которых $\lambda/\lambda = \lambda$. Такие фигуры мы назовем линейными (см. рис. 18).

Уражения

8. Что представляют собой фигуры $A)$ $(ABC)/D; 6)$ $(AB)/(CD); 8)$ $A/(BCD)?$

9. Что представляют собой фигуры $\alpha/\alpha; (\alpha/\alpha)/\alpha; [(\alpha/\alpha)/\alpha]/\alpha; ...$,

если $\alpha$ — объединение трех точек, не лежащих на одной прямой?

10. Запишите с помощью операций умножения и деления точек области, на которых точки $A$ и $B$ делят прямую;

6. три прямые, соединяющие попарно точки $A, B$ и $C$, делят плоскость;

в) четыре плоскости, соединяющие по три данных точки $A, B, C$ и $D$, делят пространство.

В упр. 11—13 приняты такие обозначения: $A$ — точка; $\lambda, \lambda_1, \lambda_2$ — прямые; $\pi, \pi_1, \pi_2$ — плоскости; $\sigma, \sigma_1, \sigma_2$ — окружности; $x, x_1, x_2$ — кругги; $\tau, \tau_1, \tau_2$ — треугольники.

11. Что представляют собой фигуры $a)$ $(A/\lambda; 6)$ $\lambda/A; b)$ $A/\pi; \Gamma)$ $A/\sigma; e)$ $\sigma/A; jx)$ $A/x; 3)$ $x/A; i)$ $A/\tau; k)$ $\tau/A; l)$ $\lambda/\pi; m)$ $\pi/\lambda$?

12. Что представляют собой фигуры $a)$ $\sigma_1/\sigma_2; 6)$ $x_1/x_2; b)$ $\tau_1/\tau_2; \Gamma)$ $\lambda_1/\lambda_2; d)$ $\pi_1/\pi_2$?

В упр. г) отделно рассмотрите случай, когда $\lambda_1$ и $\lambda_2$ пересекаются; параллельны; скрещиваются.

13. Что представляют собой фигуры $a)$ $\sigma/\sigma; 6)$ $x/x; b)$ $\tau/\tau; \Gamma)$ $\lambda/\lambda; d)$ $\pi/\pi$?

14. Докажите, что для любых точек $A, B, C$ справедливо следующее соотношение:

a) $A(B/C) \subset (AB)/C; 6)$ $A/(B/C) \subset (AC)/B; b) (A/B)(C/D) \subset (AC)/(BD); g) (A/B)/(C/D) \subset (AD)/(BC).$

(Аналогичные свойства справедливых и для произвольных фигур.)

15. Докажите, что для любых фигур $a, b, \gamma$ $(\alpha/\beta)/\gamma \subset (\alpha/\gamma)\cap(\beta/\gamma); 6)$ $(\alpha+\beta)/\gamma = (\alpha/\gamma)+(\beta/\gamma); b) \alpha/(β+\gamma) = (\alpha/\beta)+(\alpha/\gamma); g) (\alpha/\beta)/\gamma = (\alpha/\gamma)(\beta/\gamma); d) \alpha/(β\gamma) = (\alpha/\beta)(\alpha/\gamma).$

16. Докажите, что линейная фигура обязаτεльно выпукла.

17. Докажите, что все линейные фигуры плоскости исчерпываются точки, прямыми и все плоскостью; в пространстве линейными фигурами являются точки, прямые, плоскости и все пространство.

18. Условия писать $\alpha \approx \beta$, если у фигур $a$ и $b$ есть хотя бы одна общая точка (для сравнения заметим, что $\alpha = \beta$, если $a$ и $b$ все точки общие).

Докажите, что выполянется следующее изящное правило пропорции: если фигуры $a, b, \gamma, \delta$ таковы, что $\alpha/\beta \approx \gamma/\delta$, то $\alpha\delta \approx \beta\gamma$ (расстояние сначала случай, когда $a, b, \gamma, \delta$ — точки; рис. 18). Докажите также, что $\alpha/\beta \approx \gamma\Leftrightarrow \beta\gamma \approx a$.

«Не ενклидово» умножение точки и фигур

Содержание данной статьи базируется на недавних исследованиям американского геометра Валтера Пенровица. Идея исследования Пенровица (ввсе не рассчитанных на начинающих математиков, какими являются читатели этого журнала) состоит в рассмотрении широкого класса новых «геометрий», отличных от привлечной вам «школьной» гео-

16

метрии Евклида; эти геометрии можно назвать «не ενклидовыми» геометриями. Вот два примера «не ενклидова умножения точек» по Пенровицу:

I. Произведением AB точек A и B на координатной плоскости назовем прямогольник со стороны, параллельными осем координат, «натянутый» на A и B (рис. 19); если прямая, проходящая через точки A и B, параллельна какой-нибудь из осей координат, то прямогольник вырождается в отрезок и произведение AB совпадает, по определению, с тем произведением, которое мы определили ранее.

II. Фиксируем фигуру П, образованную tremя выхождения из одной точки O лучами (рис. 20). Эта фигура будет нашим «универсумом»: будем рассматривать далее только точки, принадлежащие П, и фигуры, являющиеся подмножествами множества П. Под произведением AB точек A∈П и B∈П условиями понимать кратчайшую ломаную, соединишую A и B внутри фигуры П.

После того как определено произведение точек, дословно так же, как и раньше, последовательно определяются произведение фигур, выпуклая фигур, частное точек, частное фигур, линейная фигур. На рисунке 21 изображено частное точек A/B для примера I, на рисунке 22 — частное A/B для примера II (при различных расположениях точек A и B).

Оказывается теория выпуклых фигур в «геометриях Пенровица» имеет очень много обещено с соответствующей теорией в общчной ενклидовой геометрии.

Упражнения

20. Проверьте, что произведение AB и частное A/B точек для примера I удовлетворяет всем свойствам, перечисленным в основной части статьи и в упражнениях. Какие фигуры являются в этой «геометрии» выпуклыми? Какие — линейными?

21. То же для примера II.

Редакционная коллекция журнала «Квант» с глубоким прискорбением извещает читателей о безвременной кончине члена редакционной коллекции известного советского математика члена-корреспондента АН СССР Анатолия Илларионовича Ширшова, последовавшей 28 февраля 1981 года.