Бильярд

Квант 1981, №4 с. 34-37 Тег 9OTE

Г. Гальперин

Бильярд

Итерая в бильярд, я одновременно беру уроки физики и геометрии.

С. М. Буденный

Доводилось ли вам играть в бильярд?
Если не доводилось, то наверняка приходилось наблюдать, как играют другие.

Проследим за движущимся шаром. Пока он не столкнется со стенкой или другим шаром, он движется прямолинейно. При ударе о стенку шар отражается от нее практически так же, как луч света отражается от плоского зеркала: уелол nadения равен уелу отражения (рис. 1).

В реализном бильярде существует трение, шар при соударении теряет часть механической энергии и может начать врашаться из-за нецентрального удара кия или столкновения с другими шарами. Теорию движения шара в бильярде описал французский физик Корилис в книге «Математическая теория бильярдной игры».

Мы будем здесь рассматривать идеальный бильярд, то есть будем считать, что шары являются точками, движутся без трения и при соударении (so stenкой или с другими шарами) не теряют механической энергии.

На рисунке 2 показана замысловая траектория, по которой движется одиночный шар после удара кием. Traектория может оборваться, если шар попадет в луза, может

Рис. 1.

замкнуться, а может петять бесконечно долго, заполняя все бóльшую часть стола.

Рассмотрим такую задачу: путь на бильярдном столе находится шар; под каким углом следует направить его из точки $A$ , чтобы он после заданного числа отражений попал в точку $B$ (в частиности, в луизу)?

При решении этой и многих других аналогичных бильярдных задач основную роль играет процессура «зеркального отражения» или «выпрямления бильярдной траектории»: отразим симметрично прямоуговольник (исходный бильярд) относительно всех его сторон, и так далее до бесконечности (на рисунке 3 показаны также образы точки $B$ при этих симметриях); в результате этих отражений любая траектория «распрямляется» (например, на рисунке 3 траектория $AC_1C_2C_3B$ последовательно переходит в $AC_1D_1D_2B'$ , $AC_1D_1E_1B''$ , $AC_1D_1E_1B'''$ ). Если полученная «выпряменная траектория» проходит через образ точки $B$ в одном из прямоуговольников, то, очевидно, траектория шара в исходном прямоуговольнике проходит через $B$ . Поэтому, для того чтобы петить шар из точки $A$ так, чтобы он после заданного числа отражений о стенки бильярда попал в точку $B$ , нужно проведсти такой отрезок с началом в точке $A$ и концом в одном из образов точки $B$ , чтобы он пересек это же самое число раз линия сетки «клетчатой плоскости». Проделав обратную процедуру «свертывания» проведенного отрезка, превращим его в исходную траекторию в исходном бильярде (рис. 3).

Кроме общного — прямоуговольного — бильярда, можно рассмотреть бильярд в равностороннем треугольнике. Поскольку одинаковыми равносторонними треугольниками можно без щелей и перекрытый замостить всю плоскость, и здесь применена процедура «выпрямления бильярдной траектории» (рис. 4).

Оказывается, траектория бильярдного шара решает следующую широко известную задачу: каков тот кратчайший путь, по которым должен ползти пчела из точки $A$ в точку $B$ внутри равностороннего треугольника, чтобы сначала насладиться медом на одной стороне треугольника, потом сахаром — на другой стороне и, наконец, варенем — на третий? (Предполагается, что сторона полностью выма-

Рис. 5.

зана соответствующим сладким веществом.) Ответ приведен на рисунке 5. На этом рисунке сним цветом показан также другой (произвольный «не бильярдный») путем движения пчелы; после отражения он превращается в синюю ломаную $AXYZB'''$ с длиной, большей длины отрезка $AB'''$ — «выпрямленной траектории» бильярдного шара.

Любопытные траектории на круглом бильярде (рис. 6,a). Во-первых, траектория (после первого отражения) состоит из звенев одинаковой длины, что легко следует из конгруэнтности треугольников $OAB$ и $OCB$ (рис. 6,б). Середины всех звенев траектории удалены от центра бильярда на одинаковое расстояние и, таким образом, расположены на окружности с тем же центром. Тем самым вся бильярдная траектория расположена в колце (рис. 6,в).

Эта траектория может оказаться замкнутой, и тогда она образует либо правильный многоугольник, вписяный в окружность, либо самопересекающийся звезду (рис. 7). Такие траектории называются nepiodическаями.

Ясно, что вопрос «Как послать шар из точки $A$ на окружности, чтобы он после $n$ отражений оказался в исходной точке?» эквивалентен вопросу «Как построить правильный $(n+1)$ -угольник с вершиной в точке $A$ ?». Поисками ответа на последний вопрос должен времен занимать две перегреческие математики, но ответа так и не нашли. Лишь к началу XIX в. великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс показал, в каких случаях искомое построение возможно с помощью циркуля и линейки, а в каких невозможно («Квант», 1977, № 8, с. 5).

Если же траектория не замкнутая, то она заполняет практические все колыцо, а именно проходит скольцо увелично к любой точке колца.

Докажем это утверждение. Фиксируем одну из точек отражения на окружности, обозначим ее через $A$ . Двигаясь от точки $A$ , мы будем последовательно получить на окружности новые точки отражения на одинаковом (дуговом) расстояния $a$ друг от друга, пока не пересечим точку $A$ . Ближайшую из двух точек $A$ — до перескока и после перескока через нее — обозначим через $B$ . Длина $B$ дуги $AB$ не больше $\frac{\alpha}{2}$ :

$\beta \leq \frac{\alpha}{2}.$

Начав дивигаться от точки $B$ , мы через некоторое число шаров попадем в точку на окружности, отстоящую от точки $B$ на расстоянии $\beta$ ; затем попадем в точку, отстоящую от $B$ на $2\beta$ , и т. д. (рис. 8). Можно считать, что мы движемся теперь по окружности шагами величины $\beta$ , по крайней мере вдвое меньше, чем величины шага при начальном движении от точки $A$ . После определения числа шаров мы впервые пересечим точку $B$ и выберем после этого ближайшую к ней (из двух точек — до и после перескока) точку $C$ . Пусть длина дуги $BC$ равна $\gamma$ , тогда $\gamma \leq \frac{\beta}{2} \leq \frac{\alpha}{4}$ . Как и выше, получим, что можно

Рис. 7.

считать теперь величины прыжка равной γ. Повторив описанный процесс $k$ раз, получим величины прыжка, не большею $\frac{\alpha}{2^k}$ . Но при больших $k$ величины $\frac{\alpha}{2^k}$ становится очень маленькой, так что мы обязаательно попадем в любую, сколько угодно малуюду, произвольную выбранную на окружности.

Итак, доказано, что точки отражения плотно заполняют окружность. Проведяя касательные к внутренней окружности колца из всех точек отражения на окружности, получим, что сильная траектория плотно заполняется все колцо, что и требовалось.

Можно рассматривать сильярды и других форм; их общим свойством является выполнение закона сильярда: угол падения равен углу отражения.

Иден сильярдной игры часто находится себе применение в различных областях современной математики, подчас неожиданных (например, в теории чисел), а сама сильярдная игра служит хорошего модели реализации физических процессов, поскольку, например, молекулы газа, стальвая с границей сосуда и между собой, ведут себя так же, как шары на зеленом суке сильярда.

О более глубоких связях между сильярдом и математкой вы можете прочитать в двух статьях А. Землякова — «Квант», 1976, № 5 и 1979, № 9.

Задание

В точное ответе примугольного сильярда вляется частота и начинает отражаться от его бортов по закону сильярда. Может ли частца с неокоторого момента начать двигаться внутри сильярда по замкнутой траектории?
В примугольном сильярде точный шар движется по замкнутой траектории, не прохождения через вершины. Величина угла между кakими-то двумя звеньями равна 90°.

ПОПРАВКА

В статье Л. Баканиной «Задание о спутниках» («Квант», 1981, № 1) в условия четырёх задачи неправильно задано значение углового ускорения — оно должно быть положительным: $\beta = 3 \cdot 10^{-13}$ рад/c $^2$ . В связи с этим ответ задачи должен быть другим — спутник окажется на высоте $H' = 497$ км.