Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

48

Новосибирский государственный университет
им. Ленинского комсомола

Математика

Писменный экзамен
На выполнение работы было предоставлено 5 часов.
Вариант 1
(механико-математический, физический и экономический факультет)

1. Решить уравнение
   $$\cos \left( \frac{4+\sqrt{5}}{2} \sin x + 2 \cos x \right) = \sin \left( \left( \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 \right) \sin x \right).$$
2. Треугольник $ABC$ вписан в окружность радиуса $R$. Точка $D$ лежит на дуге $BC$, а хорды $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. Найти длину стороны $BC$, если $BMD=120^\circ$, $|AB|=R$, $|BM|:|MC|=2:3$.
3. При каких значениях параметра $a$ найдется значения $x$ также, что числа $5^{1+x}+5^1x$, $\frac{a}{2}$, $25^x+25^{-x}$ составляют арифметическое прогрессию?
4. $SABC$ — правильный единственный тетрадр. Сфера кадается ребер $AS$, $AC$, $AB$ и продит через середину ребра $BC$. Найти радиус сферы, если известно, что ее центр лежит внутри тетрадра.
5. При каких значениях $a$ для любого $b$ найдется хотя бы одно $c$ такое, что система уравнения
   $$\begin{cases} bx+y=ac^2, \\ x+by=ac+1 \end{cases}$$
   имеет хотя бы одно решение?

Вариант 2
(геолого-геофизический факультет и факультет естественных наук)

1. Решить уравнение
   $$\cos^2 x(1-\sin x)=1+\sin^3 x.$$
2. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагональ $AC$ которого равна $\sqrt{2}$. Найти площадь круга, описанного около треугольника $ABD$, если известно, что $ABC=105^\circ$, $ACD=42^\circ$, $DAC=63^\circ$.
3. Найти неотрицательные значения $x$, удовлетворяющие уравнению
   $$\log_6 2(1+2^{-x})-\frac{x}{1-\log_{\frac{1}{2}}3}=\log_6 a.$$
4. Сфера кадается бокового ребра $AA'$ и непараллельных ребер оснований $AB$ и $A'D'$ единного куба $ABCDA'B'C'D'$ и проходит через точку $M$, лежащую на боковом ребре $CC'$, $|CM|=\frac{1}{3}$. Найти радиус сферы.
5. Пусть $x$ пробегает множество решений неравенства
   $$x^4-4x^2+3\leq 0.$$
   Каково при этом максимальное значение выражения
   $$1+ax-x^2?$$
   Нарисовать график зависимости этого максимального значения от параметра $a$.

Физика

Писменный экзамен
Физический факультет
Каждай варит состояние из пяты задач трех типов. На решение задач давалось пять часов.
Первые три задач — расчетные, различной трудности: от почты стандартных до сравнительных, требующих смекалки, глубоких знаний, умения разобраться в непrivibuous или условенной физической ситуации.
Четвертая задача — это задача-оценка. Для ее решения надо понять рассматриваемое физическое явление, придумать простую (так как нужно только оценка) физической модель этого явления, выбрать разумные значения физических величины и наконец, получить численный результат, более или менее соответствующей реальности. В тексте задачи подвергivenалось что абитриент может сам выбрать необходимые для решения задачи физической величины и их численные значения. Опыт встретильных экзаменов в НГУ показывает, что с задачи-оценками справляется значительная часть абитриентов, зачисляемых на физической факультет.
Пятая задача — это задача-демонстрация, в которой надо обязывать физическое явление, демонстрируемое в аудитории. Здесь важно понять существенные явления и среды различных физических факторов выделить главный.

Вариант 1

1. Ввод при температуре $t_0=90^\circ C$ срока годное вode по массе количественного раскаленных платиновых опилок. Найти начальный температур опилок, если известно, что после прекращения кипения уровень воды остался первоначальным. Плотность платины $Q_{пл}=21,4 \cdot 10^3$ кг/м³, удельная теплемкость платины $c_{пл}=128$ Дж/(кг·К),

49

удельная тепломкость воды $c_B = 4190$ Дж/(кг·К), удельная теплота парообразования воды $\lambda = 2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг. Изменением плотности при нагревании претензей.

2. Посередние плоского конденсатора, расстояние между пластнами которого $2l$, находится заряженная сетка (рис. 1). Разность потенциальов между положительно заряженной частица и достигает точки, расположенной на расстоянии $l/2$ от пластины $B$. Определенте, на каком расстоянии от точки выleta частица попадает на пластину $A$. Силу тяжесте не учитываются.

3. Цилиндрическая камера (рис. 2) длиной $2l$ с поршнем сечением плащади $S$ (общая масса $M$) может двигатся по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $\mu$. Слева от поршня, расположенного в центре камеры, находится газ при температуре $T_0$ и давлении $p_0$. Между неподвижной стеккой и поршнем помещенаружина жесткости $k$. Во сколько раз нужно увеличить температуру газа слева от поршня, чтобы его объем удивился, если между камерой и поршнем трения нет? Наружное давление $p_0$.

4. Оцените максимальный радиус полости, образующийся при подводном взрыве на глубине $h = 1$ км заряда взрывного вещества массой $m = 1$ т. Энергия взрыва 1 грамм взрывного вещества равна примерно $\lambda = 4$ кДж.

5. Характер отскоков подвешенного на нити управления кшарику после удаления от него превращения амплитуда отскока резко уменьшается. Объясните явление.

Вариант 2

1. Какое расстояние $|AB|$ (рис. 3) пролеит мячик, брошенный под углом $\alpha$ к горизонтальной плоскости со скоростью $\vec{v}$, если он ударился о потолок? Высота потолка $H$, удаля упругий, треня нет.

2. Однородныйстержень массой $m$ одним концом опирается на горизонтальную други — на наклонную плоскости (рис. 4). Угол между плоскостями равен $\alpha$. Какую силу $\vec{F}$, направленную вдоль наклонной плоскости, надо приложить к стержню, чтобы он находился в равновесии? Треня нет.

3. Вертикальные рельсы $KD$ и $LN$, скользыващий по нимстержень $AC$ и батарея с ЭДС $\varepsilon$ составляют электрическую цепь (рис. 5). Перpendикулярно плоскости $KDNL$ приходим постоянное магнитное поле индукции $B$. Длинастержня $AC$ равна $l$, его сопротивление $R$ и масса $m$. Найдите установившуюся скорость, с которой поднимаетсястержень. Сопротивлением рельсов, батареи, а также треня претензей.

4. Гимнаст делает на перекладине оборот «солнышко». Оцените, с какой силой он действует на перекладину в момент, когда проходит через нижнее полжение.

5. Объясните, почему легко выткавляется гвоздь, если его согнут и тащить, одновременно поворачивая вокруг оси.

Вариант 3

1. В схеме, изображенной на рисунке 6, включены два элемента с ЭДС $\varepsilon$ и $\varepsilon_2$ ($\varepsilon_2 > \varepsilon_1$) и внутренними сопротивлениями $r_1$ и $r_2$. Сопротивление нагрузки $R$. Какое направление показет волтметр?

2. При колебанях двух одинаково заряженных шариков (заряд каждой q) расстояние между ними меняется от $l$ до $4l$. Шарики соединены пружиной, длина которой в свободном состоянии $2l$. Определенте жесткость пружины.

3. В вертикальном стоящем цилиндрическом соедение сечением $S$ под поршнем массой $m$ находится газ. Сосуд разделен перегородкой на две одинаковые части высотой $l$ каждой (рис. 7). Давление в нижней части $p$, внешнее давление $p_0$, температура газа в обихах частях сосуда $T$. На сколько сместится поршень, если убрать

50

Рис. 7.

перегородку? Внутренняя энергия одного моля газа $U=CT$. Стенки сосуда и поршень не проводят теплла, треня нет.

4. Оцените время вытекания воды из заполненной ванны.

5. Междуземенлённым и заряженным металлическими шарами на изолированной нитки висит металлический шарик. Объясните его поведение при перемещении заряженного шарика.

Решение задач варната 1

1. Из закона сохранения энергии (уравнение теплового баланса), с учетом равенства объемов платиновых опилок и испарившейся воды, имеем

$$t_H = t_K + \frac{c_B}{c_{пл}} (t_K - t_0) + \frac{Q_B}{Q_{пл}} \frac{\lambda}{c_{пл}} \approx 1250^\circ C$$

(здесь $t_K = 100^\circ C$ — температура кипения воды).

Некоторые абитуренты не смогли решить эту задачу, так как не поняли, что условия сохранения уровня воды ознакомят равенство объемов платиновых опилок и испарившейся воды.

2. Пусть модель ускорения и время движения частиц между пластиной $A$ и сеткой $C$ равны $a_1$ и $t_1$, между сеткой и пластиной $B$ — соответственно $a_2$ и $t_2$, а потенциальы таковы: $\varphi_A = 0$, $\varphi_C = \varphi$ и $\varphi_B = 3\varphi$. При этом

$$a_2 = 2a_1 = \frac{e}{m} \frac{2\varphi}{l}.$$

Спускаясь из высокей точки траектории до сетки, частица перемещается по вертикали на

$$\frac{l}{2} = a_2 \frac{t_2^2}{2}.$$

Согласно закону сохранения энергии,

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_0^2 \cos^2 \alpha}{2} + 2e\varphi,$$

где $v_0$ — начальная скорость частицы. Кроме того, условия равенства нулю вертикальной проекции скорости в высокей точке дает

$$v_0 \sin \alpha - a_1 t_1 - a_2 t_2 = 0.$$

Из полученных уравнений найдем искомое расстояние:

$$L = v_0 \cos \alpha \cdot 2(t_1 + t_2) = 2(4 - \sqrt{2}) l \text{ ctg } \alpha.$$

Большинство решавших эту задачу расматривали движения частицы не от верхней точки траектории, а от пластины $A$. Это, с одной стороны, приводило к громоздким выкладкам, а с другой стороны, уведомило вероятие допустить ошибку. Так, многое забывали, что движение частицы от сетки к пластине $B$ происходит с некоторой начальной скоростью.

3. Здесь надо рассмотреть два случая: а) $\mu Mg \geqslant kl$ и б) $\mu Mg < kl$.

В случае а) камера покопится. Из условия равновесия поршня $(p - p_0)S = kl$ и из уравнения Клапейрона для газа $\frac{pS2l}{T_a} = \frac{p_0Sl}{T_0}$ найдем искомое отношение:

$$\frac{T_a}{T_0} = 2 \left( 1 + \frac{kl}{p_0S} \right) \text{ при } \mu Mg \geqslant kl.$$

В случае б) камера покопится только до достижения максимального значения силы треня покоя. К этому моменту приходится на $x = \mu Mg/k$, а температура газа становится равной

$$T_1 = T_0 \left( 1 + \frac{\mu Mg}{p_0S} \right) \left( 1 + \frac{\mu Mg}{kl} \right).$$

После начала просkalьвения камеры увеличение объема газа будет проискодить при постоянном давлении; следовательно,

$$\frac{T_6}{T_1} = \frac{V}{V_1} = \frac{2lS}{(l+x)S} = \frac{2}{1 + \mu Mg/(kl)}.$$

Подставляя сюда значение $T_1$, получим

$$\frac{T_6}{T_0} = 2 \left( 1 + \frac{\mu Mg}{p_0S} \right) \text{ при } \mu Mg < kl.$$

Ниболее грубоей и частой ошибкой при решении этой задачи было отсутствие расстояния является частью, когда камера сначала покопится. Удивительно также, что очень много не учитывали внешнее давление $p_0$.

4. Выделившаяся при взрыве тепловая энергия идет в основном на работу против сил гидростатического давления:

$$Q = p(V_{\text{кон}} - V_{\text{нач}}) \approx pV_{\text{кон}},$$

или

$$m\lambda \approx Q_B gh \frac{4}{3} \pi r^3.$$

Отсюда

$$r \sim \sqrt[3]{\frac{3m\lambda}{4\pi\varphi gh}} \sim 5 \text{ m}.$$

В оценке объема полости некоторых абитурентов пропускили главный фактор — работа против внешнего давления при расширении пузы, ошибочно полагая, что почти все энергия идет на образование пара в пузы.

5. Максимальный откок получается в случае, если проекция переданного шарику имплуса на направление вдоль нити минимальна. (Если в момент удрала линей центр перпендикулярна к нити, проекция на направление вдоль нити равна нулю и откок максимальной из всех возможных.) При перемещении круглого преястия проекция имплуса вдоль нити увеличается, а, значит, доля энергии, идущей на движение шарика, уменьшается.

Некоторые абитуренты безусловно пытались все к различию в книематике центрального и нецентрального ударов.

Г. Меледин,
М. Фокин