Задачи М676—М680; Ф688—Ф692

22

Задачи

M676 — M680; Ф688 — Ф692

M676. Докажите, что для любого натурального $m$ сумма цифр числа 1981$^m$ не меньше 19.

A. Савкин

M677. Внутри остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $M$, являющаяся
a) точкой пересечения медиан;
b) точкой пересечения биссектрис;
b) точкой пересечения высот.
Докажите, что если радиус окружностей,писанных в треугольника $AMB, BMC, AMC$, равны,
то треугольник $ABC$ — правный.

Э. Туркевич

M678. 2$m$-значное число называется справедливым, если его четные разряды содержат столько же
четных цифр, сколько и нечетные. Докажите, что в любом (2$m+1$)-значном число вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное
2$m$-значное число было справедливым (рис. 1).

A. Сидоренко

M679. a) На плоскости расположены четыре кругга так, что первый касается второго в точке $A$, второй — третьего в точке $B$, третьий — четвертого
в точке $C$ и четвертый — первого в точке $D$ (рис. 2). Докажите, что через четыре называемые точки можно проверить окружность или прямую.
b) *В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке $A$, второй — третьего в точке $B$, третьий — четвертого
в точке $C$ и четвертый — первого в точке $D$. Докажите, что через четыре называемые точки можно проверить окружность или прямую.
b) *В пространстве расположены четыре шара так, что каждый касается трех других. Докажите, что шесть точек касания принадлежат одной сфере
или одной плоскости.

B. Произвольов

M680. Два связиста играют в такую игру. Имеются $n$ телефонных узлов, и связисты по очереди соеди-

23

наяют кавелем два из них по своему выбору.
Выиграает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого (быть может, через несколько промежутных; начало игры изображено на рисунке 3).
a) Выясините, кто выиграает при $n=4, 5, 6, 7, 8$ — начинающий или его партнер?
b) Каков ответ при произвольном $n$?
Рассмотите также два видом измененных варианта игры:
в) Пусть игрок, связавший все узлы, проигравает. Ответьте на вопросы a) и b) для этой новой игры;
г) Пусть вначале все узлы попарно связаны кавелем, а связисты убирают по очереди по одному соединению. Игрок, нарушивший связь в схеме, проигравает. Вопрос тот же: кто выиграивает при правильной стратегии для $n=4, 5, 6, 7, 8$? для произвольного $n$?
Затем ие. Можно было бы рассмотреть четвертый вариант: считать, что в пункте г) игрок, нарушивший связь, выигравает. Полное исследование этого варианта автору неизвестно.

А. Разборов

Ф688. Тонкий обруч массы $M$ и радиуса $R$ жестко закреплен при помощи легких спиц на легкой тонкой оси, проходящей через центр обруча, так, что плоскость обруча составляет с осью угол $\alpha$ (рис. 4). Определить, какую работу необходимо совершить, чтобы раскрутить ось до угловой скорости $\omega$.

С. Кротов

Ф689. На гладком горизонтальном столе лежит пачка бумаги, в которой 500 листов. Сотый лист (считая сизу) больше других. Этот лист осторожно тянут в горизонтальном направлении. Какое максимальное ускорение можно сообщить пачке, чтобы она при этом движалась, не распадаясь? Каково максимальное ускорение, с которым может двигаться центр масс пачки? С каким ускорением должен двигаться при этом сотый лист? Козффициент трения бумаги о бумагу $\mu=0,2$.

З. Рафаилов

Ф690. Между точками $A$ и $B$ на поверхности Луны, расположенными на угловом расстоянии $90^\circ$, прорыт прямолинейный канал (рис. 5), заполненный воздухом при нормальной температуре. Давление воздуха в середине канала $p=10^5$ Па. Найти давление воздуха в канале у поверхности Луны. Луну считать однородным шаром с диаметром $D=3480$ км. Ускорение $g_n$ свободного падения на поверхности Луны в шесть раз меньше земного.

А. Стасенко

25

и точку K окружность. Пусть M — точка пересечения касательной к этой окружности в точке K с прямой PQ. Какое множество заполняют точки M?

M631. Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подряд. Делится ли получающей число 192021…7980 на 1980?

Так как 1980 = 99 · 20, причем 99 и 20 не имеют общих делителей, достаточно выяснить, делится ли число A = 192021…7980 на 20 и 99. Делимость A на 20 очевидна. Далее заметим, что 100 в любой степени при делении на 99 дает остаток 1, поэтому число

$$A = 19 \cdot 100^{61} + 20 \cdot 100^{60} + \dots + 79 \cdot 100 + 80$$

при делении на 99 дает такой же остаток, как и число

$$B = 19 + 20 + \dots + 79 + 80 = \frac{19 + 80}{2} \cdot 62 = 99 \cdot 31.$$

Итак, получилось, что число B делится на 99; следовательно, и число A делится на 99, а вместе с тем и на 1980.

B. Федотов

M632. Груз, упакованный в контейнеры, нужно доставить на обратную космическую станцию «Салют». Число контейнеров не меньше 35, общая масса груза 18 тонн. Имеется семь транспортивных кораблей «Продресс», каждый из которых может доставить на орбиту 3 тонны груза. Известно, что эти корабли могут одновременно доставить любые 35 из имеющихся контейнеров. Докажите, что они смогут доставить на орбиту сразу весь имеющийся груズ.

Наовем контейнер массы более 0,5 т тяжелим, а контейнер, масса которого не превыходит 0,5 т, — легким. Поскольку общая масса груза равна 18 т, число тяжелих контейнеров меньше чем 18:0,5 = 36, то есть не превышает 35. Поэтому по условию задачи все тяжелые контейнеры можно погрузить на имеющиеся корабли (добавив, при необходимости, легкие контейнеры до общого числа 35).

После погрузки тяжелых контейнеров могут остаться только легкие контейнеры. Покажем, что все эти контейнеры можно по очереди погрузить в корабли. В самом деле, если на каком-то шаг погрузки контейнер массы $x < 0,5$ т не удается погрузить ни на один из семи кораблей, то на каждый корабль погружено уже больше (3—x) тонн груза, всего погружено больше 7(3—x) тонн, а осталось меньше 18—7(3—x) = 7x—3 тонн груза. Но тогда $x < 7x—3$, откуда $x > 0,5$, в противоречие с предположением. Требуем доказан.

A. Колотов

**M633. На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через хорошо BSD так, чтобы площадь четырехугольника ABCD была наиболее.

Пусть O — центр, R — радиус окружности, $|OE| = a$. Легко видеть (см. рисунок), что $S_{ABCD} = \frac{2R}{a} S_{\triangle OBD}$. Следовательно, площадь четырехугольника наибольшая, когда наибольший является площадь треугольника OBD. Треугольник OBD равноведный, $|OB| = |OD| = R$, $S_{\triangle OBD} = \frac{1}{2} R^2 \sin \varphi$, где $\varphi = BOD$. Угол ф тем меньше, чем меньше хорды BSD или, соответствующей, чем длине проведенной к этой стороне perpendicular OH. Поскольку $|OH| \leq |OE| = a$, наименьшее

*) См., например, книгу Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Прямы и кривы», §2 (Азбука), утверждение Е, с. 32 (М., «Нayka», 1978).

26

Знание $\varphi = \varphi_0$ характеризуется тем, что отрезки $OH$ и $OE$ совпадают, что соответствует хорде $BD$, перпендикулярной $AC$; для этого знания

$$\cos \frac{\varphi_0}{2} = \frac{a}{R}.$$

Итак, остается найти наиболее значение площади треугольника $OBD$ при $\varphi_0 \leqslant \varphi < \pi$. Возможны два случая:

1. Если $\varphi_0 \leqslant \frac{\pi}{2}$, то максимум достигается при $\varphi = \frac{\pi}{2}$. В этом случае

$$\frac{a}{R} = \cos \frac{\varphi_0}{2} \geqslant \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$a \geqslant \frac{R}{\sqrt{2}}.$$

а искомая хорда $BD$, стягивающая дугу в $90^\circ$, должна отсутствать от центра на расстояние $R/\sqrt{2}$, то есть должна касаться окружности с центром $O$ радиуса $R/\sqrt{2}$.

2. Если же $\varphi_0 > \frac{\pi}{2}$, что будет при $a < \frac{R}{\sqrt{2}}$, то максимум площади достигается при $\varphi = \varphi_0$ — искомая хорда $BD$ должна быть перпендикулярна диаметру $AC$.

И. Шарыцин

M634. Обозначим через $S(n)$ сумму всех цфр натурального числа $n$.

a) Существует ли натуральное $n$ такое, что $n + S(n) = 1980$?

b) Докажите, что хотя бы одно из любых двух последовательных натуральных чисел представимо в виде $n + S(n)$ для некоторого треугольного натурального числа $n$.

◆

a) Ответ. Существует: $n = 1962$. Как до этого договора, видно из решения пункта 6) этой задачи.

6. Обозначим $n + S(n)$ через $S(n)$. Легко видеть, что если $n$ оказывается на цифру 9, то $S_{n+1} < S_n$; в противном случае $S_{n+1} = S_n + 2$.

Докажем, что для любого $m \in \mathbb{N}$ хотя бы одно из чисел $m, m+1$ равно $S_n$ для некоторого $n$. Так как $S_1 = 2$, для $m=1$ и $m=2$ утверждение задачи верно. Если $m > 2$, то существует $S_n$, меньше $m$ (например, $S_1$), и в то же время при $n \geqslant m$ $S_n > n \geqslant m$. Следовательно, среди $n$ таких, что $S_n < m$, найдется наиболее общим его через $N$. Тогда $S_{n+1} \geqslant m > S_n$, поэтому $N$ не может оказаться на цифру 9 и, значит, $S_{n+1} = S_n + 2$. Следовательно, $m \leqslant S_{n+1} < m+2$, поэтому число $S_{n+1}$ равно $m$, либо $m+1$ — требуемое доказано.

C. Коняцин

**M635. Коротышки, произвольние в Цветочном горode, вдруг стал более гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никогда не простужался, здоровые коротышки заболели, называя своих больных друзей. Известно, что каждой коротышка больше гриппомров день, причем после этого у него по крайней мере еще один день есть иммунитет, то есть он здоров и заболеть опять в этот день не может. Несмотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно наценает всех своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки заболели по прививках и не делают их. Докажите, что:

a) если до первого дня эпидемии какие-нибудь коротышки

27

сделали приивку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продлаться сколько уконо не было, то эпидемия рано или поздно кончится.

«График заболевимости»

| День | А | В | С |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | И | Б | 3 |
| 2 | 3 | И | Б |
| 3 | Б | 3 | И |
| 4 | И | Б | 3 |
| 5 | 3 | И | Б |

Ф638. Читая в 1908 году лекции в Страсбурге, академик Л. И. Мандельштам поражал служателей следующим красным опитом. Два камертона на резонантовых ящиках, имеющих резонансные части 500 Гц и 505 ц, ставили рядом и один из камертонов возбуждали. Второй камертон при этом практически не откликался на колебания первоого. Но стоило экспериментатору начать перiodические закрывать и открывать рукой ящик эвчащего камертона, как тут же начинал эвчать второй камертон. Объясните результат этого опыта.

Из ящика эвчащего камертона исходят волны частоты $f=500$ Гц. Периодически закрывая ящик, Л. И. Мандельштам изменял амплитуду колебаний, приходим к второму камертону. Что же представляют собой колебания с меняющей амплитудой — модированные по амплитуде колебания?

Рассмотрим простейший случай, когда модуляция синусоидальная, то есть амплитуда $A$ меняется по закону синуса (косинуса) с частотой $F$:

$$A = A_0 \cos 2\pi F t.$$

В этом случае изменение давления (или плотности) воздуха, которое и является эвкусовой волной, происходит по закону

$$\Delta p = (A_0 \cos 2\pi F t) \cos 2\pi f t.$$ (*)

Преобразуем право часть равенства (*), воспользоваться известными формулами трионометрии:

$$\Delta p = \frac{A_0}{2} [\cos 2\pi(f-F)t + \cos 2\pi(f+F)t].$$

Таким образом, колебания частоты $f$, амплитуда которых меняется с частотой $F$, можно представить в виде суммы (суперпозицини) гармоничных колебаний (то есть колебаний синусоидальной формы с постоянной амплитудой) двух частот:

$$f_1 = f - F$$ и $$f_2 = f + F.$$ Если $F=5$ Гц, то частота $f_2$ совпадает с резонансной частой камертона-приемника, соответствующая составляющая колебаний раскачивает этот камертон, и он начинает эвчать.

При произвольном, несинусоидальном, по периодическом характеристике модуляции колебаний их представление в виде суммы гармоничных составляющих (их спектр) будет содержать больше двух членов (гармоник) — говоря, что спектр колебаний будет богатое. Но если период модуляции равен 1/F, то в спектре обязательно будет составляющая с частотой $f+F$ (как и с частотой $f-F$). Мы рассматривали синусоидный закон модуляции только потому, что в этом случае разложение на гармоники выглядает наиболее просто и может быть проведено элементарным образом.

В. Белонукин

28

Ф639. Две пружинки с жесткостьми $k_1$ и $k_2$ присоединены какдая одним концом к вертикальной стене, другим — к грузу массы $m$, лежащему на горизонтальном столе. В начальной момент пружина с жесткостью $k_1$ растянула на величины $l_1$, а пружина с жесткостью $k_2$ ската на величины $l_2$. Груз отпускают. Найти амплитуду и период колебанной груза. Тренец пренебречь.

Прием координату груза в начальной момент за нуль (см. рис.ок). Тогда зависимость сил упруости, действующих на груз, от координаты $x$ груза будет следующая:

$$F_1(x) = -(l_1+x)k_1,$$
$$F_2(x) = (l_2-x)k_2.$$

Здесь $(l_1+x)$, $(l_2-x)$ — алгебраические значения удлинией первой и второй пружин соответственно. В момент прохождения грузом положения равновесия суммарная сила $F$, действующая на груз со стороны пружин, равна нулю. Обозначим $x_0$ координату груза в этот момент. Тогда

$$F(x_0) = F_1(x_0) + F_2(x_0) = -(l_1+x_0)k_1 + (l_2-x_0)k_2 = 0,$$

откуда

$$x_0 = \frac{l_2k_2-l_1k_1}{k_1+k_2}.$$

Амплитуда колебанной груза равна, очевидно,

$$A = |x_0| = \frac{|l_2k_2-l_1k_1|}{k_1+k_2}.$$

Чтобы найти перiod колебанный, записем, как зависит возврашающая сила $F$ от отклонения груза от положения равновесия:

$$F = F_1 + F_2 = -x(k_1+k_2) + (l_2k_2-l_1k_1) = -x(k_1+k_2) + x_0(k_1+k_2) = -(k_1+k_2)(x-x_0)$$

((x-x_0) — отклонение груза от положения равновесия). Видно, что искомая зависимость такая же, как если бы к грузу была присоединена одна пружина с жесткостью $k=k_1+k_2$. Поэтому перiod колебанной груза равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}.$$

А. Береман

Ф640. На рис.хах 1 и 2 показаны границы области волнеи, возбуждаемых корабlem на двух участках пути. Красными стрелками указаны направления скорости корабlem. На первом участке (рис. 1) течение отсутствует. Направление течение на втором участке (рис. 2) показано синего стрелкой. Определите скорость течение, если скорость корабля относительно берегов в общих случаях одна и та же и равна 18 км/ч.

Совместим рисунки 1 и 2 (рис. 3). Из произвольной точки $A$ на курсе корабля осуществим перепределкуляр на границу области волнеи в отсутствие течения. Длина этого перепределкира ([AB] или [AB’]) определяет расстояние, прошеденное волной за то время, за которой корабль прошел расстояние $AO$. Расстояние $BC$ (или $B'C'$) определяет способ границы области волнеи течением за тот же промежуток времени. Следовательно, относение [BC]/[AO] (или $B'C'$/[AO]) определяет относение скорости $v$ течения к скорости корабля. Из чертежа находится

$$\frac{v}{v_0} = \frac{1}{5} \Rightarrow v = 3,6 \text{ km/ч}.$$

В. Белонучкин

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.

29

Ф641. Настенные часы с матриком имеет массу $M=5$ кц. Масса груза на конце легкого матрика $m=150$ кц. Какая ошибка в показаниях часов накопится за сутки, если часы подвесят к потолку на двух длиных паралельных шнурах? Считать, что часы, прикрепленные к стене, идут точно.

Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закреплены на стене, могут раскачивать. Если шнуры паралельны, то при раскачивании движение корпуса часов будет поступательным, то есть все точки часов (кроме матрика) будут движаться одинаково. Это значит, что всю массу часов без матрика ($M-m$) можно считать сосредоточенной в одной точке, например в точке $A$ подвеса матрика (рис. 1).

Перемещения корпуса часов при их раскачивании неVELКИ — много меньше амплитуды колебаний матрика часов (это будет показано ниже). Поэтому длиные шнуры все время будут оставаться почти вертикальными. Условие этого будет выполнаться тем лучше, чем длинее шнуры.

Таким образом, действующие на часы наяжения шнуров можно считать направленными вертикальным вверх. Силья тяжестя, действующие на корпус и на матрик, направлены вертикально вниз. Других внешних сил нет. Следовательно, в горизонтальном направлении на расматриваемой системе (корпус часов + матрик) никакие внешние силы не действуют, и центр масс этой системы по горизонтали перемещаются не будет.

Теперяясно, что при колебаниях матрика корпус часов (точка $A$) будет совершать колебания в противофазе — так, чтобы центр масс (точка $C$ на рисунке 2) все время оставался на одной вертикали. Смешения груза матрика $s_1$ и корпуса часов $s_2$ в любой момент будут относиться обратно пропорционально соответствующим массам:

$$\frac{s_1}{s_2} = \frac{M-m}{m}.$$ (1)

Из формулы (1) видно, что при $m \ll M$ амплитуда $S_2$ раскачивания корпуса много меньше амплитуды $S_1$ колебаний матрика часов ($S_2 \ll S_1$).

Остается выяснить, каким будет период $T_1$ колебаний матрика. Глядя на рисунок 2 и учитьвая, что точка $C$ по горизонтали не перемещается, нетрудно сообщать, что движение груза матрика $m$ можно приближенно представить как свободные колебания математического матрика длиной $l_1$. (Строю говоря, точка $C$ совершает перемещения по вертикали; однако при небольшей амплитуде колебаний матрика эти перемещения столбцы, что не влияют на период колебаний.)

Из подобия защитых на рисунке 2 треугольников видно, что

$$\frac{l}{l_1} = 1 + \frac{s_2}{s_1}.$$ (2)

Подставляя сюда $s_2/s_1$ из соответствия (1), находим

$$\frac{l_1}{l} = 1 - \frac{m}{M}.$$ (2)

Перiod колебаний математического матрика пропорционален квадратному корню из его длины: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$. Так как $l_1 < l$, период $T_1$ колебаний матрика в подвешенных на длиных шнурах часах меньше периода $T$ колебаний матрика в закрепленных на стене часах. Значит, подвешенные на шнурах часы будут спешить.

Учитывая соответствие (2), найдем отношение $T_1/T$:

$$\frac{T_1}{T} = \sqrt{\frac{T_1}{l}} = \sqrt{1 - \frac{m}{M}} \approx 1 - \frac{m}{2M}.$$ (3)

(Здесь мы учили, что по условию задачи $m/M=0,03 \ll 1$, и воспользовались приближенной формулой $\sqrt{1+x} \approx 1+x/2$, справедливо при $|x| \ll 1$.)

Теперя из (3) легко найти уменшение периода $\Delta T = T-T_1$:

$$\Delta T = T \frac{m}{2M}.$$

Подставив значения $m$ и $M$ из условия, найдем: $\Delta T = 0,015T$. За сутки подвешенные на шнурах часы уйдет вперед на 21 мин 36 с.

Е. Бутиков

30

Ф642. На рисунке приведена идеализированная волтамерная характеристика диода. Конденсатор emkoctи $C = 100$ мкФ, заряженный до напряжения $U = 5$ В, подключается через диод к резистору с сопротивлением $R = 100$ Ом. Какое количество телла выделится на резисторе при разряде конденсатора?

Пока ток разряда превышает $I_0 = 10$ мА, напряжение на диode остается постоянным и равным $U_0 = 1$ В. К тому моменту, когда ток упадет до значения $I_0$, напряжение на конденсатор оказывается равным

$$U_1 = U_0 + RI_0.$$

Заряд, протекший к этому времени по цепи, равен

$$q = C(U_0 - RI_0).$$

Согласно закону сохранения энергии

$$\frac{CU^2}{2} - \frac{C(U_0 + RI_0)^2}{2} = U_0q + W_1,$$

где $W_1$ — телло, выделившееся на резисторе до этого момента. Далее диод просто эквивалентен резистору с сопротивлением $r = U_0/I_0$. При дальнейшем разряде на резисторе $R$ выделяется телло.

$$W_2 = \frac{CU^2}{2} \frac{R}{R+r} = \frac{C(U_0 + RI_0)^2}{2} \frac{R}{R + \frac{U_0}{I_0}}.$$

Общее количество телла, которое выделится на резисторе при разряде конденсатора, равно

$$W = W_1 + W_2.$$

Подставляя значения $W_2$ и $W_1 = \frac{C}{2} \left[ U^2 - (U_0 + RI_0)^2 \right] - U_0q$, находим

$$W = \frac{C}{2} \left\{ (U - U_0)^2 + RI_0U_0 \right\} = 8,5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж.}$$

Е. Сурков, Е. Юносов

Ф643. С южного и северного полосов Земли одновременно стартуют две ракеты с одинаковыми начальными скоростями, направляемыми горизонтально. Через время $\tau = 3$ и 20 мин ракеты оказывались на максимальном удалении друг от друга. Определить максимальное расстояние между ракетами. Ускорение свободного падения на Земле считать известным. Радиус Земли $R_3 = 6400$ км.

Ракеты будут двигаться по одинаковым эллиптическим орбитам (см. рисунок), которые касаются Земли на Северном и Южном полосах. На максимальном удалении друг от друга ракеты оказываются через поливну перiodа обращения. Таким образом, $T = 2\tau$. Максимальное удаление $h$ ракет от центра Земли (в апоге) можно найти, исходя из второго закона Кеплера, из которого следует, что при одинаковых периодах обращения на разных орбитах (в том числе и крутовой) больше полоси орбит равны друг другу. Найдем радиус $r$ крутовой орбиты с периодом обращения $T$. Линейная скорость на такой орбите есть $2\pi r/T$. Приравнивая центростремильное ускорение ускорению силы тяжести, получим

$$\left( \frac{2\pi r}{T} \right)^2 \frac{1}{r} = G \frac{M_3}{r^2} = \frac{gR_3^2}{r^2}.$$

Отсюда

$$r = \sqrt[3]{\frac{gR_3^2T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{gR_3^2\tau^2}{\pi^2}} \approx 18 \cdot 10^6 \text{ м}.$$

На основании второго закона Кеплера $h + R_3 = 2r$. Таким образом, максимальное расстояние $L$ между ракетами равно

$$L = 2h = 2(2r - R_3) = 5,92 \cdot 10^6 \text{ м} = 59200 \text{ км}.$$

Интересно отмечить, что задача допускает и другие решения, так как ракеты оказываются на максимальном расстоянии друг от друга не только через полерiodа обращения, но и через $\frac{3}{2}T$, $\frac{5}{2}T$ и т. д. В общем случае условия задачи удовлетворяют все орбиты с периодами обращения $T_n = \frac{2}{n}\tau$ ($n$ — любое нечетное число), для которых $h_n \geq R_3$. Последнее условия можно переписать в виде $r_n \geq R_3$, где $r_n$ — радиус крутовой орбиты с периодом обращения $T_n$. Найдемное решение $r$ соответствует следующим n=1. Для всех

31

процх $r_n$ имеет.

$$r_n = \frac{r}{\sqrt{n^2}}.$$

Числовой расчет показывает, что возможен еще случай с $n=3$.

$$r_3 \approx 8.6 \cdot 10^6 \text{ м}; L_3 = 21.6 \cdot 10^6 \text{ м} = 21600 \text{ км.}$$
Для $n=5,7,...$ условия $r_n \geq R_3$ не выполнется.

С. Козел

Ф644. Цепь, состоящая из двух конденсаторов с емкостьми $C_1$ и $C_2$ ($C_2 > C_1$) и двух идеальных диодов $D_1$ и $D_2$ (рис. 1), подключана к источнику переменного напряжения $u = U_0$ cos $\omega t$. Определите зависящие на конденсаторов от времени в установленном режиме. Изображите полученные зависящие на графике. Соответствие идеального диода в прямом направлении равно нулю, в обратном — бесконечности.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф645. Громкооворитель имеет диффузор с площадью поперечного сечения $S = 300 \text{ cm}^2$ и массой $m=5 \text{ e}$.

Предположим, что цепь подключит к источнику в момент $t=0$. В этом случае конденсатор $C_2$ достаточно быстро заряжится через диод $D_1$ до напряжения, равного амплитудному значению $U_0$ переменного напряжения. Конденсатор $C_2$ получит заряд

$$Q_0 = U_0 C_2.$$

В последующие moments времени диоды $D_1$ и $D_2$ будут закрыты, то есть не будут пропускать ток, так как потенциальы катодов будут всегда больше потенциальов аноидов и диоды идеальные (их сопротивления в закрытом состоянии равны бесконечности). Схема будет вести себя так, как будет диоды $D_1$ и $D_2$ отключены; поэтому заряд $Q_0$ будет сохраняться.

В таком случае через последовательное соединение конденсаторы будет протекть переменный ток

$$i = I_0 \sin \omega t = \left( U_0 \omega \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \right) \sin \omega t,$$

где $I_0 = U_0 \omega \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ — амплитуда тока, $U_0$, $\omega$ — амплитуда и частота переменного напряжения. Переменный ток будет создавать переменное напряжение на каждом конденсаторе:

$$u_{c1} \sim = \frac{I_0}{\omega C_1} \cos \omega t = U_0 \frac{C_2}{C_1 + C_2} \cos \omega t,$$

$$u_{c2} \sim = \frac{I_0}{\omega C_2} \cos \omega t = U_0 \frac{C_1}{C_1 + C_2} \cos \omega t.$$

Кроме этого переменного напряжения, на конденсаторах будет присутствовать постоянная составляющая напряжения за счет заряда конденсатора $C_2$ до напряжения $U_0$. Для нахождения этой постоянной составляющей напряжения $U$ запишем закон сохранения заряд:

$$C_2 U_0 = C_1 U + C_2 U.$$

Отсюда

$$U = \frac{C_2 U_0}{C_1 + C_2}.$$

Таким образом, суммарные напряжения на конденсатрах будут равны

$$u_{c1} = u_{c1} \sim -U = U_0 \frac{C_2}{C_1 + C_2} \cos \omega t - \frac{C_2 U_0}{C_1 + C_2},$$

$$u_{c2} = u_{c2} \sim +U = U_0 \frac{C_1}{C_1 + C_2} \cos \omega t + \frac{C_2 U_0}{C_1 + C_2}.$$

Графики этих зависящих постоянных для $C_2 = 2C_1$, показаны на рис. 2.

Заметим, что если подключите цепи к источнику произходит в момент времени $t \neq 0$, то схема придает в установленной резимmetry через некоторое время, когда диод $D_1$ откроется и конденсатор $C_2$ заряжится до напряжения $U_0$.

В. Скороваров

Будем считать, что в свободном пространстве при достаточно низких частотах звуковых колебаний давление воздуха перед диффузором и за ним одно и то же. Тогда резонансная частота диффузора определяется его массой $m$ и жесткостью $k$