О площади многоугольника

20

6. • Проверьте, что при преобразовании плоскости $(x; y) \rightarrow (x'; y')$, где
     $$x' = x \cos \varphi - y \sin \varphi,$$
     $$y' = x \sin \varphi + y \cos \varphi,$$
     плошадь многоугольника не меняется. (Это преобразование — поворот на угол ф во-kруг начала координат.)
     в) То же — для преобразования $x' = kx, y' = y/k$ (к — фиксированное число); это — так называемый едиверgentный поворот.
     г) Во сколько раз изменяется площад при преобразования $x' = ax + by, y' = cx + dy$? (Ответ. Этот коэффициент один и тот же для всех многоугольников; он равен modulo определителя $\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right|$.)

13. Формула (2) верна и для невеликого многоугольника. Чтобы доказать ее, удобно использовать такую лему: Пусть MP — луч, выходящий из некоторой точки M. Если M лежит в не многоугольника, то, обходя многоугольник против часовой стрелки, мы пересечем луч MP четное число раз (поровну — справа налево и слева направо); если же точка M лежит внутри многоугольника, то — нечетное число раз (справа налево — на один раз больше).
14. Пусть многоугольник разрезан ломаной линейной на две части. Проверьте, что площади, определяемые по формуле (2) для каждой из части, в сумме дают выражение (2) для всего многоугольника.
    Этот факт (адитивность) вместе с результатами упражнения 3 и 12 а), 6) (инвариантность относительной переносов, симметрий и поворотов) дает возможность принять число (2) за определение площади многоугольника.
15. Пусть все стороны многоугольника $A_1B_1A_2B_2...A_mB_m$: $A_k(a_k; b_k), B_k(a_k+1; b_k), k=1, ..., m$, причем $B_m(a_1; b_m)$. Запишите формулу площади для такого многоугольника.

Рис. 5. Числа указывают, сколько раз (с учетом направления) ломана обходит вектор каждой кусочки.

нikka. Проверьте ее для шестиугольника с вершинами $(-1; 0), (2; 0), (2; 5), (3; 5), (3; 7), (-1; 7)$. (Эта формула пригодилась нам в решении задачи М608 — см. «Квант», 1980, № 11.)
16. Выясните, что дает формула (2) для любых $n$ точек $A_1, A_2, ..., A_n$ плоскости.
Ответ состоит в следующем: пусть замкнутая ломанная $A_1A_2...A_n$ делит плоскость на $r$ кусок площади $S_1, ..., S_r$; тогда права часть формулы (2) равна сумме $k_1S_1 + ... + k_rS_r$, где целое число $k_j$ показывает, сколько оборотов делает ломанная $A_1A_2...A_n$ вектор $j$-го куска (причем обороты против часовой стрелки считаются положительными, по часовой стрелке — отрицательными, см. рис. 5).

С. Сефибеков

О площади многоугольника

В статье Н. Вагутена обсуждается формула площади многоугольника и ее приложения. Еще одно доказательство этой формулы приводится в публикуемой ниже заметке.

Для площади $S_n$ $n$-угольника $A_1A_2...A_n$ справедлива формула
$$S_n = \frac{1}{2} \left| (x_1y_2 + x_2y_3 + ... + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + ... + y_nx_1) \right|,$$
в которой $(x_1; y_1), (x_2; y_2), ..., (x_n; y_n)$ — координаты вершин $A_1, A_2, ..., A_n$.

Доказите формулу (2) сначала для прямоугольного треугольника с катетами, параллельными осем координат (рис. 1), затем для треугольника, одна из сторон которого параллельна одной из осей координат (рис. 2), а затем для общего случая (рис. 3).

Если вы решили до конца эту задачу, вам будет несколько решить и следующее.

21

Рис. 1.

Рис. 5.

Задание 2. Докажите формулу (1) для выпуклого четырехугольника.
Указание. Разбейте четырехугольник на два треугольника (с помощью диагонали — см. рис. 4) и примените задачу 1.

Задание 3. Докажите формулу (1) для выпуклого n-уольника.
Указание. Воспользовитесь методом математической индукции, представив данный выпуклый n-уольник $A_1A_2A_3...A_n$ в виде объедининия $(n - 1)$-уольника $A_2A_3...A_n$ и треугольника $A_1A_2A_3$ (рис. 5). Читательям, не знакомым с методом математической индукции, мы предлагаем решить задачу 3 для $n = 5$.

Перейдем теперь к следующим произвольного (не обязательного выпуклого) многоугольника.

Задание 4. Докажите формулу (1) для произвольного четырехугольника.
Задание 5*. Докажите формулу (1) для произвольного n-уольника.
Указание. Докажите, что в любом n-уольнике можно проведи диагональ, целиком лежащую внутри него и примените метод математической индукции.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.