Nối hai điểm bằng một đoạn

12

I. Yaelom

Nối hai điểm bằng một đoạn

Người Hy Lạp cổ đại hiểu toán học chủ yếu là hình học. Ví dụ, họ đã chứng minh đẳng thức đại số $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ bằng cách sử dụng hình vẽ (Hình 1). Ví dụ, ngày nay, toán học đang nhanh chóng trở thành đại số – đại số, trong mối quan hệ với hình học, đang trả thù. Trong những năm gần đây, việc trình bày hình học thường dựa trên phép tính này hoặc phép tính khác (ví dụ: phép tính vectơ). Một trong những phép tính rất đơn giản nhưng bất ngờ này sẽ được thảo luận trong bài viết.

Nhân điểm và hình dạng

Đoạn có đầu $A$ và $B$ thường được biểu thị bằng ký hiệu $AB$ (Hình 2). Mục này gợi ý thuật ngữ không mong muốn: chúng tôi gọi đoạn $AB$ là tích của các điểm $A$ và $B$. Tương tự, tích αβ của các hình α và β là tổng tròn của tất cả các đoạn $AB$, trong đó $A \in \alpha$, $B \in \beta$, tức là tích tròn của tất cả các tích có thể có của các điểm của hình α với các điểm của hình β (Hình 3). Chúng tôi chắc chắn rằng không có cách nào tích số điểm và số không mong đợi này bằng tích số thông thường.

Các tính chất của phép nhân điểm như vậy là gì? Những điều đầu tiên là hiển nhiên:

(a) Nhân điểm đi lại:

$$AB=BA$$

(b) Nhân điểm liên kết:

$$(AB)C=A(BC)$$

cho bất kỳ điểm nào $A, B$ và $C$.

Trên thực tế, tích $(AB)C$ là hợp của tất cả các đoạn nối các điểm của đoạn $AB$ với điểm $C$ (Hình 4,a) và tích $A(BC)$ là hợp của các đoạn nối $A$ với các điểm của đoạn $BC$ (Hình 4,b). Do đó, $(AB)C=A(BC)=ABC$, trong đó $ABC$ là một tam giác có các đỉnh $A, B, C$.

Ở đây sẽ thuận tiện cho chúng ta gọi hợp của các hình α và β là tổng của chúng; theo đó, cùng nhau α và β chúng ta sẽ viết α+β.

(c) Phép nhân các điểm có tính phân phối đối với phép cộng của chúng:

$$(A+B)C=AC+BC$$

cho bất kỳ điểm nào $A, B$ và $C$.

Điều này là rõ ràng, vì tích của một cặp điểm $A+B$ và một điểm $C$ là hợp của các đoạn $AC$ và $BC$ (Hình 5).

Tính chất sau đây của phép nhân điểm khác với tính chất của phép nhân số đã được dạy cho chúng ta:

(d) Phép nhân dấu chấm giống hệt nhau:

$$AA=A$$

cho bất kỳ điểm nào $A$.

Thật vậy, đoạn $AA$ có các đầu được hợp nhất chỉ là điểm $A$.

Tính chất (a) - (c) của phép nhân điểm chuyển sang các số tùy ý:

(A) Nhân các số liệu một cách giao hoán:

$$\alpha\beta=\beta\alpha.$$

(B) Nhân các số liệu liên kết:

$$(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma).$$

Hình $(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)$ được ký hiệu phù hợp là αβγ; nó đại diện cho sự kết hợp của tất cả các tam giác có thể có $ABC$, trong đó $A\in \alpha$, $B\in \beta$, $C\in \gamma$.

13

Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Hình 5.
Hình 6.
(C) Phép nhân các số có tính phân phối đối với phép cộng của chúng:
$(\alpha + \beta)\gamma = \alpha\gamma + \beta\gamma$
(Hình 6).
Tuy nhiên, nói chung, tính bình thường của phép nhân các số liệu không có chỗ đứng. Người ta chỉ có thể nói rằng
(D) Tích của bất kỳ hình nào với chính nó đều chứa hình này:
$\alpha\alpha \supset \alpha$.
Hình 7 cho thấy hình $\alpha\alpha$ có thể không giống với $\alpha$. Hơn nữa, dễ dàng nhận thấy điều đó đối với bất kỳ hình nào $\alpha$
$\alpha^n \subset \alpha^{n+1}$, trong đó $\alpha^n$, như thường lệ, có nghĩa là tích $\underbrace{\alpha\alpha \dots \alpha}_{n\text{ раз}}$.
Bài tập

1. Đặt $A, B, C$ và $D$ là các điểm tùy ý (mặt phẳng hoặc khoảng trắng). Chứng minh rằng
   $(AB)(CD) = (AD)(BC) =$
   $= (AC)(BD) = A(BCD) = B(ACD) =$
   $= C(ABD) = D(ABC)$.
   Tích của bốn điểm này là gì (nó có thể được biểu thị đơn giản bằng $ABCD$ không có dấu ngoặc đơn)?
2. Chứng minh rằng $(AB)(AC) = ABC$.
3. Các số liệu $a)(A+B)(A+C); 6)(A+B)(C+D);$ thể hiện điều gì?
   $b)(A+B+C)D; 7)(A+B+C)(D+E)$?
   (Trong các bài toán 6) - d) xét riêng trường hợp tất cả các điểm thuộc cùng một mặt phẳng và khi đây là các điểm tùy ý trong không gian.)
4. Tích của a) một điểm và một đường tròn là gì; 6) điểm và vòng tròn;$$b) điểm và hình tam giác; 7) các điểm và đường viền của tam giác; 8) dấu chấm và hình vuông; e) hai đường tròn; g) hai hình tam giác; h) hai hình vuông; i) hình tròn và hình vuông?
5. Tích của hai đường thẳng là bao nhiêu nếu chúng a) song song; 6) giao nhau; c) giao phối với nhau?

Khi $\alpha\alpha = \alpha$
Trong lập luận và đại số, những con số có $a \cdot a = a$ đóng một vai trò đặc biệt. Rõ ràng là chỉ có số 1 và 0, đáng chú ý ở nhiều khía cạnh khác, mới có đặc tính này.

14

Trong hình học, cũng rất thú vị khi xem xét cụ thể những hình $\alpha$ mà $\alpha^2 = \alpha \alpha = \alpha$. Mỗi hình như vậy được đặc trưng bởi thực tế là nó thuộc về bất kỳ đoạn nào nối hai điểm của hình này (Hình 8). Những số liệu như vậy, như bạn biết, được gọi là lồi.

Định nghĩa của một hình lồi cũng có thể được đưa ra dưới dạng tao nhã sau: một tập hợp các điểm $\alpha$ được gọi là lồi nếu nó đóng dưới phép nhân các điểm, nghĩa là cùng với hai điểm bất kỳ $A$ và $B$, hình $\alpha$ cũng chứa tích $AB$ của các điểm này.

Thật dễ dàng để đưa ra một hình phẳng $\beta$ mà $\beta^2$ không lồi. Người ta có thể chứng minh rằng với mọi hình phẳng $\beta$ thì hình $\beta^3$ là lồi; nó được biểu thị bằng hình lồi nhỏ nhất chứa $\beta$ và được gọi là bao lồi của $\beta$. Đối với hình $\beta$ nằm trong không gian ba chiều, bao lồi sẽ là $\beta^4$.

Nói chung, đối với bất kỳ hình $\beta$ nào nằm trong không gian nhật thực $n$ chiều, hình $\beta^{n+1}$ là lồi và do đó tất cả các hình $\beta^{n+2}, \beta^{n+3}, \dots$ đều trùng với $\beta^{n+1}$.

Lý thuyết về số lồi chiếm một vị trí nổi bật trong toán học ngày nay.

Bài tập

6. Chứng minh rằng tích của hai số lồi là lồi.

7. Các hình $\beta^2; \beta^3; \beta^n$ biểu thị điều gì nếu $\beta$ là hợp của: a) ba điểm trên mặt phẳng; b) bốn điểm trong không gian; c) các đỉnh của một hình ngũ giác đều; d) một đường tròn và một điểm không nằm trong mặt phẳng của đường tròn và được chiếu trực giao vào tâm của nó.

Ở đâu có phép nhân, ở đó có phép chia

Trong lĩnh vực số, phép chia được định nghĩa là phép toán nghịch đảo của phép nhân: số $q$ được gọi là thương của các số $a$ và $b$ (ký hiệu: $q=a/b$) nếu $a$

15

Có tích của $b$ và $q$. Nói cách khác, các mục $q=a/b$ và $a=bq$ có cùng ý nghĩa. Tương tự, chúng ta thực hiện thao tác chia các điểm làm nghịch đảo cho phép nhân của chúng: nếu $A \neq B$ thì với $A/B$ chúng ta biểu thị tập hợp các điểm $Q$ mà $A \in BQ$; Theo định nghĩa, chúng ta cũng đặt $A/A=A$.

Theo định nghĩa của phép nhân điểm, điều kiện $A \in BQ$ có nghĩa là $A$ thuộc đoạn $BQ$ (Hình 9); do đó, điểm $Q \in A/B$ nằm trên đường đi qua $A$ và $B$ và nằm ở phía bên kia của $A$ so với điểm $B$. Vì vậy, thương $A/B$ của hai điểm là một tia có điểm bắt đầu là $A$, phần tiếp theo của nó đi qua đường $B$. Chúng ta cũng có thể nói rằng $A/B$ là bóng do “vòng” $A$ tạo ra, được chiếu sáng bởi “đèn lồng” $B$ (Hình 10).

Chúng ta định nghĩa thương $\alpha/\beta$ của hai hình $a$ và $b$ là tên của tất cả các tia $A/B$, trong đó $A \in \alpha, B \in \beta$, tức là sự kết hợp của tất cả các điểm riêng có thể có của hình $a$ thành các điểm của hình $b$ (Hình 11). Ví dụ: nếu $A$ là một điểm thì $\alpha/A$ là bóng của hình $a$, được chiếu sáng bởi “đèn lồng” $A$ (Hình 12).

Như dễ thấy (xem Hình 13-17), đối với mỗi ba điểm $A, B$ và $C$, mối quan hệ sau là hợp lệ (hai điểm đầu tiên dựa trên các thuộc tính của số):

$$(A/B)/C = A/(BC),$$
$$(A+B)/C = (A/C) + (B/C),$$
$$A/(B+C) = (A/B) + (A/C),$$
$$(AB)/C = (A/C)(B/C)$$
$$A/(BC) = (A/B)(A/C).$$

Rõ ràng là đối với mọi hình $a$ thì việc bao gồm $\alpha/\alpha \supset \alpha$ là hợp lệ. Mối quan tâm chung là các số liệu $\lambda$ trong đó $\lambda/\lambda = \lambda$. Chúng ta sẽ gọi những số liệu đó là tuyến tính (xem Hình 18).

Trận chiến

8. Các số liệu $A)$ $(ABC)/D; 6)$ $(AB)/(CD); 8)$ $A/(BCD)?$ thể hiện điều gì?

9. Các số liệu $\alpha/\alpha; (\alpha/\alpha)/\alpha; [(\alpha/\alpha)/\alpha]/\alpha; ...$ thể hiện điều gì?

nếu $\alpha$ là giao của ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng?

10. Viết ra, sử dụng các phép tính nhân và chia các điểm, các vùng mà các điểm $A$ và $B$ phân chia đường thẳng;

6. ba đường thẳng nối các điểm $A, B$ và $C$ theo cặp chia mặt phẳng;

c) bốn mặt phẳng nối ba điểm cho trước $A, B, C$ và $D$ chia không gian.

Trong cũ. 11-13 các ký hiệu sau được áp dụng: $A$ - dấu chấm; $\lambda, \lambda_1, \lambda_2$ - thẳng; $\pi, \pi_1, \pi_2$ - máy bay; $\sigma, \sigma_1, \sigma_2$ - vòng tròn; $x, x_1, x_2$ - vòng tròn; $\tau, \tau_1, \tau_2$ - hình tam giác.

11. Các số liệu $a)$ $(A/\lambda; 6)$ $\lambda/A; b)$ $A/\pi; \Gamma)$ $A/\sigma; e)$ $\sigma/A; jx)$ $A/x; 3)$ $x/A; i)$ $A/\tau; k)$ $\tau/A; l)$ $\lambda/\pi; m)$ $\pi/\lambda$ tượng trưng cho điều gì?

12. Các số liệu $a)$ $\sigma_1/\sigma_2; 6)$ $x_1/x_2; b)$ $\tau_1/\tau_2; \Gamma)$ $\lambda_1/\lambda_2; d)$ $\pi_1/\pi_2$ thể hiện điều gì?

Trong cũ. d) xét riêng trường hợp khi $\lambda_1$ và $\lambda_2$ cắt nhau; song song; lai giống.

13. Các số liệu $a)$ $\sigma/\sigma; 6)$ $x/x; b)$ $\tau/\tau; \Gamma)$ $\lambda/\lambda; d)$ $\pi/\pi$ thể hiện điều gì?

14. Chứng minh rằng với mọi điểm $A, B, C$, hệ thức sau đúng:

a) $A(B/C) \subset (AB)/C; 6)$ $A/(B/C) \subset (AC)/B; b) (A/B)(C/D) \subset (AC)/(BD); g) (A/B)/(C/D) \subset (AD)/(BC).$

(Tính chất tương tự của tính chất công bằng cho các số tùy ý.)

15. Chứng minh rằng với mọi số liệu $a, b, \gamma$ $(\alpha/\beta)/\gamma \subset (\alpha/\gamma)\cap(\beta/\gamma); 6)$ $(\alpha+\beta)/\gamma = (\alpha/\gamma)+(\beta/\gamma); b) \alpha/(β+\gamma) = (\alpha/\beta)+(\alpha/\gamma); g) (\alpha/\beta)/\gamma = (\alpha/\gamma)(\beta/\gamma); d) \alpha/(β\gamma) = (\alpha/\beta)(\alpha/\gamma).$

16. Chứng minh rằng một hình tuyến tính nhất thiết phải lồi.

17. Chứng minh rằng mọi hình tuyến tính của mặt phẳng đều cạn kiệt bởi điểm, đường thẳng và tất cả bởi mặt phẳng; trong không gian, hình tuyến tính là điểm, đường thẳng, mặt phẳng và mọi không gian.

18. Điều kiện viết $\alpha \approx \beta$ nếu các hình $a$ và $b$ có ​​ít nhất một điểm chung (để so sánh, lưu ý rằng $\alpha = \beta$ nếu $a$ và $b$ tất cả các điểm đều chung).

Chứng minh rằng quy tắc tỷ lệ tinh tế sau đây đúng: nếu các số $a, b, \gamma, \delta$ sao cho $\alpha/\beta \approx \gamma/\delta$, thì $\alpha\delta \approx \beta\gamma$ (khoảng cách là trường hợp khi $a, b, \gamma, \delta$ là điểm; Hình 18). Chứng minh rằng $\alpha/\beta \approx \gamma\Leftrightarrow \beta\gamma \approx a$.

Phép nhân điểm và hình “không phải ενClidean”

Nội dung bài viết này dựa trên nghiên cứu gần đây của nhà hình học người Mỹ Walter Penrowitz. Ý tưởng nghiên cứu của Penrowitz (hoàn toàn không dành cho những nhà toán học mới bắt đầu, chẳng hạn như độc giả của tạp chí này) là xem xét một lớp rộng rãi các “hình học” mới, khác với các hình học “trường học” đã thu hút bạn.

16

số liệu của Euclid; những hình học này có thể được gọi là hình học “không phải ενClidean”. Dưới đây là hai ví dụ về “nhân điểm không phải ενClidean” theo Penrowitz:

I. Tích AB của các điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ là một hình chữ nhật có các cạnh song song với trục tọa độ, “kéo dài” bởi A và B (Hình 19); nếu đường thẳng đi qua các điểm A và B song song với bất kỳ trục tọa độ nào thì hình chữ nhật suy biến thành một đoạn và theo định nghĩa, tích AB trùng với tích mà chúng ta đã xác định trước đó.

II. Chúng ta cố định hình P, được tạo thành bởi ba tia ló ra từ một điểm O (Hình 20). Hình này sẽ là “vũ trụ” của chúng ta: chúng ta sẽ chỉ xem xét thêm các điểm thuộc P và các hình là tập con của tập P. Với tích AB của các điểm A∈P và B∈P, chúng ta muốn nói đến đường đứt nét ngắn nhất nối A và B bên trong hình P.

Sau khi xác định được tích các điểm, đúng nghĩa đen như trước, tích các hình, các hình lồi, thương các điểm, thương các hình, các hình tuyến tính được xác định tuần tự. Hình 21 thể hiện thương số của các điểm A/B ví dụ I, Hình 22 thể hiện thương số A/B ví dụ II (đối với các vị trí khác nhau của điểm A và B).

Hóa ra lý thuyết về các hình lồi trong “hình học Penrowitz” có rất nhiều hứa hẹn với lý thuyết tương ứng trong hình học ενClidean nói chung.

Bài tập

20. Kiểm tra xem tích AB và thương A/B của các điểm chẳng hạn I có thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trong phần chính của bài viết và trong bài tập hay không. Những hình nào lồi trong “hình học” này? Những cái nào là tuyến tính?

21. Tương tự ví dụ II.

Tập xã luận của tạp chí «Kvant» với niềm tiếc thương sâu sắc thông báo với độc giả về cái chết yểu điệu của một thành viên trong tập xã luận của nhà toán học nổi tiếng Liên Xô, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Anatoly Illarionovich Shirshov, diễn ra vào ngày 28 tháng 2 năm 1981.