Bài toán từ bài thi vấn đáp tại MIPT

28

Bài tập từ bài thi vấn đáp tại MIPT

Dưới đây là nhiệm vụ được giao trong các năm khác nhau cho kỳ thi tuyển sinh vào Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva. Dưới đây là các nhiệm vụ được thu thập chỉ liên quan đến một chủ đề - thuộc tính đơn giản nhất của số nguyên.

1. 123456789 có phải là số nguyên tố không?
2. Chứng minh rằng phương trình $x^2 - y^2 = 1982$ không có lời giải ở dạng số nguyên.
3. Cho $p_1$ và $p_2$ là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp và $p_1 + p_2 = 2n$, $n \in N$. Chứng minh rằng số $n$ là hợp số.
4. Chứng minh rằng nếu số $1 \cdot 2 \dots n + 1$, $n \in N$ chia hết cho $n + 1$ thì số $n + 1$ là số nguyên tố.
5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ lớn hơn hai thì một trong các số $2^n - 1$ và $2^n + 1$ là hợp số.
6. Số $3n + 2$, trong đó $n$ là số tự nhiên, có thể là bình phương của một số nguyên không?
7. Chứng minh rằng tổng $n^3 + 6n^2 - 4n + 3$ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên $n$.
8. Chứng minh rằng trung bình cộng của ba số nguyên tố lớn hơn 3, luôn ít nhất là hai, có tính chất là tổng hoặc hiệu của chúng đều chia hết cho 12.
9. Chứng minh rằng số $333^{777} + 777^{333}$ chia hết cho 37.

Tuy nhiên, nếu nhiệt độ đủ cao, thì ngay cả ở áp suất khí cao, nó thường có thể được coi là lý tưởng, vì mật độ khí đóng vai trò quyết định (chúng tôi nhấn mạnh lại điều này).

Bài tập

1. Hình 3 biểu diễn đồ thị thay đổi trạng thái của một khối lượng khí lý tưởng nhất định. Chỉ ra phần nào của đồ thị áp suất tăng và phần nào giảm.
2. Sự phóng điện được tạo ra trong bình chứa oxy. Kết quả là toàn bộ oxy được chuyển thành ozone và nhiệt độ không khí tăng gấp đôi. Áp suất thay đổi như thế nào? Thể tích của tàu được coi là không thay đổi.
3. Một bình có tiết diện $S = 10$ cm2 được đóng lại bằng một piston có khối lượng $m = 5$ kg. Có khí trong bình. Khi bình chuyển động đi xuống với gia tốc 4g thì thể tích khí dưới pít-tông tăng gấp đôi. Nhiệt độ của khí không thay đổi. Tìm áp suất bên ngoài.
4. Một vệ tinh có tiết diện $S = 1$ m2 di chuyển với vận tốc thoát đầu tiên là $v = 7,8$ km/s trong quỹ đạo gần Trái đất. Áp suất khí quyển ở độ cao quỹ đạo (200 km) là $p = 1,37 \cdot 10^{-4}$ Pa, nhiệt độ $T = 1226$ K. Xác định số lần va chạm của vệ tinh với các phân tử không khí trong 1 giây.

A. A. Bolibrukh, V. M. Uroev, M. I. Shabunin

30

Hình 2. Nhóm số liệu đầu tiên.

1. kim tự tháp và quả bóng có ghi;
2. đế của kim tự tháp và hai quả bóng (gạch chân: chỉ phần đế, không phải toàn bộ kim tự tháp);
3. đáy kim tự tháp, viên bi thứ hai và mặt phẳng cắt;
4. mặt phẳng cắt và hình chóp (và ở đây không thể bỏ qua một đường thẳng SA, vì điều cốt yếu đây là cạnh của hình chóp).

Chúng ta hãy tạo một bản vẽ riêng cho mỗi liên kết, mở nó ra sao cho thuận tiện để xem các hình cấu thành của nó. Bên cạnh các đoạn có độ dài đã biết, chúng ta viết các độ dài này (dưới dạng công thức). Đây là một điểm rất quan trọng: độ dài trong hình vẽ sẽ giúp bạn nhìn thấy các phương trình. Chúng ta sẽ gọi quá trình sắp xếp các độ dài trong bản vẽ là đánh dấu bản vẽ. Bây giờ đối với mỗi liên kết, chúng ta viết ra sự tương ứng thu được.

Nhóm số liệu thứ 1. Mặt phẳng đi qua chiều cao của hình chóp và đường trung đoạn SE của mặt SBC cắt hình chóp theo một tam giác đều, và quả cầu đi qua một đường tròn có bán kính $r$ nội tiếp trong đó (Hình 2, a). (Điều này và các tuyên bố tương tự trong mục lời giải phải được chứng minh, cho dù chúng có vẻ nhất quán đến mức nào. Nhưng đối với chúng tôi hiện nay, việc tìm kiếm lời giải và nhận được đáp số quan trọng hơn, vì vậy chúng tôi bỏ qua loại khẳng định này. Và cách chứng minh và cách chứng minh, làm thế nào để “giới thiệu sự chặt chẽ” được chú ý khá nhiều ở trường và trong nhiều phương tiện trợ giúp khác nhau dành cho người nộp đơn *).

*) Ví dụ, xem G. V. Dorofeev, M. K. Potapov, N. Kh. Rozov “Cẩm nang toán học dành cho ứng viên đại học” (M., “Nauka”, 1976), phần III, § 1.

Hãy vẽ phần riêng biệt (Hình 2, b). Tâm O của quả cầu nội tiếp nằm trên phân giác của góc SEH, có độ lớn bằng góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Điều này dẫn đến sự tương ứng đầu tiên:

$$r = \frac{a}{2} \mathrm{tg} \frac{a}{2}.$$

Lưu ý rằng có thể thu được hình 2, b tương tự bằng cách sử dụng không phải một mặt cắt mà là hình chiếu của hình chóp lên một mặt phẳng vuông góc với cạnh BC.

Bộ số thứ 2. Chúng ta hãy vẽ cả hai quả bóng và đáy của kim tự tháp thành một bản vẽ riêng (Hình 3, a). Chúng ta sẽ chọn một góc sao cho các đoạn và góc chúng ta cần hiển thị ở kích thước tự nhiên (Hình 3, b). Thực hiện các phép dựng bổ trợ hiển nhiên (đừng quên thực hiện các chứng minh cần thiết) và đánh dấu trên hình vẽ, ta thu được phương trình

$$(R + r)^2 - (R - r)^2 = \left( \frac{a \sqrt{2}}{2} \right)^2.$$

(Bản vẽ tương tự thu được trong một dòng chảy đi qua bản vẽ tâm của các quả bóng và điểm tiếp xúc của chúng với đế.)

bó số thứ 3. Cách thực hiện tương tự: nối vào một bản vẽ riêng (Hình 4, a), dựng các phép dựng phụ và đánh dấu (chứng minh rằng $PBA = \phi$!) và vẽ một mặt cắt (với mặt phẳng PAB - Hình 4, b), từ tam giác vuông PAB ta thu được phương trình

$$R = a \mathrm{tg} \phi.$$

bó số thứ 4. Lại

31

Hình 3. Chùm số liệu thứ hai.

Hình 4. Chùm số liệu thứ ba.

Hình 5. Chùm số liệu thứ tư.

thủ tục tương tự; Hình 5, a thể hiện hình vẽ một bó có đánh dấu; Hình 5, b hiển thị bản vẽ mặt cắt “thuận tiện” sử dụng mặt phẳng ACS, trên đó tất cả các góc cần thiết (chúng được đặt bởi các vòm) đều có thể nhìn thấy ở kích thước đầy đủ. Một số góc này, như có thể dễ dàng nhìn thấy từ hình, bằng nhau. Điều này hàm ý sự giống nhau của các tam giác PAC và AHS và phương trình

$$\frac{R}{a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \left( \frac{a \mathrm{tg} \alpha}{2} \right)$$

hoặc $R = 2a \mathrm{ctg} \alpha$.

Bây giờ hãy kiểm tra các điều kiện - đây là một ví dụ rất hữu ích về kiểm soát.

1. Kim tự tháp là chính xác. Điều kiện được sử dụng để xác định độ dài của các đoạn trong paramid.

2. Quả bóng đầu tiên được ghi. Được sử dụng để soạn phương trình liên kết thứ nhất và trong Hình 3, b ($\widehat{AHO} = 90^\circ$).

3. Quả bóng thứ hai chạm vào quả bóng thứ nhất. Dùng để xác định khoảng cách giữa các quả bóng (Hình 3, b).

4. Quả bóng thứ hai chạm vào mặt phẳng của đế. Được sử dụng trong Hình 3, b ($\widehat{HAP} = 90^\circ$) và trong việc soạn phương trình của liên kết thứ 3 ($PAB = \varphi$).

5. Độ vuông góc của cạnh SA và đường chéo của tiết diện CK. Được sử dụng trong việc soạn phương trình của copula thứ 4.

Vì vậy, tất cả các điều kiện đã được sử dụng. Thu được 4 phương trình với 5 ẩn số. Vì bạn chỉ cần tìm

32

một đại lượng không có thứ nguyên thì các đại lượng có thứ nguyên phải giảm đi. Điều này có nghĩa là không nên đưa vào việc thiếu một phương trình.

Tất cả! Hình học kết thúc - đại số bắt đầu (trong đó người nộp đơn thường cảm thấy tự tin hơn). Hãy thu thập các phương trình kết quả trong hệ thống:

$$r = \frac{a}{2} \text{tg} \frac{a}{2}$$
$$(r + R)^2 - (R - r)^2 = \left( \frac{a \sqrt{2}}{2} \right)^2 \text{или } 8Rr = a^2$$
$$R = a \text{tg} \varphi$$
$$R = 2a \text{ctg} \alpha.$$

Các đại lượng thứ nguyên $R, r$ và $a$ dễ dàng bị loại khỏi nó, sau đó hệ hai phương trình chưa biết $\varphi$ và $\alpha$ vẫn còn:

$$\begin{cases} 4 \text{tg} \varphi \text{tg} \frac{a}{2} = 1 \\ \text{tg} \varphi = 2 \text{ctg} \alpha. \end{cases}$$

Chúng tôi sẽ để lại Lời giải của hệ thống này cho độc giả. (Đáp số: $\text{tg} \varphi = \frac{\sqrt{3}}{6}$.)

Hãy tóm tắt. Giải pháp không gian bài toán với nhiều công thức và mối liên hệ giữa chúng có thể được chia thành các giai đoạn sau:

1. Xây dựng một bản vẽ - một cái nhìn tổng thể về cấu hình. Không được có đường phụ trong bản vẽ: chúng chỉ che khuất bức tranh tổng thể.

2. Nhập các biến xác định kích thước của các phần tử bản vẽ. Đừng lo lắng nếu có nhiều biến số này: phải có đủ chúng để xây dựng từng thành phần cấu hình riêng biệt.

3. Chọn các bó hình, sử dụng bản vẽ chung và các điều kiện bài toán.

4. Nhập từng liên kết vào một bản vẽ riêng và đánh dấu các bản vẽ.

5. Chọn một góc (hoặc một phần như vậy) cho mỗi kết nối sao cho tất cả các đoạn và góc được cho là được kết nối với các phương trình đều hiển thị ở kích thước đầy đủ. Đánh dấu bản vẽ kết quả.

6. Viết các phương trình thu được từ mỗi kết nối của các hình. Đừng vội giải quyết chúng theo từng giá trị.

7. Kiểm tra việc sử dụng tất cả các điều kiện, số lượng phương trình và ẩn số cũng như khả năng tìm giá trị theo yêu cầu của điều kiện.

8. Giảm các phương trình trong hệ thống và giải nó, quên đi hình học và sử dụng các kỹ thuật đại số và lượng giác.

9. Kiểm tra lời giải. Kỹ thuật kiểm tra hình học lời giải xứng đáng được thảo luận riêng*). Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một trong các kỹ thuật của nó - hãy ước tính xem các bản vẽ và đáp số trong bài toán của chúng ta phù hợp với nhau đến mức nào.

Một phép tính đơn giản cho thấy với giá trị $\varphi$ ta tìm được, góc $\alpha$ gần bằng một đường thẳng (ctg $\alpha = \sqrt{3}/12$), tức là tham số khá dài và bán kính của quả bóng thứ hai nhỏ hơn (!) so với bán kính của quả bóng thứ nhất (nội tiếp): $R = 2r/3$. Trên thực tế, lời giải của chúng tôi dựa trên các bản vẽ không chính xác, hay đúng hơn là không hoàn toàn chính xác! Nhưng không phải vô cớ mà người ta nói rằng “hình học là nghệ thuật rút ra kết luận đúng từ những hình vẽ sai”. Dễ dàng nhận thấy rằng các phương trình mà chúng ta rút ra từ các liên kết thứ 1, thứ 3 và thứ 4 không hề phụ thuộc vào mức độ “mở rộng” của kỹ thuật. Nhưng cần phải sửa đổi việc xem xét liên kết thứ 2. Phiên bản đã sửa của Hình 3.6 được thể hiện trong Hình 6. Tuy nhiên, việc hiệu chỉnh này không ảnh hưởng đến dạng cuối cùng của phương trình. Chúng tôi nhấn mạnh rằng trong mục lời giải tất cả các phương án có thể có để sắp xếp các số liệu phải được tính đến.

Vai trò của bản vẽ chung trong sơ đồ thuộc tính lời giải trên chủ yếu là giúp làm nổi bật các kết nối. Đôi khi, giống như bài toán tiếp theo, việc này có thể được thực hiện trực tiếp theo điều kiện và sau đó không cần thiết chút nào.

Bài toán 2. Điểm $A_1, B_1, C_1, D_1, A_2, B_2, C_2, D_2$ nằm trên mặt cầu. Phân đoạn

*) Ví dụ, xem V. Matizen “Hãy tìm ra lỗi” («Kvant», 1980, số 10).

33

Ki $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ và $D_1D_2$ cắt nhau tại điểm $O$, chia đôi đoạn thẳng $D_1D_2$. Được biết, $D_1D_2=2l$, tỷ lệ mặt phẳng của các tam giác $OB_2C_1$ và $OB_1C_2$ bằng $k$, tỷ lệ thể tích của các paramidas $OA_1B_1C_1$ và $OA_2B_2C_2$ bằng $m$, và tỷ lệ thể tích của các paramidas $OA_2B_1D_1$ và $OA_1B_2D_2$ bằng $n$. Tìm độ dài của các đoạn $OA_1$, $OB_1$ và $OC_1$.

Người đọc có thể tự mình nhận thấy rằng bản vẽ chung cho bài toán này có thể chỉ gây nhầm lẫn hoặc không thể nhìn thấy gì từ nó *). Vì vậy, không cần tham khảo, chúng ta sẽ tiến hành ngay việc xác định các liên từ và lập phương trình. Đặt $a_1=|OA_1|$, $a_2=|OA_2|$, $b_1=|OB_1|$. Chúng ta hãy xác định tương tự các đại lượng $b_2$, $c_1$,

$$c_2, d_1 \text{ и } d_2.$$ (Chúng tôi hy vọng rằng 8 ẩn số không khiến người đọc bối rối và sẵn sàng nhập thêm ít nhất một trăm ẩn số nữa, nếu cần.) Hai phương trình sẽ hiển thị ngay lập tức:

$$d_1=d_2=l$$

(“kết nối” ở đây là đoạn $D_1D_2$ và điểm giữa của nó $O$). Liên kết thứ hai là hình tam giác $OB_2C_1$ và $OB_1C_2$ (Hình 7). Biểu thị diện tích của chúng theo góc $\varphi = B_2OC_1=B_1OC_2$ và các cạnh bao quanh nó, chúng ta thu được

$$\frac{S_{OB_2C_1}}{S_{OB_1C_2}} = \frac{0,5 \cdot b_2c_1 \sin \varphi}{0,5 \cdot b_1c_2 \sin \varphi} = \frac{b_2c_1}{b_1c_2},$$

theo,

$$\frac{b_2c_1}{b_1c_2} = k.$$ (2)

Tỷ lệ thể tích của các paramid được viết tương tự (bó bao gồm tứ diện $OA_1B_1C_1$ và $OA_2B_2C_2$). Ví dụ: chúng ta hãy tìm thể tích của paramid $OA_1B_1C_1$ (Hình 8). Đặt $C_1H$ là chiều cao của nó được hạ xuống đáy $OA_1B_1$, sau đó

$$V_{OA_1B_1C_1} = \frac{1}{3} \cdot S_{OA_1B_1} \cdot |C_1H| =$$

$$= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a_1b_1 \sin \alpha \cdot c_1 \sin \beta =$$

$$= \frac{1}{6} a_1b_1c_1 \sin \alpha \sin \beta,$$

trong đó $\alpha = A_1OB_1$ và $\beta$ là góc giữa cạnh $OC_1$ và đáy. Hoàn toàn giống nhau

$$V_{OA_2B_2C_2} = \frac{1}{6} a_2b_2c_2 \sin \alpha \sin \beta,$$

có thể tạo dáng được $V_{OA_1B_1C_1}: V_{OA_2B_2C_2} = a_1b_1c_1 : a_2b_2c_2$. Từ đây ta thu được các phương trình sau:

$$\frac{a_1b_1c_1}{a_2b_2c_2} = m$$ (3)

và, theo cách tương tự,

$$\frac{a_2b_1d_1}{a_1b_2d_2} = n.$$ (4)

Chỉ còn một điều kiện không được sử dụng: tất cả các điểm (ngoại trừ $O$) đều nằm trên hình cầu. Nó phải được viết dưới dạng tương ứng giữa độ dài của các đoạn $OA_1$, $OA_2$, $OB_1$, …. Khoảng cách là một bó gồm một hình cầu và các đoạn $A_1A_2$ và $B_1B_2$. Giao nó với một mặt phẳng chứa các đoạn này, chúng ta thu được Hình 9.