Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

56

Xưởng của người nộp đơn

Dưới đây là tài liệu được xuất bản từ kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1982.

Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

Toán học
Bài thi viết

5 giờ đã được đưa ra để hoàn thành công việc.

Tùy chọn 1
(khoa cơ học và toán học, vật lý và kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$14x - 2x^2 = |x - 7|.$$

2. Giải phương trình
   $$4 + 2\cos^2 x = 7\sin 2x.$$

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình thuộc đoạn $$\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right].$$

3. Cho hình thoi ABCD. Một đường tròn bán kính R ngoại tiếp tam giác ABD và đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác CBD. Xác định diện tích của hình thoi.

4. Tìm tất cả các giá trị của a cho mỗi giá trị trong đó có đúng một nghiệm của phương trình $x^2 + 2(a - 1)x + 3a + 1 = 0$ thỏa mãn bất đẳng thức $x < -1$.

5. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh 1. Điểm M là trung điểm cạnh CD, N là trung điểm cạnh BC, điểm P thuộc cạnh AB và $|AP| = 3|BP|$. Hình cầu tiếp xúc với các mặt phẳng ABC và ACD, các điểm tiếp xúc của nó với các mặt phẳng lần lượt nằm trên các đường thẳng NP và AM. Tìm bán kính của hình cầu.

Tùy chọn 2
(Khoa Địa chất và Địa vật lý và Khoa Khoa học Tự nhiên)

1. Tìm miền xác định và tập giá trị của hàm $f(x) = \sqrt{6x - x^2} - 5$.

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2(4x^4 + 3x^2 + 6) + \log_2\left(\frac{x^2 + 1}{2}\right) \geq \log_2(3x^2 + 6).$$

3. Góc giữa các vectơ $\vec{a} = \left( \alpha; 1; \sqrt{\frac{6}{5}} \right)$ và $\vec{b} = \left( 3; 1; 0 \right)$ bằng $$\frac{\pi}{4}.$$ Tìm α (cơ sở là hình chữ nhật).

4. Giải phương trình
   $$\sin \left( 4x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin 6x = \sin \left( 10x - \frac{\pi}{4} \right).$$

5. Tại đáy của tam giác paramid SABC là tam giác đều ABC tính từ cạnh 1, các mặt phẳng SAB và ABC vuông góc, $|SA| = |SB|$, chiều cao của paramid là 1. Chọn điểm M trên cạnh SA sao cho $|MA| = 2|SM|$, điểm N là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng α đi qua các điểm B, M và N. Tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng α.

Vật lý
Bài thi viết
Khoa Vật lý

Mỗi biến thể bao gồm một gót chân bài toán gồm ba loại. Năm giờ đã được dành cho lời giải bài toán.

Ba bài toán đầu tiên được tính toán, có độ khó khác nhau: từ tiêu chuẩn đến tương đối phức tạp, đòi hỏi sự khéo léo, kiến ​​thức sâu sắc và khả năng hiểu một tình huống vật lý bất thường hoặc thông thường.

bài toán thứ tư là điểm bài toán. Đối với lời giải của nó, cần phải hiểu hiện tượng vật lý đang được xem xét, hình thành một mô hình vật lý đơn giản (vì chỉ cần ước tính) của hiện tượng này, chọn các giá trị số hợp lý của các đại lượng vật lý và cuối cùng thu được kết quả bằng số ít nhiều tương ứng với thực tế. Trong văn bản bài toán có nói rằng người nộp đơn, hiểu rõ về hiện tượng này, có thể tự mình chọn các đại lượng vật lý và các giá trị số cần thiết của chúng cho lời giải bài toán.

bài toán thứ năm là phần minh họa bài toán, trong đó hiện tượng vật lý được thể hiện trong lớp học phải được giải thích. Ở đây điều quan trọng là phải hiểu các hiện tượng hiện có và làm nổi bật hiện tượng chính trong số các yếu tố khác nhau.

Công việc đánh giá phụ thuộc vào số điểm ghi được (với tổng từ bốn đến mười hai điểm thì điểm “ba”, từ mười ba đến hai mươi mốt điểm “bốn”). Bên dưới, sau nội dung của mỗi bài toán, điểm cho lời giải đầy đủ của nó và tỷ lệ phần trăm những người giải được nó sẽ được chỉ định (trong trường hợp này, bài toán được coi là đã giải được nếu có ít nhất một nửa tổng số điểm được trao cho nó).

Tùy chọn 1

1. Mạch điện gồm một tụ điện có điện dung C, điốt D1 và D2 ​​và các cuộn cảm L1 và L2, được lắp ráp như trong Hình 1. Tìm chu kỳ hướng của bánh xe đi qua tụ điện trong mạch này. (4 6.; 64%)

2. Một hình trụ dẫn nhiệt khối lượng m, kín hai đầu, được ngăn cách bởi một pít-tông chuyển động có khối lượng M. Trên cả hai mặt của pít-tông có một mol khí lý tưởng, nội năng của nó là U = cT. Với một cú va chạm ngắn, hình trụ được truyền một tốc độ v hướng dọc theo trục của nó. Nhiệt độ của khí sẽ thay đổi bao nhiêu sau khi piston bánh xe giảm tốc? Không có ma sát giữa piston và xi lanh. (7 6.; 40%)