Định lý Borsuk-Ulam, hay Điều gì đó về thời tiết, một con ngựa được huấn luyện và trường hai chiều

20

Thời tiết
được coi là topo

Định lý
Borsuka -
Ulama

hoặc
Đôi điều về thời tiết
về một con ngựa được huấn luyện
và trường hai chiều

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraine
CẦN M. G.,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. NUDELMAN

Thời tiết thất thường và thất thường. Các thông số mô tả nó (ví dụ: áp suất, nhiệt độ, độ ẩm) liên tục thay đổi theo thời gian và khi di chuyển từ vùng này sang vùng khác. Trên bản đồ thời tiết, isobars có thể có hình dạng kỳ lạ nhất (và than ôi, không phải lúc nào cũng có thể dự đoán được). Chưa hết, cho dù bản đồ thời tiết trên toàn cầu có kỳ lạ đến đâu thì vẫn có

Định lý thời tiết. Tại mọi thời điểm trên địa cầu đều có một cặp điểm đối xứng đường kính (“đối cực”), tại đó cả nhiệt độ và áp suất đều như nhau.

Tuyên bố này, dưới dạng “khí tượng học”, thực sự không phản ánh các đặc tính của bầu khí quyển trái đất, mà phản ánh các đặc tính của các hàm được xác định và liên tục trên hình cầu. Nó thuộc về cấu trúc liên kết - một nhánh của toán học, đặc biệt, liên quan đến việc nghiên cứu các tính chất của hàm hoặc tập hợp hàm liên tục trên các tập hợp nhất định.

Một số tính chất của các hàm như vậy được xác định bởi cấu trúc của tập hợp mà chúng liên tục trên đó. Ví dụ, đối với các hàm số được học ở trường, giá trị hình học là hợp lệ.

Định lý về hàm số không. Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a; b] và ở hai đầu của nó mang giá trị trái dấu thì giữa a và b có một điểm x₀ tại đó f(x₀) = 0.

Chúng tôi không cung cấp bằng chứng cho định lý rõ ràng này, vì hóa ra nó không phải là cơ bản.

Để định lý 0 có giá trị, cả tính liên tục của hàm (tại sao?) và tính chất của đoạn, được gọi là tính liên thông, đều cần thiết

21

(không có “khoảng trống” hoặc “khoảng trống” nào trong phân khúc). Do đó, hàm $f(x) = \sqrt{(x^2 - 1)(4 - x^2)} + 2x$ liên tục trên miền định nghĩa $[-2, -1] \cup [1, 2]$, âm trên $[-2, -1]$ và dương trên $[1, 2]$, và nó không biến mất tại bất kỳ điểm nào.

Bài viết này trình bày một số tính chất của các cặp hàm số xác định và liên tục trên mặt cầu. Nhưng chúng ta sẽ dạy từ một trường hợp đơn giản hơn - từ một tính chất bất ngờ của các hàm liên tục trên đường tròn.

Trường hợp vòng tròn: không có ngựa đua

Để ngựa vòng tròn, theo lệnh của người huấn luyện, bắt đầu chạy quanh vòng tròn cho thuê từ điểm $A$ và khi kết thúc lượt, rời khỏi vòng đua tại điểm đó. Hóa ra, cho dù tốc độ của nó thay đổi như thế nào trong giai đoạn thử nghiệm beta, vẫn có thể chỉ ra hai điểm cho thuê đối xứng nhau mà tại đó tốc độ của con ngựa có cùng giá trị.

Tất nhiên, vấn đề ở đây không nằm ở cách bố trí của con ngựa (mà chúng ta sẽ tưởng tượng thêm như một điểm), mà nằm ở tính chất của hàm số liên tục, mà bây giờ chúng ta sẽ hiểu.

Chúng ta sẽ xác định vị trí của con ngựa $J$ trên một vòng tròn có diện tích góc $\Theta$ ($0 \leq \Theta \leq 2\pi$), trong đó bán kính $OJ$ tạo thành với bán kính $OA$ được vẽ tại điểm ban đầu (Hình 1); Chúng tôi biểu thị giá trị tốc độ tương ứng bằng $v(\Theta)$. Giả sử hàm $v$ liên tục trên $[0; 2\pi]$ (chuyển động và dừng đều trơn tru), theo điều kiện $v(0) = 0$, $v(2\pi) = 0$. Điểm $J'$, đối diện theo đường kính với điểm $J$, tại $0 \leq \Theta \leq \pi$ tương ứng với góc $\Theta + \pi$. Cần phải chứng minh sự tồn tại của

Hình 1.

cho ai $\Theta_0 \in [0; \pi]$, cho ai $v(\Theta_0) = v(\Theta)$.

Xét hàm $u(\Theta) = v(\Theta + \pi) - v(\Theta)$. Chúng ta cần tìm $\Theta_0 \in [0, \pi]$ mà $u(\Theta_0) = 0$. Hàm $u$ liên tục trên đoạn $[0; \pi]$ (là hiệu của các hàm liên tục) và ở cuối đoạn này, các giá trị $u(0) = v(\pi) - v(0) = v(\pi)$ và $u(\pi) = v(2\pi) - v(\pi) = -v(\pi)$ của nó có dấu ngược nhau (nếu $v(\pi) \neq 0$ hoặc bằng 0 (nếu $v(\pi) = 0$). Trong trường hợp sau, $\Theta_0 = 0$; nếu $v(\pi) \neq 0$, thì sự tồn tại của $\Theta_0$ suy ra từ định lý 0.

Dễ hiểu là để chứng minh sự không tồn tại tính không âm của hàm số $v(\Theta)$ (khi chạy quanh đấu trường, ngựa có thể di chuyển theo hướng ngược lại tùy lúc) và các điều kiện $v(0) = 0$, $v(2\pi) = 0$ thì chỉ có đẳng thức $v(0) = v(2\pi)$ là cần thiết (ngựa có thể vượt qua điểm $A$ từ gia tốc; điều quan trọng là nó phải quay về điểm này ngay lập tức tốc độ).

Rõ ràng là $v$ có thể được coi là một hàm không phải của số $\Theta$ mà của điểm $J$, do đó định lý đã được chứng minh có thể được phát biểu như sau:

Định lý về con ngựa. Nếu một hàm số nào đó được xác định trên một đường tròn và liên tục trên đó thì có hai điểm đối xứng đường kính trên đường tròn mà tại đó hàm số này có cùng giá trị.

Mathematical formulas for theorems on paths

Hãy dịch định lý thời tiết sang ngôn ngữ toán học. Tại một thời điểm nhất định, mỗi điểm $P$ trên bề mặt trái đất $S$ được gán hai số - áp suất $f(P)$ và nhiệt độ $g(P)$ tại thời điểm này. Do đó, hai hàm được xác định trên hình cầu $S$, được coi là liên tục trên $S$ - với những thay đổi nhỏ về vị trí của điểm $P$ thì giá trị của các hàm này thay đổi rất ít.

Định nghĩa chính xác về tính liên tục của hàm số trên một tập chính xác tùy ý $X$ (căn chỉnh trên một đường thẳng, trong mặt phẳng hoặc trong không gian) có thể được phát biểu như sau:

22

một hàm $\varphi$ được gọi là liên tục tại một điểm $P_0 \in X$ nếu với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào, người ta có thể chỉ định một $\delta > 0$ sao cho với mọi điểm $P \in X$ bị loại khỏi $P_0$ một khoảng nhỏ hơn $\delta$, thì bất đẳng thức $|\varphi(P) - \varphi(P_0)| < \varepsilon$ giữ nguyên; một hàm số liên tục trên tập hợp $X$ nếu nó liên tục tại mọi điểm của tập hợp này.

Chúng ta hãy đồng ý rằng đối cực của điểm $P \in S$ được ký hiệu là $P'$ ($P$ và $P'$ là hai đầu có cùng đường kính của hình cầu).

Trừu tượng từ ý nghĩa “khí tượng” của các hàm $f$ và $g$, chúng ta xây dựng định lý ở dạng tổng quát:

Định lý Borsuk-Ulam a*). Nếu hàm $f$ và $g$ được xác định và liên tục trên mặt cầu $S$, thì trên mặt cầu này có các điểm đối xứng đường kính $P_0$ và $P'_0$, tại đó $f(P'_0) = f(P_0)$ và $g(P'_0) = g(P_0)$.

Hãy để chúng tôi giới thiệu hai hàm $F(P) = f(P') - f(P)$ và $G(P) = g(P') - g(P)$. Cả hai đều liên tục trên $S$ và có tính chất phản đối xứng; $F(P') = -F(P)$, $G(P') = -G(P)$, chẳng hạn như $F(P') = f((P')') - f(P') = f(P) - f(P') = -F(P)$. Đối với các điểm $P_0 \in S$, trong đó có $f(P'_0) = f(P_0)$, $g(P'_0) = g(P_0)$ và chỉ dành cho các điểm đó $F(P_0) = 0$ và $G(P_0) = 0$.

Do đó, định lý Borsuk-Ulam suy ra từ định lý sau:

Định lý số 0 chung. Nếu hàm $F$ và $G$ liên tục trên mặt cầu $S$ và có tính chất phản đối xứng, thì trên mặt cầu $S$ có một điểm $P_0$ mà tại đó cả hai hàm đều bằng 0: $F(P_0) = G(P_0) = 0$.

Định lý về số 0 của trường vectơ

Định lý 0 đưa ra các điều kiện đủ để một hàm số liên tục trên một khoảng có số “0” trên khoảng đó. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một định lý cho dấu hiệu về sự tồn tại của một số 0 chung cho hai hàm số liên tục trên đường tròn.

Giả sử mỗi điểm $Q$ của một tập phẳng $K$ nào đó (trong trường hợp của chúng ta đây thường là một đường tròn) được liên kết với một vectơ không ctor $\vec{a}(Q)$ nằm trong cùng một mặt phẳng. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng tập $K$ được cho là trường vectơ hai chiều (Hình 2). Một vectơ trong mặt phẳng được chỉ định bằng hai tọa độ, do đó, việc chỉ định trường vectơ hai chiều tương đương với việc chỉ định hai hàm: $\vec{a}(Q) = (x(Q); y(Q))$.

Trường vectơ được gọi là liên tục tại điểm $Q_0$ nếu cả hai hàm số $x(Q)$, $y(Q)$ đều liên tục tại điểm này; một trường liên tục trên một tập hợp cho trước nếu nó liên tục tại mọi điểm. Trường vectơ được gọi là suy biến trong tập $K$ nếu với một điểm nào đó $Q_0 \in K$ vectơ $\vec{a}(Q_0)$ bằng 0. Chúng ta cần có đủ điều kiện để suy biến liên tục trường vectơ trên đĩa.

Đầu tiên chúng tôi đưa ra cách giải thích vectơ của định lý null. Trên một đường thẳng, vectơ có một tọa độ. Do đó, việc xác định hàm trên một đoạn có thể được sử dụng như xác định trường vectơ một chiều (gồm các vectơ nằm trên cùng một đường thẳng) và định lý null có thể được phát biểu như sau:

Định lý về điểm 0 của trường một chiều. Nếu trường vectơ một chiều liên tục được cho trên một đoạn và ở hai đầu của đoạn đó các vectơ tương ứng có hướng ngược nhau thì trường này suy biến (Hình 3, a).

Đối với trường hai chiều, định lý này được khái quát hóa như sau:

Định lý về điểm 0 của trường hai chiều. Nếu một trường vectơ hai chiều liên tục được cho trên một đường tròn và tại bất kỳ điểm đối xứng đường kính nào của đường tròn của nó thì các vectơ tương ứng có hướng ngược nhau, thì trường này suy biến (Hình 3, b).

Giống như định lý null một chiều, định lý này có thể được chứng minh bằng những phương pháp vượt ra ngoài phạm vi của môn học ở trường. Nhưng trong khi trong định lý về số 0 của trường một chiều, điều này đã được bù một cách trực quan, thì điều này không thể nói về định lý hai chiều. Vì vậy, chúng tôi sẽ trình bày một “lý do hợp lý” mà chúng tôi hy vọng sẽ thuyết phục được người đọc về tính đúng đắn của định lý này.

23

Đặt $O$ là tâm của đường tròn và $K, r$ là bán kính của nó. Đường tròn biên của đường tròn $K$ được định hình bởi $C$ và bởi $C_u$ chúng ta được định hình bởi một đường tròn đồng tâm có bán kính $ar(C = C_1)$. Giả sử $\vec{a}$ là trường vectơ liên tục trên $K$.
Nếu $\vec{a}(Q) \neq 0$ dành cho tất cả $Q \in C_u$ thì khi $Q$ di chuyển dọc theo $C_u$ vectơ $\vec{a}(Q)$ sẽ quay bằng cách nào đó. Chúng ta biểu thị bằng $v(C_u)$ số vòng quay ngược chiều kim đồng hồ được thực hiện bởi vectơ $\vec{a}(Q)$ áp dụng cho một điểm cố định $I$ khi điểm $Q$ chạy qua đường tròn $C_u$ một lần ngược chiều kim đồng hồ $^*$). Số nguyên $v(C_u)$ có thể dương, 0 hoặc âm.
Chúng ta hãy làm rõ rằng nếu trong quá trình di chuyển $Q$ dọc theo một cung nhất định của đường tròn $C_u$, vectơ $\vec{a}(Q)$ thực hiện một số vòng quay ngược chiều kim đồng hồ và cùng số vòng quay theo chiều kim đồng hồ, thì khi đếm $v(C_u)$ các vòng quay này “triệt tiêu lẫn nhau”.
Chúng tôi khuyên người đọc nên tìm $v(C)$ cho các trường được hiển thị trong Hình 4 (trường vận tốc của vòng tròn quay và trường hình thành do truyền song song).

Đặt $\vec{a}(Q), Q \in K$ là trường vectơ thỏa mãn các điều kiện của định lý. Ngược lại, giả sử rằng $\vec{a}(Q) \neq 0$ với mọi $Q \in K$. Sau đó, cụ thể là, $\vec{a}(Q) \neq 0$. Do tính liên tục của trường, vì 0 nên tất cả các vectơ $\vec{a}(Q)$ khác nhau rất ít về hướng so với $\vec{a}(0)$. Điều này có nghĩa là đối với $\varepsilon_0 > 0$ nhỏ, chúng ta có $v(C_{\varepsilon_0}) = 0$ (xem Hình 5 - vì các vectơ trên $C_{\varepsilon_0}$ được định hướng “gần như cùng hướng” với $\vec{a}(0)$, nên vectơ $\vec{a}(Q)$ không tăng hoàn toàn $\varepsilon$ đến giá trị cực trị $\varepsilon = 1$. Vì $\vec{a}(Q) \neq 0$ có ở mọi nơi nên số $v(C_{\varepsilon})$ được xác định cho tất cả các giá trị của $\varepsilon, 0 < \varepsilon \leq 1$, nghĩa là, $v(C_{\varepsilon})$ là hàm của $\varepsilon$ được xác định ở mọi nơi trên $(0, 1]$. Hàm này liên tục (vì trường của chúng ta là liên tục) và chỉ nhận giá trị đích. Nhưng hàm số nguyên chỉ thay đổi.

*) Độc giả đã đọc các bài viết của S.V. Matveev trong «Kvant», 1983, số 4, được khuyên nên so sánh con số này với “bất biến $V$”.

24

để nhảy (với cường độ $\geqslant 1$), nó không liên tục hoặc không đổi. Điều này có nghĩa là trong trường hợp của chúng ta $v(C_\varepsilon) = \text{const}$, do đó $v(C) = v(C_{\varepsilon_0}) = 0$.

Bây giờ chúng ta hãy lấy một điểm $A$ và một điểm đối xứng với nó $A'$ trên đường tròn $C$ (Hình 6). Vì hướng của vectơ $\vec{a}(A)$ và $\vec{a}(A')$ ngược nhau nên khi điểm $Q$ di chuyển dọc theo hình bán nguyệt $AmA'$ từ điểm $A$ đến điểm $A'$, vectơ $\vec{a}(Q)$ thực hiện một số nửa vòng lẻ. Với chuyển động tiếp theo của điểm $Q$ dọc theo hình bán nguyệt $A'nA$ từ $A'$ đến $A$, vectơ $\vec{a}(Q)$ sẽ thực hiện cùng số lần nửa vòng (và hơn nữa là cùng hướng). Do đó, $v(C)$ là một số lẻ, mâu thuẫn với đẳng thức đã được chứng minh $v(C) = 0$ và hoàn thành lý luận của chúng ta.

Chứng minh định lý số 0 chung

Vì vậy, cho hình cầu $S$ có các hàm liên tục $F$ và $G$, có tính chất phản đối xứng $F(A') = -F(A)$, $G(A') = -G(A)$.

Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng đi qua tâm $O$ của hình cầu $S$. Hình tròn thu được trong phần sẽ được ký hiệu là $K$ và chu vi của nó là $C$. Chúng ta hãy giới thiệu trong mặt phẳng cát tuyến một số hệ tọa độ hình chữ nhật có gốc $0$ và mỗi điểm $Q \in K$ gán vectơ $\vec{a}(Q)$ có tọa độ $F(P)$ và $G(P)$, trong đó $P$ là điểm của bán cầu trên được chiếu tới điểm $Q$ (Hình 7). Chúng tôi để người đọc xác minh rằng trường vectơ kết quả là liên tục trên $K$. Do tính chất phản đối xứng trên phạm vi hàm số $F$ và $G$, với mọi $Q \in C$ ta có

$$\vec{a}(Q) = -\vec{a}(Q')$$

Theo định lý trường 0, tồn tại một điểm $Q_0 \in K$ tại đó $\vec{a}(Q_0) = \vec{0}$. Điều này có nghĩa là $F(P_0) = 0$, $G(P_0) = 0$, trong đó $P_0$ là một điểm trên hình cầu chiếu tới điểm $Q_0$. Định lý đã được chứng minh.

Một hậu quả địa lý

Một hệ quả tất yếu rút ra từ định lý Borsuk-Ulam, định lý khiến các nhà địa lý đau đầu. Vị trí của một điểm trên địa cầu thường được biểu thị bằng tọa độ địa lý - vĩ độ $\theta$ và kinh độ $\varphi$. Chúng có thể được coi là hàm của các điểm trên quả cầu trái đất. Trong hệ tọa độ này, các cực chiếm một vị trí đặc biệt: vĩ độ của mỗi cực là $90^\circ$ (bắc hoặc nam) và bất kỳ vĩ độ nào cũng có thể được gán cho nó. Do đó, nếu bạn di chuyển đến cực bắc dọc theo một kinh tuyến và khi bạn đến đó, tiếp tục di chuyển dọc theo bất kỳ kinh tuyến nào khác, thì với chuyển động liên tục này, vĩ độ sẽ thay đổi liên tục và vĩ độ sẽ có một bước nhảy. Nếu chúng ta đồng ý gán dấu “cộng” cho kinh độ Đông và dấu “trừ” cho kinh độ Tây, thì kinh độ sẽ có bước nhảy khi di chuyển từ Tây bán cầu sang Đông bán cầu dọc theo kinh tuyến, tức là đối cực của kinh tuyến Hryvnych. Câu hỏi đặt ra: liệu có thể đưa tọa độ trên toàn bộ bề mặt của hình cầu sao cho chúng là hàm số liên tục của điểm tương ứng trên hình cầu hay không? Trong trường hợp này, đương nhiên không được có các điểm khác nhau có cùng tham số tọa độ.