Trường thể chất buổi tối tại Đại học quốc gia Moscow

62

Cuộc thi dự án toán học

Vào tháng 11 năm 1982, tại Omsk, trong trận chung kết cuộc thi toán học của các trường cơ bản của Đại học Omsk, một cuộc thi các dự án toán học đã được tổ chức. Bản chất của cuộc thi là nhu cầu áp dụng toán học, lẽ thường và trực giác vào lời giải các vấn đề thực tế. Trên thực tế, cần phải xây dựng một mô hình toán học về tình huống được mô tả và nghiên cứu nó. Đề tài dự án trước đây đã được đề xuất tối ưu hóa “Tiến bộ sinh viên và khoa học công nghệ”; Hóa ra học sinh cũng có thể tiến khá xa trong việc phát triển những vấn đề này.

Cuộc thi trực tiếp có thể được thực hiện theo hình thức sau: đội báo cáo dự án đã chuẩn bị ở nhà trước bến tàu trong 3-5 phút, sau đó viết ra giấy, trả lời câu hỏi của các đội thi và ban giám khảo. Cô ấy có thể nhận được tới mười điểm để bảo vệ dự án. Sau đó, các đối thủ lên tiếng. Những lời phê bình thành công và công bằng mang lại cho nhóm tối đa ba điểm và cải tiến dự án mang tính xây dựng - lên đến năm. Sau đó đội tiếp theo biểu diễn, v.v. Nên gửi không quá 3-4 đề tài dự án cho cuộc thi.

Chủ đề dự án cho cuộc thi ở Omsk

1. Mười nhà phát minh đã đưa ra các biến thể lời giải của riêng họ cho cùng một vấn đề kỹ thuật. Theo điều kiện của cuộc thi, năm chuyên gia đã xem xét các giải pháp của họ, mỗi người trong số họ nêu tên của ba nhà phát minh, theo ý kiến ​​​​của ông, chiếm vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

Cần phải đưa ra cách xử lý dữ liệu này và trích xuất ba đề xuất đầu tiên của cuộc thi, sau đó mô tả những ưu điểm và nhược điểm của dự án.

2. Cửa hàng Thousand Little Things bán số căn hộ dưới dạng số lẻ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Rõ ràng nhu cầu sử dụng từng số này là không giống nhau.

Trường thể chất buổi tối tại Đại học quốc gia Moscow

Trường Vật lý buổi tối (VPS) thuộc Khoa Vật lý, Đại học quốc gia Mátxcơva thông báo tuyển sinh lớp 8, 9 và 10 cho năm học tới.

Mục tiêu chính của VFS là giúp học sinh nghiên cứu vật lý sâu hơn trong phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Các lớp học tại trường được thực hiện dưới hình thức các bài giảng hai tuần một lần và các buổi hội thảo hàng ngày. Ngoài ra, mọi người sẽ được tham quan các phòng thí nghiệm khoa học của Khoa Vật lý và làm quen với những hướng đi chính của vật lý hiện đại qua bài giảng của các nhà khoa học hàng đầu. Các lớp tự chọn môn toán được tổ chức cho học sinh lớp 10. Những người hoàn thành khóa đào tạo sẽ nhận được chứng chỉ hoàn thành VFS.

Việc xét tuyển vào VFS dựa trên kết quả đăng ký, sẽ được tổ chức bắt đầu từ ngày 26 tháng 9. Thanh niên đang đi làm được đưa vào đội. Để đăng ký vào trường, bạn phải đích thân điền đơn đăng ký vào ủy ban Komsomol của một nhà vật lý tại Đại học quốc gia Moscow (kèm theo hai bức ảnh có kích thước 3x4 cm). Đơn đăng ký có thể được nộp từ ngày 5 tháng 9 đến ngày 24 tháng 9, hàng ngày trừ Chủ nhật, từ 16 đến 18 giờ.

Địa chỉ VFS: 117234, Moscow, V-34, Leninskie Gory, Đại học quốc gia Moscow, Khoa Vật lý, VFS. Điện thoại: 139-26-56.

63

Xung quanh đường phân giác

(20) Gọi $H$ là giao điểm của các độ cao thì $MN$ đi qua giữa $BH$ - điểm $K$, $|BK| = |B_1O|$ ($B_1$ - giữa $AC$). Tiếp theo, chứng minh rằng đường thẳng $MN$ song song với $OB$ (nếu $\hat{C} > \hat{A}$ thì $\hat{MKH} = 2\hat{MBH} = \hat{C} - \hat{A} = \hat{OBH}$).

(21) Chứng minh rằng diện tích của một tam giác có đỉnh tại các điểm tiếp tuyến của đường tròn ngoài có tâm $I_a$ có thể tính được bằng công thức

$$Q_a = S_{ABC} \cdot \frac{r_a}{2R} = \frac{S^2_{ABC}}{2R} \cdot \frac{1}{p-a}.$$

Các công thức tương tự có thể thu được cho diện tích của các tam giác khác.

(22) Đặt $K_1$ và $L_1$ là điểm trên $BC$ và $BA$ sao cho $K_1K \parallel L_1L \parallel BB'$. Chỉ cần chứng minh hai tam giác $BK_1K$ và $BL_1L$ đồng dạng là đủ, tức là $|BK_1| : |K_1K| = |BL_1| : |L_1L|$. Chúng ta có $$\frac{|BK_1|}{|BA'|} = \frac{|B'K|}{|B'A'|}, \quad \frac{|K_1K|}{|BB'|} = \frac{|A'K|}{|B'A'|},$$ và theo Định lý (1)

$$\frac{|BK_1|}{|K_1K|} = \frac{|B'K|}{|A'K|} \cdot \frac{|BA'|}{|BB'|} = \frac{|CB'|}{|CA'|} \cdot \frac{|BA'|}{|BB'|} = \frac{c}{b} \cdot \frac{|CB'|}{|BB'|} = \frac{ca}{(a+c) |BB'|}.$$

Biểu thức cuối cùng đối xứng với $a$ và $c$, và do đó cũng bằng $|BL_1| : |L_1L|$.

(23) Hãy chứng minh rằng cả hai mệnh đề đều tương đương với đẳng thức $|AB| \cdot |CD| = |AD| \cdot |BC|$. Chúng ta hãy lấy một điểm $A_1$ trên cung $BAD$ sao cho $|DA_1| = |AB|$. Điều kiện bài toán tương đương với việc đường thẳng $A_1C$ đi qua $N$ - trung điểm của $BD$, tức là bằng diện tích của các tam giác $DA_1C$ và $A_1BC$, do đó $|DA_1| \times |DC| = |BA_1| \cdot |BC|$ hoặc $|AB| \cdot |CD| = |AD| \cdot |BC|$.

(24) Gọi $B_1$ là trung điểm của $AC$. Chúng ta tiếp tục phân giác cho đến khi nó cắt tại điểm $B_2$ với đường vuông góc được phục hồi bởi $KAC$ tại điểm $B_1$. Điểm $B_2$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $ABC$. Chúng ta hãy vẽ đường vuông góc với $AC$ đến $M$, đặt $L$ là giao điểm của nó với $AC$, $K$ với $BB_1$, sau đó là $|KM| = |ML|$. Chúng ta hãy vẽ qua $K$ một đường thẳng song song với $AC$, cắt $AB$ và $BC$ tại các điểm $D$ và $E$. Nếu $G$ và $F$ là hình chiếu của $D$ và $E$ lên $AC$, thì $M$ là tâm của đường thẳng $GDEF$ và $\triangle DME \sim \triangle AB_2C$ (△DME thu được từ △AB_2C khi chuẩn bị với tâm $B$). chúng tôi có

$$\text{ctg} \hat{MCL} = \frac{|LC|}{|ML|} = \frac{|LF|}{|ML|} + \frac{|FC|}{|ML|} = \frac{|AB_1|}{|B_1B_2|} + 2 \frac{|FC|}{|EF|} = \text{ctg} \frac{\hat{B}}{2} + 2 \text{ctg} \hat{C},$$

nghĩa là, $\hat{MCA} = \hat{NCB}$.

(25) Tích độ dài của các đoạn từ đỉnh $A$ của tam giác đến giao điểm của các cạnh $AB$ với một đường tròn cho trước sẽ bằng tích các cạnh $AC$. Những độ dài này có thể được biểu diễn dễ dàng dưới dạng độ dài của dây cung đang xét và độ dài cạnh của tam giác. Các đẳng thức tương tự có thể được viết cho các đỉnh $B$ và $C$. Vì vậy, chúng ta sẽ thu được một hệ phương trình cho phép chúng ta biểu thị độ dài của dây theo độ dài cạnh và xác minh phát biểu bài toán bằng phép tính trực tiếp. Để tránh liệt kê các tùy chọn, sẽ thuận tiện hơn khi chọn một số hướng đi qua tam giác và coi các đoạn có hướng và độ dài của chúng là các số thực tùy ý.

(26) Đặt $\hat{KAL} = \hat{KLA} = \varphi$, $\hat{KCL} = \hat{LKC} = \psi$. Sau đó $\hat{BKL} = 2\varphi$, $\hat{BKL} = 2\psi = 180^\circ - B$. Nếu $Q$ là giao điểm của $AL$ và $KC$ thì $\hat{AQC} = 180^\circ - (\varphi + \psi) = 90^\circ + \frac{\hat{B}}{2}$. Chúng ta hãy vẽ qua $M$ một đường thẳng song song với $BC$ cho đến khi nó cắt $KC$ tại điểm $N$ thì $MQ$ là phân giác của góc $AMN$ và $\hat{AQN} = 90^\circ + \frac{\hat{B}}{2}$. Suy ra $Q$ là giao điểm các đường phân giác của tam giác $AMN$, tức là $\triangle AMN \sim \triangle KBL$. Đặt $|AK| = |KL| = |LC| = x$, $|AM| = y$, $|MN| = z$. Từ thực tế là $\triangle AMN \sim \triangle KBL$ và $\triangle KMN \sim \triangle KBC$ ta có

$$\frac{z}{a-x} = \frac{y}{c-x}, \frac{y-x}{c-x} = \frac{z}{a},$$

từ đâu $y = a$.

(27) Độ vuông góc của các đường phân giác được chứng minh bằng công sức. Hãy chứng minh khẳng định thứ hai. Đặt $M$ là trung điểm của $AC$, $N$ là trung điểm của $BD$. Từ sự giống nhau của các tam giác $AMK$ và $BKD$ suy ra $\hat{MKA} = \hat{NKD}$ và $\frac{|MK|}{|KN|} = \frac{|AC|}{|BD|}$, tức là phân giác của góc $BKC$ cũng là phân giác của góc $MKN$ và chia đoạn $MN$ cho $\frac{|MK|}{|KN|} = \frac{|AC|}{|BD|}$. Rõ ràng, $MN$ cũng chia đường phân giác của góc $ALB$ theo cùng một hệ thức.

Khi nào là $|a+b| = |a| + |b|$?

1. a) {0,2}; 6) Vì $a < -1$ không có gốc, vì $-1 \leq a \leq \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ có tia] $-\infty$; $a]$, cho $a = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ - toàn bộ trục số $R$, cho $a > \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ - tia [a; $+\infty$ [.

2. a) ]0; 1 [; 6)]7; $+\infty$ [.

3. a) $\emptyset$; 6) $y = \sin x + 1$ trên các phân đoạn $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$ ($k \in \mathbb{Z}$), $y = \sin x - 1$ trên các phân đoạn $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$ ($k \in \mathbb{Z}$).