Bốn cách chứng minh định lý phân giác

37

Bốn cách chứng minh định lý chia đôi

Định lý về tính chất đường phân giác của góc trong của một tam giác không được chứng minh trong SGK “Hình học 6-8” mà được đề xuất dưới dạng bài toán (số 914, tr. 232). Định lý này thường được sử dụng, ví dụ, khi chứng minh thực tế là ba đường phân giác của một tam giác cắt nhau tại một điểm. Ở đây chúng tôi đưa ra một số bằng chứng về nó.

Định lý. Đường phân giác BD của góc trong của tam giác ABC chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng tỉ lệ với các cạnh |BC| và |BA| tam giác.

$$\frac{|AC|}{|AD|}; \text{ отсюда последовательно получаем}$$
$$\frac{|AB|+|BC|}{|AB|} = \frac{|AD|+|DC|}{|AD|},$$
$$1 + \frac{|BC|}{|AB|} = 1 + \frac{|DC|}{|AD|},$$
$$\frac{|CB|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|AD|},$$
Q.E.D.

Chứng minh thứ hai (dành cho lớp 8).
Chúng tôi có (xem hình 1):

$$\frac{S_{CBD}}{S_{ABD}} =$$
$$= \frac{0,5 \cdot |CB| \cdot |DB| \cdot \sin \frac{\hat{B}}{2}}{0,5 \cdot |AB| \cdot |DB| \cdot \sin \frac{\hat{B}}{2}} =$$
$$= \frac{0,5 \cdot |CD| \cdot h}{0,5 \cdot |AD| \cdot h},$$
trong đó $h$ là độ dài đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh B. Do đó
$$\frac{|CB|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|AD|}.$$

Chứng minh đầu tiên (dành cho lớp 7).
Chúng ta vẽ qua điểm C (Hình 1) một đường thẳng m song song với (BD). Sau đó
$$m \cap |AB| = D_1 \text{ и } \triangle ABD \sim \triangle AD_1C; \text{ так как } \widehat{ABD} = \widehat{CBD} = \widehat{BCD}_1 = \widehat{CD}_1B, \text{ получаем } |BC| = |BD_1| \text{ и } \frac{|AD_1|}{|AB|} =$$

Bằng chứng thứ ba (lớp 8). Theo định lý sin (xem hình 1)

$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|CD|} = \frac{\sin \hat{C}}{|BD|}$$

Và
$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|AD|} = \frac{\sin \hat{A}}{|BD|},$$

hoặc
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Bằng chứng thứ tư (lớp 7-8). Thực hiện đối xứng trục S của tam giác ABC đối với (BD) (Hình 2), ta thu được
$$S_{(BD)}(A) = A_1, S_{(BD)}(C) = C_1 \text{ и } S_{(BD)} = B.$$

Hình 1.

Hình 2.

Chứng minh đầu tiên (dành cho lớp 7).
Chúng ta vẽ qua điểm C (Hình 1) một đường thẳng m song song với (BD). Sau đó
$$m \cap |AB| = D_1 \text{ и } \triangle ABD \sim \triangle AD_1C; \text{ так как } \widehat{ABD} = \widehat{CBD} = \widehat{BCD}_1 = \widehat{CD}_1B, \text{ получаем } |BC| = |BD_1| \text{ и } \frac{|AD_1|}{|AB|} =$$

Bằng chứng thứ ba (lớp 8). Theo định lý sin (xem hình 1)

$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|CD|} = \frac{\sin \hat{C}}{|BD|}$$

Và
$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|AD|} = \frac{\sin \hat{A}}{|BD|},$$

hoặc
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Sau đó $\triangle CDC_1 \sim \triangle ADA_1$ và $\triangle CC_1B \sim \triangle AA_1B$ (hãy đảm bảo điều này!). Do đó (cho rằng $|AB| = |A_1B|$) $$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CC_1|}{|AA_1|},$$
$$\frac{|CC_1|}{|AA_1|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Kể từ đây,
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

S. R. Sefibekov

Thông báo

Cửa hàng số 8 Moskovgi nhận đặt hàng những cuốn sách sau do Nhà xuất bản Nuuka xuất bản:

“Bài toán trong vật lý” (Ed. O. Ya. Savchenko, 1981, 95 k.),
Kaganov M.I., Tsu-

Kernik V. M. “Bản chất của từ tính” (1982, 30 cuốn sách),
Yavorsky B. M., Pinsky A. A. “Cơ sở vật lý” - T. I “Cơ học. Vật lý phân tử. Điện tử" (tái bản lần thứ 3, sửa đổi, 1981, 1 chà. 20 k.),
T.P

“Rung động và sóng. Vật lý lượng tử” (tái bản lần thứ 3, sửa đổi, 1981, 1 chà. 20 k.).

Đơn đặt hàng sẽ được gửi đến địa chỉ: 103050, Moscow, K-50, st. Medvedeva, 1, cửa hàng số 8 Moskovgi, bộ phận “Đặt sách qua thư”.