Четыре доказательства теоремы о биссектрисе

37

Четыре доказательства теоремы о биссеktrice

Теорема о свойстве биссеktrices внутринего угла треугольника в учебном пособии «Геометрия 6-8» не доказывается, а предлагается в виде задачи (№ 914, с. 232). Эта теорема часто используется, например, при установлении факта пересечения трех биссеktrисс треугольника в одной точке. Здесь мы даим сразу несколько ее доказательств.

Теорема. Биссеktrиса BD внутринего угла треугольника ABC делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам |BC| и |BA| треугольника.

$$\frac{|AC|}{|AD|}; \text{ отсюда последовательно получаем}$$
$$\frac{|AB|+|BC|}{|AB|} = \frac{|AD|+|DC|}{|AD|},$$
$$1 + \frac{|BC|}{|AB|} = 1 + \frac{|DC|}{|AD|},$$
$$\frac{|CB|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|AD|},$$
что и требовалось доказать.

Второе доказательство (для 8-го класса).
Имем (см. рис. 1):

$$\frac{S_{CBD}}{S_{ABD}} =$$
$$= \frac{0,5 \cdot |CB| \cdot |DB| \cdot \sin \frac{\hat{B}}{2}}{0,5 \cdot |AB| \cdot |DB| \cdot \sin \frac{\hat{B}}{2}} =$$
$$= \frac{0,5 \cdot |CD| \cdot h}{0,5 \cdot |AD| \cdot h},$$
где $h$ — длина высоты треугольника ABC, проведенной из вершины B. Отсюда
$$\frac{|CB|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|AD|}.$$

Первое доказательство (для 7-го класса).
Проведем через точку C (рис. 1) прямую m, параллельную (BD). Тогда
$$m \cap |AB| = D_1 \text{ и } \triangle ABD \sim \triangle AD_1C; \text{ так как } \widehat{ABD} = \widehat{CBD} = \widehat{BCD}_1 = \widehat{CD}_1B, \text{ получаем } |BC| = |BD_1| \text{ и } \frac{|AD_1|}{|AB|} =$$

Третье доказательство (8 класс). По теореме синусов (см. рис. 1)

$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|CD|} = \frac{\sin \hat{C}}{|BD|}$$

и
$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|AD|} = \frac{\sin \hat{A}}{|BD|},$$

или
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Четвертое доказательство (7-8 классы). Выполнить осевую симметрию S треугольника ABC относительно (BD) (рис. 2), получим
$$S_{(BD)}(A) = A_1, S_{(BD)}(C) = C_1 \text{ и } S_{(BD)} = B.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Первое доказательство (для 7-го класса).
Проведем через точку C (рис. 1) прямую m, параллельную (BD). Тогда
$$m \cap |AB| = D_1 \text{ и } \triangle ABD \sim \triangle AD_1C; \text{ так как } \widehat{ABD} = \widehat{CBD} = \widehat{BCD}_1 = \widehat{CD}_1B, \text{ получаем } |BC| = |BD_1| \text{ и } \frac{|AD_1|}{|AB|} =$$

Третье доказательство (8 класс). По теореме синусов (см. рис. 1)

$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|CD|} = \frac{\sin \hat{C}}{|BD|}$$

и
$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|AD|} = \frac{\sin \hat{A}}{|BD|},$$

или
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Тогда $\triangle CDC_1 \sim \triangle ADA_1$ и $\triangle CC_1B \sim \triangle AA_1B$ (убедитесь в этом!). Отсюда (учитывая, что $|AB| = |A_1B|$) $$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CC_1|}{|AA_1|},$$
$$\frac{|CC_1|}{|AA_1|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Следовательно,
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

С. Р. Сефибеков

Объявление

Магазин № 8 Московги принимает заказы на следующие книги, выпущенные издательством «Нуука»:

«Задачи по физике» (Под ред. О. Я. Савченко, 1981, 95 к.),
Каганов М. И., Цу-

керник В. М. «Природа магнетизма» (1982, 30 к.),
Яворский Б. М., Пинский А. А. «Основы физики» — Т. I «Механика. Молекулярная физика. Электроники» (3-е изд., переработ., 1981, 1 р. 20 к.),
Т. П

«Колебания и волны. Квантовая физика» (3-е изд., переработ., 1981, 1 р. 20 к.).

Заказы направлят по адресу: 103050, Москва, К-50, ул. Медведева, 1, магазин № 8 Московги, отдел «Книга—почтой».