Khối lập phương trong hình ảnh

33

khối lập phương
trong hình ảnh

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. N. DUBROVSKY

Có lẽ, Khối Rubik không còn cần giới thiệu nữa - chỉ «Kvant» dành riêng bốn số liệu thống kê lớn cho nó *), và họ thậm chí còn chiếu nó trên điện thoại! Và quan trọng nhất, cuối cùng nó cũng bắt đầu được bán. Bây giờ bạn có thể gặp mọi người (thường là rất trẻ) ở khắp mọi nơi, cố gắng giải một khối lập phương - một cách kiên trì nhưng không phải lúc nào cũng thành công. Vì vậy, chúng tôi quyết định nói với bạn một lần nữa, hay đúng hơn là chỉ ra cách thực hiện việc này bằng hình ảnh.

Chúng ta sẽ mô tả phép quay của các khuôn mặt bằng mũi tên trong hình vuông

*) V. Zalgaller, S. Zalgaller “Khối lập phương có bản lề Hungary” (1980, số 12), M. Evgrafov “Cơ học của khối ma thuật” (1982, số 3), V. Dubrovsky “Thuật toán của khối ma thuật” (1982, số 7) và “Toán học của khối ma thuật” (1982, số 8). Xem thêm ghi chú “Trò chơi, bài toán hay Lập luận?” (1982, số 7, trang 25) và bài viết của Yu. Demkov “Xoay các hình khối” (1981, số 12).

3x3, tượng trưng cho mặt trước của khối lập phương (Hình 0).

Mỗi giai đoạn lắp ráp được xác định bằng các bản vẽ thể hiện vị trí ban đầu của các khối được sắp xếp lại ở giai đoạn này, trình tự các lượt của giai đoạn này và hình dáng của khối sau khi hoàn thành.

Hãy đồng ý rằng khi lắp ráp, cạnh có hình vuông ở giữa màu xanh sẽ luôn đúng. Hình vuông trung tâm của mặt đối diện là khác nhau ở các bản sao khác nhau của hình lập phương; với mục đích định nghĩa, chúng tôi sẽ coi nó là màu xanh lá cây. Vì vậy, do lắp ráp, cạnh trên của khối lập phương sẽ có màu xanh lam, cạnh dưới sẽ có màu xanh lục. Mặt trước trong quá trình lắp ráp có thể là bất kỳ mặt nào trong bốn mặt (cạnh) còn lại.

Nếu bạn muốn làm tròn khối lập phương một chút, bạn nhận ra rằng các khối trung tâm của tất cả các mặt có thể ngay lập tức được coi là đứng ở vị trí của chúng (vì vị trí tương đối của chúng được thiết lập một cách cứng nhắc theo thiết kế của khối) và đối với mỗi khối còn lại, vị trí cuối cùng được xác định hoàn toàn: mỗi mặt của khối phải áp dụng (cạnh hoặc đỉnh) vào hình vuông trung tâm cùng màu.

Chúng ta sẽ giải khối lập phương cuối cùng - đầu tiên là lớp dưới cùng (bước đầu tiên), sau đó là lớp giữa (bước thứ ba) và cuối cùng là lớp trên cùng (bốn bước cuối cùng).

Hình 0. Ký hiệu “Mũi tên” và “Chữ cái” cho các góc quay của gót chân (chúng ta không cần mặt sau). Ví dụ: chữ cái Ф biểu thị góc quay của mặt trước (Mặt tiền) 90° theo chiều kim đồng hồ, Ф’ - góc quay 90° ngược chiều kim đồng hồ, Ф² - góc quay 180°. Trong bức ảnh này và những bức ảnh tiếp theo, các mặt không sơn của các hình khối là những mặt có màu mà chúng ta không muốn sửa trong bức tranh này.

34

Hình 1. Bước đầu tiên: lắp đặt khối lập phương có chi phí thấp hơn.

Vì vậy, hãy bắt đầu!
Bước đầu tiên. Chữ thập dưới:
cài đặt các khối có chi phí thấp hơn (Hình 1). Chọn một số khối cạnh có cạnh màu xanh lá cây không ở vị trí cuối cùng và bằng cách xoay mặt bên chứa nó, di chuyển nó lên mặt trên. Đặt mặt thứ hai của khối đã chọn có màu vàng; bằng cách xoay khối lập phương, tạo một mặt có hình vuông trung tâm màu vàng ở mặt trước và bằng cách xoay mặt trên, đưa khối về một trong hai vị trí ban đầu của Hình 1. Tiến hành theo hình ảnh - khối đã chọn ở vị trí mong muốn. Bằng cách lắp từng khối sườn tiếp theo, bạn không thể làm hỏng khối đã có sẵn (hãy nghĩ cách thực hiện việc này!).
Trong tương lai, trong tất cả các bản vẽ, chúng tôi cũng sẽ mô tả cạnh trước có màu vàng (nghĩa là có viền màu vàng).

Hình 2. Bước thứ hai: lắp đặt khối góc dưới.

35

hình vuông trung tâm thứ hai), hình vuông bên phải - màu cam. Tuy nhiên, tất nhiên, ở mỗi bước, dẫn đến vị trí ban đầu của hình vẽ tương ứng, chính bạn sẽ phải cho biết khuôn mặt nào sẽ được lấy làm mặt trước.

Bước thứ hai. Góc dưới cùng: lắp các khối góc dưới cùng (Hình 2). Chọn một số khối góc có cạnh màu xanh lá cây ở lớp trên cùng và bằng cách xoay cạnh trên, đặt nó chính xác lên trên vị trí của nó ở lớp dưới cùng. Trong trường hợp này, khối được chọn sẽ chiếm một trong ba vị trí ban đầu của Hình 2. Tiến hành theo hình - khối được chọn sẽ ở vị trí dưới cùng.

NI. Nếu không còn khối góc nào có cạnh màu xanh lá cây ở lớp trên cùng, nhưng ở lớp dưới cùng, một số khối góc không ở vị trí cuối cùng, hãy xoay khối sao cho khối này ở vị trí “phía trước-phải-thấp” và tiếp tục bất kỳ thao tác nào của Hình 2 - nó kết thúc ở lớp trên cùng.

Bước thứ ba. Lớp giữa: lắp các khối sườn ở giữa (Hình 3). Chọn một số khối sườn không có cạnh màu xanh nằm ở lớp trên cùng. Bằng cách xoay mặt trên, đưa khối lập phương về một trong hai vị trí ban đầu của Hình 3. Tiến hành theo hình - khối được chọn sẽ ở vị trí dưới cùng -

Hình 4. Bước thứ tư: định hướng hai khối sườn trên cùng. (Mũi tên màu đỏ cho biết chúng được sắp xếp lại như thế nào, điều này không quan trọng đối với chúng tôi ở bước này.)

37

Hình 6. Bước thứ sáu: định hướng ba khối góc trên cùng. (Khi chọn vị trí bắt đầu của khối lập phương, các mũi tên màu đỏ sẽ được xác định.)
(Hình 7). Sau bước thứ sáu, tất cả các khối ở góc trên sẽ đứng đúng hoặc một trong số chúng sẽ đứng đúng và ba khối còn lại phải được sắp xếp lại theo chu kỳ, hoặc tất cả chúng sẽ đứng sai. Trong trường hợp đầu tiên, mọi thứ đều theo thứ tự - khối lập phương đã được giải. Trong trường hợp thứ hai, tùy thuộc vào việc bạn cần sắp xếp lại các hình khối “nhầm” theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ, hãy thực hiện một trong hai thao tác trong Hình 7 - các hình khối sẽ được đặt vào đúng vị trí của chúng. Trong trường hợp thứ ba, thực hiện thao tác tương tự như Hình 7, lấy bất kỳ mặt bên nào của hình lập phương làm mặt trước - một khối góc sẽ đứng ở bên phải
đúng và chúng ta nhận được quy tắc trước đó*).
Tất cả. Bạn có thể thở phào nhẹ nhõm - khối lập phương đã được giải quyết!

---

Người đọc tạp chí của chúng tôi sẽ hài lòng với việc học cách giải khối lập phương bằng quả bóng. Làm thế nào chúng ta có thể quản lý mà không có nó? Tất nhiên, bạn có thể chỉ cần nhớ tất cả các thao tác cần thiết. Và chúng được chọn sao cho không quá khó khăn.
*) Cố gắng chứng minh rằng trong mọi trường hợp bạn có thể đạt được bằng cách sử dụng thao tác Z không quá hai lần.

Hình 7. Bước thứ bảy: sắp xếp lại ba hình khối ở góc trên cùng.
Z = Ф
Z’ = Ф²
L² F'
P’F
L² F'
PF

38

Các hoạt động của hai bước đầu tiên rất ngắn. Chúng tôi khuyên bạn nên thực hiện chúng từ từ, lần lượt và theo dõi chuyển động của các khối được lắp vào đúng vị trí với sự trợ giúp của chúng - bạn sẽ hiểu cách các thao tác này “hoạt động” và học cách thực hiện chúng mà không cần suy nghĩ. Chỉ có thể ghi nhớ một thao tác cho mỗi bước sau đây; cái thứ hai (nếu nó tồn tại) luôn có thể được thay thế bằng cái đầu tiên được thực hiện hai lần. Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng 5 bước cuối cùng của thao tác $M_1$ (bước 3) trùng với 5 bước đầu tiên $F$ (bước 4) và thao tác $Z$ (bước 7) thu được từ $T$ (bước 6) bằng cách thay thế bước đầu tiên $\Pi^2 = \Pi' \Pi'$ bằng $\Phi \Pi'$ và hai bước cuối cùng - $\Phi^\circ \Pi$ - thành $\Phi' \Phi' = \Phi^2$. Vì vậy, về bản chất, bạn chỉ cần trừ ba thao tác cơ bản $M_1$, $C$, $T$ và một số biến thể của chúng.

Tuy nhiên, sẽ thú vị và hữu ích hơn nhiều khi thâm nhập vào “nguyên tắc hành động” của các hoạt động này.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét hoạt động $M_1 = \Phi' B \Phi \cdot B \cdot \Pi B' \Pi'$. Ba lượt đầu tiên của nó $\Phi' B \Phi$ tương tự như ba bước của bước thứ 2 và chuyển khối $\phi n$ (để biết phương pháp chỉ định các hình khối, xem Hình 0) từ lớp dưới lên lớp trên và sao cho nó được trình bày chính xác với khối sườn tương ứng (kiểm tra!); Ba lượt cuối cùng $11B'11'$ tương tự như chúng, trả khối lập phương $\phi n$ (cùng với sự hiện diện của khối đắt tiền) vào đúng vị trí; lượt trung gian $B$ chuẩn bị vị trí xuất phát cho ba lượt cuối cùng. Hãy tự mình phân tích thao tác $M_2$ và thao tác $M_3 = \Phi' B \Phi B^2 \Pi B^2 \Pi'$, có thể được sử dụng cùng với $M_1$. Sau đó, hãy thử dựa trên cơ sở tương tự để đưa ra các phép toán tương tự như $M_1$ và $M_2$, trong trường hợp khối lập phương $\phi n$ ở đúng vị trí của nó nhưng được định hướng không chính xác. Bạn có thể tiến xa hơn và phát triển các hoạt động cho phép bạn kết hợp bước thứ 2 và bước thứ 3, nghĩa là đồng thời với mỗi khối góc dưới, khối sườn liền kề của lớp giữa được lắp đặt.

Hoạt động của bước 4 và bước 5 được xây dựng trên cơ sở gọi là giao hoán, tức là một dãy có dạng $xyx^{-1}y^{-1}$ ($x^{-1}$ là phép quay nghịch đảo của $x$: $\Phi^{-1} = \Phi'$, $(\Phi')^{-1} = \Phi$, $(\Phi^2)^{-1} = \Phi^2$). Nếu $x$ và $y$ là phép quay của hai mặt khối liền kề $X$ và $Y$ (đến $\pm 90^\circ$ hoặc $180^\circ$), thì cổ góp tuần hoàn $xyx^{-1}y^{-1}$ biểu thị ba khối cạnh: một từ mặt $X$, cái còn lại từ $Y$, cái thứ ba - trở đi cạnh chung $X$ và $Y$ (kiểm tra!); Đồng thời, một số khối góc cũng xuất hiện, nhưng ở đây điều này hầu như không được chúng ta quan tâm.

*) Thuật toán lắp ráp khối lập phương, hoàn toàn dựa trên các công tắc, đã được đề xuất trong bài viết “Khối lập phương có bản lề của Hungary”.