Ván trượt tuyết - vào mùa hè

61

4. Chứng minh rằng trong dãy tự nhiên ngay sau số nguyên tố lớn hơn 3 không thể có số chính phương.

lớp 10

1. Hãy nghĩ ra một tập hợp gồm 1982 số nguyên phân biệt theo cặp $\{a_1, a_2, \dots, a_{1982}\}$ sao cho tập hợp các tổng $S = \{a_1 + a_2, a_1 + a_3, \dots, a_{1981} + a_{1982}\}$ chứa càng ít số phân biệt càng tốt. Chứng minh rằng $S$ bạn tìm thấy không thể chứa ít số khác nhau hơn.

2. Chứng minh rằng tam giác vuông $f(x) = ax^2 + bx + c$ có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai đa thức tăng đơn điệu.

3. Hình chữ nhật $ABCD$ nằm bên trong một phần tư hình tròn có tâm tại điểm $A$ của bán kính 1. Diện tích tối đa có thể có của hình chữ nhật là bao nhiêu?

4. Đặt $2a, a + b, c$ là số nguyên. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $x$ thì số $ax^2 + bx + c$ cũng là số nguyên.

Tour tham quan huyện-thành phố
(theo các huyện trong khu vực và thành phố Sverdlovsk)

lớp 7

1. Có hai thùng có dung tích 9 và 11 lít. Làm thế nào bạn có thể sử dụng chúng để đổ 10 lít nước từ hồ vào cái lớn hơn?

2. Chứng minh rằng nếu
   $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c},$$
   thì $(a^3 + b^3)(a^3 + c^3)(b^3 + c^3) = 0$.

3. Hai lutz xuất hiện từ điểm $O$. Kiểm tra, chỉ sử dụng la bàn, xem góc giữa chúng có bằng $72^\circ$ hay không.

4. Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ và $n$ thỏa mãn đẳng thức $2^m + 1 = n^2$.

lớp 8

1. Cho $n$ và $k$ là các số tự nhiên ($k \leq n$), $[a; b], [a_1; b_1], [a_2; b_2], \dots, [a_n; b_n]$ là các đoạn trên trục số. Được biết, số đoạn $[a_i; b_i]$ chứa điểm $x \in [a; b]$ bằng $k$ đối với bất kỳ điểm $x \in [a; b]$ nào. Chứng minh rằng với mọi $i = 1, 2, 3, \dots, n$ $[a; b] \subset [a_i; b_i]$. (Giả định rằng với mọi $i$ $[a; b] \cap [a_i; b_i]$ đều không trống.)

2. Chứng minh rằng $a^4 + b^4 \geqslant 1/8$ nếu $a + b \geqslant 1$.

3. Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi, tổng độ dài các đường chéo lớn hơn tổng độ dài các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện.

4. Số tự nhiên $n$ sao cho các số $2n + 1$ và $3n + 1$ là bình phương của một số số tự nhiên nhất định. Chứng minh rằng số $n$ chia hết cho 8.

lớp 9

1. Hoa hồng có hình tròn có đường kính 100 m. Khoảng cách giữa hai cây bất kỳ trong đó là hơn 10 m. Chứng minh rằng trong bông hồng có không quá 121 cây.

2. Chứng minh rằng hệ phương trình
   $$\begin{cases} x^3 + y^2 = 2, \\ x^2 + xy + y^2 - y = 0 \end{cases}$$
   không có lời giải trong số thực.

3. Đặt các điểm $M$ và $N$ trong tứ giác lồi $ABCD$ là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$. Biểu thị vectơ $MN$ theo các vectơ $AD$ và $CB$.

4. Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số mà hai chữ số đầu và hai chữ số cuối giống nhau và là bình phương của số tự nhiên đó.

lớp 10

1. Cho một khoảng số $a; b$ [ và một họ khoảng $]a_1; b_1|, ]a_2; b_2|, \dots, ]a_n; b_n|, вложенных в$a; b$. Извести, что для любой точки$x \in ]a; b$[ число интервалов$]a_i; b_i| chứa nó thật kỳ quặc. Chứng minh rằng $n$ là số lẻ.

2. Chứng minh quan điểm tôi hành động

$$\frac{1}{\cos 0 \cos x} + \frac{1}{\cos x \cos 2x} + \dots + \frac{1}{\cos 9x \cos 10x} = \frac{\mathrm{tg} 10x}{\sin x}$$

3. Hãy chỉ ra những điều kiện cần và đủ của tứ giác lồi có diện tích đơn vị có tổng các đường chéo nhỏ nhất phải thỏa mãn điều kiện nào.

4. Tìm tất cả các số tự nhiên $m, n$ và $k$ thỏa mãn đẳng thức $2^m + 1 = n^{k+1}$.

Đã chuẩn bị ấn phẩm
A. G. Gein

Ván trượt tuyết - vào mùa hè

Sử dụng bóng để xác định xem các cột trượt tuyết này có chạm vào nhau hay không.

63

5. Vào ban ngày, nếu không bật đèn trong phòng thì các đồ vật trong phòng sẽ được chiếu sáng ít hơn nhiều so với trên đường phố. Từ đường phố, chúng ta quan sát các đồ vật trong phòng qua một tấm rèm, độ chiếu sáng của nó lớn hơn độ chiếu sáng của đồ vật. Từ trong phòng, chúng ta nhìn thấy các đồ vật trên đường qua một tấm rèm gần như không có ánh sáng, vì bên trong tấm rèm được chiếu sáng rất mờ. Xin lưu ý rằng vào buổi tối, khi bật đèn trong phòng, hiệu ứng sẽ ngược lại - từ đường phố, mọi thứ đang diễn ra trong phòng sẽ được nhìn thấy rõ ràng.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(xem «Kvant» số 8)

1. • 6823 / 13646
2. Gọi số có sáu chữ số là A, chữ số đầu tiên của nó là a. Nếu bỏ chữ số đầu tiên thì số thu được sẽ viết là A - 100.000 a. Số thu được từ nó bằng cách cộng số a sẽ là 10(A—100.000 a) + a hoặc 10 A—999.999 a. Nhưng 999.999 = 7 11 13 37 27. Do đó, nếu số A được chia cho bất kỳ thừa số nào trong số này thì số mới sẽ bị chia cho số đó.
3. Một trong những cách khả thi lời giải bài toán được trình bày trong Hình 1.
4. Phòng thứ nhất có diện tích 7x3, phòng thứ hai có diện tích 5x3. Chúng ta hãy biểu thị độ dài cạnh của căn phòng thứ nhất bằng x và y. Sau đó từ điều kiện bài toán xy=2(x+y)+1. Từ đây

$$y = \frac{2x+1}{x-2} = 2 + \frac{5}{x-2}$$

Để y là số nguyên khi x là số nguyên thì cần phải có x-2=1 hoặc x-2=5. Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta nhận được x=3, y=7, và trong trường hợp thứ hai x=7, y=3. Tương tự như vậy đối với căn phòng thứ hai.
5. Bác sĩ trả lời rằng chiếc gương cầm tay lạnh có sương mù là do hơi nước do bệnh nhân thoát ra ngưng tụ trên đó. Nếu gương được làm nóng đến nhiệt độ của cơ thể con người hoặc cao hơn thì hiện tượng ngưng tụ sẽ không xảy ra.

Chuyến đi của Styopa Moshkin
(xem «Kvant» số 8)

Câu hỏi đầu tiên của Peter Ivanovich. Việc những chiếc màu trắng trên dây trên bờ và lá cờ treo bất động trên biển hiệu trường cho thấy thời tiết đang yên tĩnh. Vì việc nuôi nhốt được trộn lẫn với không khí, trên bè không khí

Hình 1.

$$|AB| = 50 \text{ м}; |AC| = v \cdot t = \frac{4000}{3600} \frac{m}{c} \cdot 36c = 40 \text{ м}; |BC| = \sqrt{|AB|^2 - |AC|^2} = 30 \text{ м}. Следовательно, Гобой удалялся от берега со скоростью u = \frac{|BC|}{t} = \frac{30}{36} \frac{m}{c} = 3 \frac{km}{ч}.$$

6. Tốc độ ánh sáng là 300.000 km/s. Sẽ mất một khoảng thời gian không đáng kể để ánh sáng đi hết quãng đường mà các du khách đang di chuyển. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng ánh sáng truyền đi những khoảng cách ngắn như vậy ngay lập tức.
7. Không, vì công việc trong mọi trường hợp đều bằng thế năng mà Vanya có khi ngồi trên cành cây.
8. Âm thanh truyền tới chướng ngại vật trong 1/2 s, tốc độ âm thanh xấp xỉ 330 m/s; do đó, khoảng cách đến chướng ngại vật là khoảng 115 m.
   Câu hỏi cuối cùng của Pyotr Ivanovich. Phương pháp xác định gần đúng kích thước của Mặt Trăng