Лыжи — летом

61

4. Доказать, что в натуральном ряду сразу после простого числа, большего трех, не может стоять точный квадрат.

10 класс

1. Придумать набор из 1982 попарно различных целых чисел $\{a_1, a_2, \dots, a_{1982}\}$, чтобы множество сумм $S = \{a_1 + a_2, a_1 + a_3, \dots, a_{1981} + a_{1982}\}$ содержало как можно меньше различных чисел. Доказать, что найденное вам $S$ не может содержать меньшее количество различных чисел.

2. Доказать, что квадратный треугольен $f(x) = ax^2 + bx + c$ можно представить в виде разности двух монотонно возрастающих многочленов.

3. Примогольник $ABCD$ лежит внутри четверти круга с центром в точке $A$ радиуса 1. Какова наиболее возможная площадь прямогольника?

4. Пусть $2a, a + b, c$ — целые числа. Доказать, что для любого целого $x$ число $ax^2 + bx + c$ — также целое.

Районно-городский тур
(по районам области и г. Свердловску)

7 класс

1. Имеется два ведра емкости 9 и 11 литров. Как с их помощью налить из озера в большее из них 10 литров воды?

2. Доказать, что если
   $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c},$$
   то $(a^3 + b^3)(a^3 + c^3)(b^3 + c^3) = 0$.

3. Из точки $O$ выходит два луца. Проверить, пользовать только циркulum, равняяся ли угол между ними $72^\circ$.

4. Найти все натуральные числа $m$ и $n$, удовлетворяющие равенству $2^m + 1 = n^2$.

8 класс

1. Пусть $n$ и $k$ — натуральные числа ($k \leq n$), $[a; b], [a_1; b_1], [a_2; b_2], \dots, [a_n; b_n]$ — отрезки на числовой прямой. Известно, что число отрезков $[a_i; b_i]$ содержащих точку $x \in [a; b]$, равно $k$ для любой точки $x \in [a; b]$. Доказать, что при любом $i = 1, 2, 3, \dots, n$ $[a; b] \subset [a_i; b_i]$. (Предполагается, что для любого $i$ $[a; b] \cap [a_i; b_i]$ не пусто.)

2. Доказать, что $a^4 + b^4 \geqslant 1/8$, если $a + b \geqslant 1$.

3. Доказать, что в выпukлом четырехугольнике сумма длины диагоналей больше суммы длины отрезков, соединяющих середины протиνοположных сторон.

4. Науральное число $n$ такое, что числа $2n + 1$ и $3n + 1$ являются квадратами неоторых натуральных чисел. Докажите, что число $n$ делится на 8.

9 класс

1. Роша имеет форму круга диаметром 100 м. Расстояние между любыми двумя деревями в ней больше 10 м. Доказать, что в розе не больше 121 деревья.

2. Доказать, что система уравнения
   $$\begin{cases} x^3 + y^2 = 2, \\ x^2 + xy + y^2 - y = 0 \end{cases}$$
   не имеет решений в действительных числах.

3. Пусть в выпukлом четырехугольнике $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$. Выразить вектор $MN$ через векторы $AD$ и $CB$.

4. Найти четырехзначное натуральное число, у которого две perвы и две последние цифры совпадают и которое является квадратом натурального числа.

10 класс

1. Дан числовой интервал $a; b$ [ и семейство интервалов $]a_1; b_1|, ]a_2; b_2|, \dots, ]a_n; b_n|, вложенных в$a; b$. Извести, что для любой точки$x \in ]a; b$[ число интервалов$]a_i; b_i|, содержащих ее, нечетно. Доказать, что $n$ нечетно.

2. Доказать точки действую

$$\frac{1}{\cos 0 \cos x} + \frac{1}{\cos x \cos 2x} + \dots + \frac{1}{\cos 9x \cos 10x} = \frac{\mathrm{tg} 10x}{\sin x}$$

3. Указать, каким необходимым и достаточно условным должны удовлетворять выпukленные четырехугольники единчной площади, сумма диагоналей у которых минимальная.

4. Найти все натуральные числа $m, n$ и $k$, удовлетворяющие равенству $2^m + 1 = n^{k+1}$.

Публикацию подготовил
А. Г. Гейн

Лыжи — летом

При помощи теней определите, соприкаются ли эти лыжные палки.

63

5. Днем, если в комнате не включено освещение, предметы, находящиеся в ней, освещены гораздо слабее, чем на улице. С улицы мы наблюдаем предметы в комнате через занавеску, освещенность которой больше освещенности предметов. Из комнаты мы видим предметы на улице через почти неосвещенную занавеску, потому что внутренняя сторона занавески освещена очень слабо. Заметьте, что вечером при включенном освещении в комнате эффициент будет обратный — с улицы будет видно хорошо все происко-дящее в комнате.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 8)

1. • 6823 / 13646
2. Пусть шестизначное число будет A, а его первая цифра — a. Если убрать первую цифру, полученное число записывается как A — 100 000 a. Число, полученное из него приставлением сади цифры a, будет 10(A—100 000 a) + a или 10 A—999 999 a. Но 999 999 = 7·11·13·37·27. Поэтому если число A делилось на какой-либо из этих сомножителей, то на него будет делиться и новое число.
3. Один из возможных способов решения задачи представлен на рисунке 1.
4. Первая комната — 7×3, вторая — 5×3. Обозначим длины сторона первого комната через x и y. Тогда из условия задачи xy=2(x+y)+1. Отсюда

$$y = \frac{2x+1}{x-2} = 2 + \frac{5}{x-2}$$

Чтобы y было целым при целом x, нужно чтобы x-2=1 или x-2=5. В первом случае получаем x=3, y=7, а во втором случае x=7, y=3. Аналогично для второй комната.
5. Врач ответил, что холодное зеркальце во руту запотевает, так как на нем конденсируются водыные пары, выдаxaемые пациентом. Если зеркальце нагреть до температуры человекаского тела или выше, то конденсция не будет происко-дящее.

Степа Мошкин путешествует
(см. «Квант» № 8)

Первый вопрос Петра Ивановича. То, что белые на вервке на берегу и флаг над школьной висят неподвижно, ознакомает, что погода безветренная. Так как пленмешается относительно воздуха, на плоту воздуха

Рис. 1.

$$|AB| = 50 \text{ м}; |AC| = v \cdot t = \frac{4000}{3600} \frac{m}{c} \cdot 36c = 40 \text{ м}; |BC| = \sqrt{|AB|^2 - |AC|^2} = 30 \text{ м}. Следовательно, Гобой удалялся от берега со скоростью u = \frac{|BC|}{t} = \frac{30}{36} \frac{m}{c} = 3 \frac{km}{ч}.$$

6. Скорость света равна 300 000 km/c. На прохождение расстояний, с которых имели дело путешествники, свету понадбитсяничтожно малое время. Поэтому можно считать, что такие малые расстояния светопроходит мгновенно.
7. Нет, так как работа в любом случае равна потенциальной энергии, которой обладает Ваня, сидя на суку.
8. До преграды звук шел 1/2 с, скорость звука — приблизительно 330 м/c; следовательно, расстояние до преграды — примерно 115 м.
   Последний вопрос Петра Ивановича. Способ приближенного определения размеров Луны