Кватернионы

10

Кватернионы

Доктор физико-mатематических наук
А. С. МИШЕНКО,
кандидат физико-mатематических наук
Ю. П. СОЛОВЬЕВ

От редакции. ВНИИЕНИЕМ ГОДУ «Кваит»
много рассказываал о числах. О комплексных числах (№ 2, с. 16), об их истории (№ 6, с. 10), о представлении действительных чисел в виде целых дробей (№ 5, с. 16 и № 6, с. 26), об алgebraических и transcendentных числах (№ 7, с. 2).
Завершает эту серию публикуемая ниже статья (не требующая, однako, знакомства с предыдушими). В ней речь идет о кватернионах — числах, содержащих комплексные, а значит и все остальные, числа. Вы узнаете немного о приложениях кватернионов и о свободазной истории их создания, исходной точкой которого было желание внести алgebraическую структуру (сложение и, главное, умножение) в геометрические объекты (различные многоестества точек).

Как сделать из точек числа?

Если речь идет о точках на прямой — это просто. Выбрав начало отчета («нуль») и масштаб с направлением («единицу»), можно получить из прямой числовую ось и тем самым превращать каждую точку в действительное число — ее координату (рис. 1).

С точками на плоскости сложнее. Выбрав начало отчета («нуль») и пару перpendикулярных осей, можно сопоставить каждой точке на плоскости пару ее координат (x; y). Что бы каждую такую пару — дуплет — сделать числом, нужно научиться «складывать» и «умножать» эти дуплеты, причем так, чтобы сохранялись прививчные свойства сложения и умножения (переместительный, сочетательный и распределенный законы, наличие обратных операций — деления и вычитания).

So сложением просто. Дуплеты естественно складывать как векторы —

12

веktorным произведением $v_3 = v_1 \times v_2$ ненулевых векторов $v_1, v_2$ называется вектор, перpendикулярный плоскости, проходящей через векторы $v_1, v_2$, имеющий направление, определяемое правлим правой руки» (рис. 3), и длину $|v_1| \cdot |v_2|$.

$\sin(v_1, v_2)$. Для дальнейшего заметим, что если векторы $v_1, v_2$ заданы свойства координатми в прямогольной системе координат:

$$v_1 = (\alpha_1; \beta_1; \gamma_1)$$
$$v_2 = (\alpha_2; \beta_2; \gamma_2),$$

то
$$v_1 \times v_2 = (\beta_1 \gamma_2 - \beta_2 \gamma_1; \gamma_1 \alpha_2 - \gamma_2 \alpha_1; \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1).$$

(4)

Не операция векторного произведения не годилась Гамильтону, поскольку она не имеет обратной. Например, если $v_1 = v_2 \neq 0$, то угол $(v_1, v_2)$ между этими векторами равен нулю. Значит,лина векторного произведения $v_3 = v_1 \times v_2$ равна нулю, то есть и сам вектор $v_3$ нулевой. Если бы операция деления на ненулевой вектор существовала всегда, то мы имеем $(v_1 \times v_2):v_2 = v_1 \neq 0$, в то время как $v_1 \times v_2 = 0$ и, значит, $(v_1 \times v_2):v_2 \neq 0$. Получившееся противоречие показывает, что деление на $v_2$ невозможно.

Не может не вызвать уважения и восхищения то, что, несмотря на разочарование и неудачи, Гамильтон не оставил надежды и в течение десяти лет с завиным упорством пытается решить поставленную перед собой задачу. И хотя задача так и не была решена (и не могла быть решена — почему, мы обьясим позже), десятилетний труд не пропал даром. В один прекрасный день 1843 года Гамильтон вдруг решил для определения умножения расстаривать не триплеты (тройки чисел), а четверки, или, как он их тут же окрестил, кватернины. Вот как это произойдет.

Случай на Брогемском месте

В одном из писем к своему сыну, написанном в свойствном тому времени несколько высокопарном стиле, Гамильтон вспоминал: «Это был 16-й день октября, который служил в попедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какне-то отделные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будет бы замкнула электрический контур; блескула искра, предшешаюшая многое длинные годы определению направленной мысли и труда, моето — если доведется, или труда других, если мне будет дарено достагоно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского места фундаментального формулу о символах $i, j, k$,

$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,$$

содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех порстерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где завиетельствованно, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернинах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в попедельник 13-го следующего месяца — ноября».

Определение кватернионов

Кватернионы — это четверки действительных чисел $(x; y; u; v)$, которые удобно записывать в виде

$$q = x + yi + uj + vk,$$

15

При умножении кватернионов дело обстоятель сложнее. Если $q_1$ и $q_2$ — скалярные кватернионы, то их произведение $q_1 q_2$ тоже скалярный кватернион. В случае, когда $q_1 = x$ — скалярный кватернион, а $q_2 = r$ — векторный кватернион, произведение $q_1 q_2 = x \cdot (y_i + uj + vk) = (xy)i + (xu)j + (xv)k$ является векторным кватернионом и операция умножения совпадает с умножением вектора $r$ в пространстве на действительное число $x$.

И наконец, если оба кватерниона векторные:

$$q_1 = r_1 = y_1 i + u_1 j + vk$$
$$q_2 = r_2 = y_2 i + u_2 j + v_2 k,$$

то

$$q_1 q_2 = -(y_1 y_2 + u_1 u_2 + v_1 v_2) + (u_1 v_2 - v_1 u_2) i + (v_1 y_2 - y_1 v_2) j + (y_1 u_2 - u_1 y_2) k.$$

Как видно из последней формулы, скалярная часть произведения $q_1 q_2$ равна скалярному произведение $(r_1, r_2)$ векторов $r_1$ и $r_2$ с обратным знаком. Векторная же часть $q_1 q_2$ — это наш старый знакомый — векторное произведение $r_1 \times r_2$, записанное в координатах (см. (4)).

Объединяя все рассмотренные случаи, получим общую формулу для умножения кватернионов. Если $q_1 = x_1 + r_1$ и $q_2 = x_2 + r_2$, то

$$q_1 q_2 = (x_1 x_2 - r_1 \cdot r_2) + (x_1 r_2 + x_2 r_1 + r_1 \times r_2)$$

А как же триплеты?

Почему Гамильtonу все-tаки не удалось найти удовлетворительное способа для умножения триплетов? Не из-за недостаточного построения или трудолюбия — выше мы уже отмеали, что задачу построения «трехмерных чисел» решить нельзя. Действительно, доказано, что процесс не существует способа умножения точек пространства, удовлетворяющего нашим требованием (ассоциативности, дистрибутивности относительно покоординатного сложения, возможность деления на ненулевые элементы). Более того, сейчас известны все случаи, когда можновести такое умножение.

Как, доказал немецкий математик Ф. Г. Фробенус (1849—1917), этих случаев три: в размерности один (объчные действительные числа), в размерности два (комплексные числа) и в «размерности четырех» (кватернионы).

Что было дальнейшее

Гамильton и его последовательные возлагаемые больше нежды на кватернионы. От кватернионов ожидали таких же результаты, как от комплексных чисел, и даже больше. И действительно, с помощью исчисления кватернионов были обнаружены совершенные в их математической красоте формулы, описывающие ряд важных физических явлений. Но дальнейшие надежды на развитие алгебраического и функциониального исчисления кватернионов не оправдались.

Для кватернионов не имеет места основная теорема алгебры о существовании корней у многочлена с кватернионными коэффициентами, а, с другой стороны, существует такой многочлен с кватернионными коэффициентами от одной переменной, для которого любой кватернион является корнем.

Оптимизм сменился скеписом. В начале нашего века математики перестали интересовать кватернионы. Но время шло, и физики упорно искали математический формул для некоторых эффектов, связанных с так называемым спином элементарных частиц. Кватернионы снова получили признание, когда была понята их роль в построении различных геометрических преобразований пространства, используемых в квантовой физике. Геометрические свойства кватернионов — это особая большая тема, о которой мы надеемся расссказать в дальнейшем.