Задачи М821—М825; Ф833—Ф837

39

Задачи

M821—M825; Ф833—Ф837

M821. Решите уравнение $x^3+x^2+x=-\frac{1}{3}$.

Ю. И. Ионин

M822. Карточки четырех цветов — $n$ зеленых, $n$ красных, $n$ синих и $n$ желтых — сложены стопкой так, что через четыре карточки цвет повторяется (например, 1-я, 5-я, 9-я, … карточки — красные, 2-я, 6-я, … — желтые и т. д.). Несколько карточек сверху сяли, не перекладавая перевернули и произвольным образом

Рис. 1.
оставили между оставшимся (рис. 1). После этого стопку разделили на $n$ маленьких стопок по четыре карточки. Доказите, что в каждой из этих четырех встречется карточки всех четырех цветов.

С. Б. Шлосман

M823. С фотографини списован (рис. 2) контур дома длиной 60 м и шириной 15 м, причем более длинная стена на фотографини слева (остальные части контура на фотографини загородены веткой дерева). Требуется:
a) дорисовать контур;
b) дорисовать точную карту (проекцию на горизонтальной плоскость), на которой указать контур дома и точку съемки;
b) определить высоту дома и высоту, с которой произвольная съемка.

Д. Б. Фукс

M824. В сетке, изображенной на рисунке 3, каждая ячейка имеет размер $1 \times 1$. Можно ли эту сетку представить в виде объедининия
a) 8 ломаны длины 5;
b) 5 ломаны длины 8? (8)

Н. И. Авилов

M825. Множество $M$ состоит из $k$ попарно не пересекающихся отрезков, лежащих на одной

40

Напомним читательм, что в декабре мы подведем итоги конкура на решение задачи из «Заданияка «Кванта» (учитываются будут письма, присланные до 10 декабря). Победители получают право участвовать в ресурсikanских олимпидах, соответственно, по математике или физике. При оценке успехов школьников по математике будут приняты все внимание также письма по поводу «задач для исследования» (см. № 5, с. 37, «Разложения на различные множители»; № 7, с. 33)

Прямою. Известно, что любой отрезок длины, не больше 1, можно расположить на прямой так, чтобы его концы принадлежали множеству M. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не меньше 1/k. (10)

Е. И. Хухро

Ф833. На ленту трансортера, получую со скоростью $v_0=1$ м/c, сбоку стальвают коробку. Скорость коробки сразу после попадания на ленту равна $u_0=2$ м/c и перpendикулярна скорости ленты. Какую минимальную скорость относительно Земли будет иметь коробка во время движения? Сила tremняя достаточно велика, и коробка не сокальзывает с ленты. (8)

С. С. Кротов

Ф834. На очень длинной невескомой нити подвешен к потолку шарика массы $m_1=0,1$ кг, к нему прикреплен на нити длины $l=0,2$ м шарика массы $m_2=0,05$ кг. Нижнему шарику толком сообщают скорость $v_0$ в горизонтальном направлении. При какой величины $v_0$ шарики могут оказаться на одной высоте? (9)

Е. И. Бутиков

Ф835. В стакан с водой опустил нагреватель и сяли зависямость температуры воды от времени (см. таблицу).

1. На сколько градусов остынет вода за 1 мин, если нагреватель отключить от сети при температуре $t_1=50^\circ\text{C}$?
2. Закипит ли вода, если нагреватель не выключать достагоно долго?
   Мощность нагревателя считать неизменной. (8)

Время, т мин 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Temperature, $t^\circ\text{C}$ 20 26,2 31,8 36,8 41,4 45,6 49,3 52,7 55,8 58,5 61,1

А. Р. Зильберман

Ф836. Пластина A плоского конденсатора неподвижна, пластина B прикреплена к стенке пружиной и может двигаться, оставаясь паралельной пластине A (рис. 4). После замыкания ключа K пластина B начала двигаться и оставалась в новом положении равновесия. При этом расстояние между пластнами уменьшилось на $\alpha_1=10\%$. На сколько изменилось бы равновесное расстояние между пластнами, если бы ключ K замкнул на короткое время? Предполагается, что за это время пластина B не успевает заметно сdwинуться. (9)

А. И. Буздин

Ф837. Для изменения скоростей частиц используется лазерный аnemометр, в котором движу-