Olympic Toán khu vực Sverdlovsk 1982/83

60

khối lượng $M$, khi nào khối lượng $m$ sẽ rời khỏi kênh? (Tốc độ của vật thứ hai khi thoát khỏi kênh là nằm ngang.)
2. Một hình trụ chứa đầy khí có thành mỏng có khối lượng $M$, chiều cao $H$ và diện tích đáy $S$ nổi trong nước. Do sự mất năng lượng nhiệt ở phần dưới của hình trụ, độ sâu ngâm của nó tăng lên $\Delta H$. Áp suất khí ban đầu trong xi lanh là bao nhiêu? Áp suất khí quyển $p_A$, nhiệt độ không thay đổi.
3. Người ta biết rằng nếu nước thông thường được thêm muối thì nhiệt độ sôi của nó sẽ cao hơn. Mật độ hơi nước bão hòa sẽ thay đổi như thế nào ở điểm sôi?
4. Một hình bán nguyệt có bán kính $R$, tích điện đều dọc theo chiều dài của nó, nằm trong trường điện tích $q$, phân bố đều trên bề mặt của một nửa hình cầu có bán kính. Xác định lực tác dụng lên quả cầu nếu tổng điện tích của hình bán nguyệt là $q$ và tâm của chúng trùng nhau.
5. Diode được mắc nối tiếp với điện trở $R=100$ Ohm. Đặc tính dòng điện-điện áp lý tưởng của diode được thể hiện trong hình. Một điện áp thay đổi theo thời gian $U$ được đặt vào đầu vào của mạch (xem hình).

Điện áp trên điện trở $R$ sẽ thay đổi như thế nào theo thời gian?

lớp 10

1. Tại sao khi rẽ, ô tô lại “ngồi xổm” ở bánh ngoài so với vòng quay?

2. Đường sức làm cho điện tích dương $+q_1$ nghiêng một góc $\alpha$ với đường thẳng nối nó với điện tích điểm âm $-q_2$. Ở góc $\beta$ nào với cùng một đường thẳng thì đường sức này dẫn vào điện tích $-q_2$?

3. Cuộn dây thứ cấp của một máy biến áp lý tưởng có tỷ số biến áp $1:n$ được đóng vào cuộn cảm $L$. Tần số dòng điện trong cuộn sơ cấp là 50 Hz. Tìm dòng điện pha giữa chiều và dòng điện trong cuộn sơ cấp của máy biến áp. Độ tiêu pha sẽ thay đổi như thế nào nếu điện trở $R$ được nối với cuộn sơ cấp?

4. Một cục pin gồm hai tụ điện nối tiếp nằm trong xương $C$, mỗi tụ được tích điện đến hiệu điện thế $U$ và tại thời điểm ban đầu được nối với một cuộn cảm $L$, sao cho hình thành một mạch dao động. Sau thời gian t, một trong các tụ điện bị đứt và điện trở giữa các bản của nó bằng không. Tìm biên độ dao động của điện tích sau khi đánh thủng.

5. Có một cửa sổ bằng kính ở dinitsa để quan sát động vật biển. Đường kính của cửa nóc là 40 cm và lớn hơn nhiều so với độ dày của kính. Diện tích ánh sáng ban ngày từ một cửa sổ như vậy là bao nhiêu? Chiết suất của thủy tinh là 1,6; nước 1,4; khoảng cách đến ngày 5 m.
   Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. S. Krotov

Olympic toán khu vực Sverdlovsk
1982/83

Tham quan trường học
lớp 7

1. Một số được đặt gần mỗi đỉnh của tam giác. Viết bên cạnh mỗi cạnh của tam giác này một số bằng tổng các số ở hai đầu của tam giác này. Bây giờ cộng mỗi số gần đầu với số gần phía đối diện. Chứng minh rằng cả ba tổng thu được sẽ bằng 3. Chứng minh rằng tất cả các số đều bằng 1.
2. Chứng minh rằng đường trung bình của một tam giác chia đôi đường trung tuyến cắt nó.
3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phân số $(n^2+3n+3)/(n+1)$ là tối giản.

lớp 8

1. Trên tờ giấy ca-rô 1982x1982 có ghi một số ở mỗi ô. Biết rằng cứ 3 ô chứa hình thì tổng các số bằng 3. Chứng minh rằng mọi số đều bằng 1.
2. Chín cuốn sách giống nhau có giá 11 rúp và kopecks, và 13 cuốn sách như vậy có giá 15 rúp và kopecks. Một cuốn sách giá bao nhiêu?
3. Bên trong tam giác $ABC$ trên đường trung tuyến $AM$ là điểm $O$. Chứng minh rằng diện tích của tam giác $AOC$ và $AOB$ bằng nhau.
4. Cho $p$ là số nguyên tố. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn $p^2$ và nguyên tố cùng nhau đến $p$?

lớp 9

1. Cho 110 số tự nhiên khác nhau. Chứng minh rằng có thể tìm được 2 số có ít nhất hai chữ số trùng nhau.
2. Chứng minh rằng $a+b \leq 4$ nếu $a^2+b^2 \leq 4$.
3. Hãy để các đường trung bình của tứ giác chia diện tích của nó làm đôi. Chứng minh rằng tứ giác này là hình bình hành.