Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

55

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{\sin x - \frac{1}{2}} \cdot \log_3 (x - 2) = 0.$$

2. Tìm điểm cực trị của hàm số
   $$f(x) = (2x - 1) \cdot \sqrt[4]{x - a}.$$

3. Cơ sở cho các lệnh gọi $ABCA_1B_1C_1$ là tam giác đều $ABC$, có $|AB| = |AC|$, $\hat{A} = 2\alpha$ và chiều cao $AD$ có độ dài $h$. Mặt bên $BB_1C_1C$ là một hình chữ nhật, mặt phẳng tạo một góc có độ lớn $\varphi$ với mặt phẳng đáy. Một mặt phẳng được vẽ qua điểm $A_1$, vuông góc với cạnh $AA_1$ và cắt các đường gọi. Tìm các thể tích của khối đa diện mà trên đó mặt phẳng cắt chia cuộc gọi nếu $|BB_1| = b$.

4. Một bộ album giống hệt nhau và những chiếc Kingston giống hệt nhau có giá 40 rúp, giá của một album là 2 rúp và giá của các vị vua là 3 rúp. Nếu giá của album là $k$ rúp, vua - 3 rúp, thì trọng lượng của bộ rên rỉ là 39 rúp. Có bao nhiêu album và bao nhiêu quân vương trong một bộ, nếu biết rằng có ít nhất số quân vua bằng số album?

Tùy chọn 2

1. Hiệu giữa tích của số hạng thứ hai mươi mốt và thứ mười ba của một cấp số cộng và tích của số hạng thứ mười bốn và hai mươi hai của cùng một cấp số cộng là bằng $p$. Xác định sự khác biệt của cấp số này nếu tổng số hạng thứ mười sáu và thứ mười chín của nó bằng $q$.

2. Một mặt phẳng đi qua điểm $A$ của cạnh bên $PQ$ của một đường thẳng tam giác đều $PQRT$ và song song với cạnh $TR$ cắt đường thẳng sao cho phần đó là một tam giác, tất cả các góc trong của chúng có cùng kích thước. Tìm diện tích của tam giác này nếu biết trung điểm của mặt bên của đường thẳng bằng $k$, mặt bên $PTR$ tạo một góc có độ lớn $\varphi$ và $|AQ| = |0,75|AP$ với mặt phẳng đáy.

3. Tìm tích phân của hàm tăng đơn thức
   $$f(x) = (c - 3) \cdot 5^x - (3c + 4) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x + 7.$$

4. Giải phương trình
   $$\cos^3 \frac{x}{3} \cdot (2 \cos x - \sin 2x) = \left(3 \sin x - \frac{5}{6} \sin^2 x\right) \cdot \sin^3 \left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}\right).$$

Vật lý
Bài thi vấn đáp

1. Một tải được đặt ở rìa của cuộc gọi, tạo thành một góc $\alpha = 30^\circ$ với đường chân trời (Hình 1). Hệ số tam giác giữa hàng hóa và sự công nhận $\mu = 0,35$. Với gia tốc nào thì sự nhận biết phải được di chuyển dọc theo trục $X$ để tải không trượt lên hoặc xuống so với sự nhận biết?

2. Hai vật nặng có khối lượng bằng nhau được gắn vào hai đầu của một thanh nhẹ, vuông góc với nhau (Hình 2). Đỉnh của góc là trục quay, $l_1 = 40$ cm, $l_2 = 30$ cm. Thanh được đưa ra khỏi vị trí cân bằng sao cho tải trọng cố định trên $l_2$ xuất hiện dưới trục quay rồi được thả ra. Xác định vận tốc góc của hệ tại thời điểm $l_1$ ở vị trí thẳng đứng.

3. Một quả bóng nhựa được ném với tốc độ $v_0 = 10$ m/s theo góc $\alpha = 60^\circ$ so với phương ngang về phía một bức tường thẳng đứng cách điểm ném $l = 6,3$ m. Quả bóng bay vào tường. Giả sử rằng toàn bộ động năng của quả bóng đã làm nó nóng lên, hãy tìm độ tăng nhiệt độ của quả bóng. Nhiệt độ riêng của plasticine là $c = 2,5 \times 10^3$ J/(kg K).

4. Trong một ống kín một đầu có một bàn rutin dài $l = 0,3$ cm. Ống được quay trong mặt phẳng nằm ngang quanh một trục đi qua đầu kín của nó. Với tốc độ góc quay bằng bao nhiêu thì rutin chạm tới đầu mở nếu trong một ống nằm ngang đứng yên, nó nằm cách đầu đóng $d = 64$ cm? Chiều dài ống $b = 80$ cm. Áp suất bên ngoài $p_0 = 100$ kPa. Nhiệt độ không đổi. Mật độ rutin $\varphi = 13,6 \cdot 10^3$ kg/m³. Tránh tác dụng mao dẫn.

5. Một quả bóng nhỏ có khối lượng $m = 10$ mg, mang điện tích $q = -0,4$ μC, lần đầu tiên được giữ trên bề mặt của một trong hai tấm thẳng đứng tích điện (cụ thể là tấm tích điện âm), đặt cách nhau một khoảng $d = 6$ cm (Hình 3). Sau đó quả bóng được thả ra với tốc độ ban đầu. Tìm công sẽ thực hiện lên một quả cầu chịu lực trong quá trình nó chuyển động về phía bản dương, nếu hiệu điện thế giữa các bản là $U = 10$ V.

6. Một động cơ điện có điện trở cuộn dây $R = 2$ Ohm được nối với máy phát điện có EMF