Viện thép và hợp kim Moscow

56

Viện Mátxcơva
thép và hợp kim

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Tìm tổng các số hạng của cấp số nhân vô hạn 3, -1, 1/3, -1/9, …
2. Giải phương trình
   $$\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=1.$$
3. Giải phương trình
   $$\log_4(2\log_3(1+\log_2(1+3\log_2x)))=\frac{1}{2}.$$
4. Chuyển đổi và tính toán

$$\cos \frac{\pi}{8} \left( \frac{5\pi}{16} + \frac{3\pi}{16} \right).$$
5. Giải hệ bất phương trình
$$\begin{cases} 2^x \geq 4^{x-1} \\ -5 \leq x \leq 10. \end{cases}$$
Trong đáp số viết số nguyên thỏa mãn hệ này.
6. Giải phương trình
$$\cos \pi x \cdot \sin 7\pi x=\cos 3\pi x \cdot \sin 5\pi x.$$
Trong đáp số viết số nghiệm của phương trình thuộc đoạn [0,1; 0,9].
7. Một đường tròn bán kính 2 được nội tiếp trong một hình thang đều. Tìm diện tích hình thang nếu chiều dài cạnh là 10.
8. Khi nhân hai số tự nhiên, trong đó một số lớn hơn số kia 10, học sinh đã mắc lỗi, làm giảm tích đi 5 đơn vị. Khi chia tích thu được cho thừa số nhỏ hơn, phần riêng là 37 và số dư là 23. Tìm thừa số lớn hơn.
9. Trên đường tròn bán kính 2, đáy là điểm A. Dây BC được vẽ song song với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A sao cho diện tích tam giác ABC là đơn giản nhất từ ​​điểm A đến dây BC.
10. Một quả cầu kim loại có bán kính 5$$\sqrt{2}$$ được đổ vào một hình nón, diện tích bề mặt xung quanh lớn gấp 3 lần diện tích đáy. Tìm chiều cao của hình nón.

Tùy chọn 2

1. Tính $$\sqrt{81^6 \cdot (0,064)^4}.$$
2. Dynamir CD song song với dây AB của cùng một đường tròn. Tìm độ dài của dây cung này nếu |AC| = 3, |BC| = 4.
3. Tìm bán kính của hình tròn nội tiếp tam giác vuông nếu các cạnh của nó là nghiệm của phương trình $x^2-7x+12=0$.
4. Đường sinh của hình nón nghiêng với mặt phẳng đáy một góc 60°. Tìm tỉ số giữa diện tích bề mặt bên của hình nón và diện tích đáy của nó.
5. Tính sin 2α nếu sin α−cos α = $$\frac{3}{5}.$$
6. Giải phương trình
   $$\log_2 \log_4 x+\log_4 \log_2 x \leq 2.$$
   Trong đáp số hãy viết độ dài của khoảng là tập hợp lời giải của phương trình.
7. Giải phương trình $$\sin^2 x-\cos^2 x=\cos \frac{x}{2}.$$
   Trong đáp số viết (theo độ) nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình này.
8. Tìm f’(2) nếu
   $$f(x)=3\sqrt{3} \cdot \sin x \cdot \sin 2x$$ trên đoạn $$-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}.$$
   Vật lý
   Bài thi viết
   Tùy chọn 1
9. Chu kỳ quay của một vệ tinh nhân tạo của Trái đất theo quỹ đạo tròn sẽ là bao nhiêu nếu nó bị đưa ra khỏi bề mặt Trái đất bởi

60

tâm tam giác NMP. Nhưng sau đó, theo nhiệm vụ 3, đường tròn được mô tả về NMP có cùng bán kính với bất kỳ đường tròn nào trong ba đường tròn đã cho, tức là $R^*$).

Từ trường và lực từ

1. $\Delta x_{\text{max}} = 1Bl\tau/\sqrt{2km}$.
2. $e/m = 2U/(RB^2) \approx 1,76 \cdot 10^{-11}$ C/kg.
3. $\sigma = \varepsilon_0 v B \approx 10^{-10}$ C/m$^2$ (ở đây $\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}$ F/m - hằng số điện).

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow
Toán học
Tùy chọn 1

1. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ ($k \in \mathbb{N}$).
2. $x = \frac{4}{5} a + \frac{1}{10}$ tại $a < \frac{1}{2}$; nếu $a \geq \frac{1}{2}$, không có điểm tới hạn.
3. Gọi $V_1$ là thể tích của một đa giác, một trong các cạnh của nó là $[B_1C_1]$, $V_2$ là thể tích của đa giác. Sau đó tại $h \cdot \cos \varphi < b$
   $$V_1 = \frac{1}{3} h^3 \cdot \sin 2\varphi \cdot \mathrm{tg} \alpha$$
   $$V_2 = \frac{1}{3} h^2 \cdot \sin \varphi \cdot \mathrm{tg} \alpha (3b - 2h \cdot \cos \varphi);$$
   tại $h \cdot \cos \varphi \geq b$
   $$V_1 = \frac{1}{3} b \cdot \frac{\sin \varphi}{\cos^2 \varphi} \cdot \mathrm{tg} \alpha (3h^2 \cdot \cos^2 \varphi - b^2),$$
   $$V_2 = b^3 \cdot \frac{\sin \varphi}{\cos^2 \varphi} \cdot \mathrm{tg} \alpha.$$
   Gợi ý. Gọi $D$ và $D_1$ là trung điểm của các đoạn BC tương ứng và $B_1C_1$, $D_2$ là điểm giao nhau của đoạn thẳng ADD$_1$. Sau đó:
   nếu $0 < h \cdot \cos \varphi < b$ thì $D_2 \in [DD_1]$ (Hình 5, a); nếu $h \cdot \cos \varphi > b$ thì $D_2 \in [AD]$ (Hình 5, b). Nếu $h \cdot \cos \varphi = b$ thì $D_2 = D$ và đáp số trùng khớp. Tại $\varphi = \pi/2$ mặt phẳng cắt trùng với $(A_1B_1C_1)$.
4. 2 album và 12 kip hoặc 5 album và 10 kip. Gợi ý. Nếu $x$ là số album thì $y$ là số

*) Hãy chú ý đến sự tinh tế logic sau đây. Đối với lời giải bài toán của chúng ta không cần thiết phải chứng minh được tâm trực tâm trong trường hợp tổng quát (tức là chứng minh rằng cả ba đường cao của một tam giác tùy ý đều cắt nhau tại một điểm). Chúng ta chỉ đang chứng minh rằng tam giác MNP có trực tâm $S$, nhưng tam giác này được xây dựng theo một cách nhất định; Không rõ ràng lắm rằng một tam giác tùy ý có thể được xây dựng theo cách này.

61

Gợi ý. Sử dụng đẳng thức $2\cos x - \sin 2x - 3\sin x + \frac{5}{6}\sin^2 x = \frac{1}{6}[(2\cos x - 3\sin x)^2 + 6(2\cos x - 3\sin x) - 4]$.

Vật lý

1. Hãy xét hai trường hợp giới hạn: 1) khi tải không còn trượt xuống lăng kính nữa; 2) khi tải chưa chuyển động hướng lên so với lăng kính. Các lực tác dụng lên tải trọng trong cả hai trường hợp được thể hiện trên Hình 7. a và b. Đó là lực hấp dẫn $m\vec{g}$, phản lực lăng kính $\vec{N}$ và lực ma sát $\vec{F}_{\text{тр}}$ ($F_{\text{тр}} = \mu N$). Chúng ta hãy biểu thị gia tốc của lăng kính, và do đó, tải, trong trường hợp thứ nhất và thứ hai lần lượt là $\vec{a}_1$ và $\vec{a}_2$. Hãy chiếu các lực và gia tốc lên trục tọa độ ngang và trục tọa độ rồi viết phương trình chuyển động tương ứng của tải trọng. Đối với trường hợp 1) ta có:
   $$N \sin \alpha - \mu N \cos \alpha = ma_1,$$
   $$N \cos \alpha + \mu N \sin \alpha - mg = 0,$$
   Ở đâu
   $$a_1 = g \frac{\text{tg} \alpha - \mu}{1 + \mu \text{tg} \alpha} = 4 \text{ m/c}^2.$$
   Tương tự cho trường hợp 2)
   $$N \sin \alpha + \mu N \cos \alpha = ma_2,$$
   $$N \cos \alpha - \mu N \sin \alpha - mg = 0,$$
   Và
   $$a_2 = g \frac{\text{tg} \alpha + \mu}{1 - \mu \text{tg} \alpha} = 11.5 \text{ m/c}^2.$$
   Do đó, lăng kính phải chuyển động với gia tốc $\vec{a}$ sao cho
   $$4 \text{ m/c}^2 = a_1 \leqslant a \leqslant a_2 = 11.5 \text{ m/c}^2.$$
2. Từ định luật bảo toàn năng lượng
   $$\frac{m\omega^2(l_1^2 + l_2^2)}{2} = mg(l_1 - l_2)$$
   ta tìm vận tốc góc $\omega$ của hệ:
   $$\omega = \sqrt{\frac{2g(l_1 - l_2)}{l_1^2 + l_2^2}} \approx 2.8 \text{ c}^{-1}.$$
3. Tốc độ của quả bóng $v$ tại thời điểm va chạm với tường có thể được tìm thấy từ sự tương ứng động học
   $$v^2 = (v_0 \cos \alpha)^2 + (v_0 \sin \alpha - gt)^2,$$
   $$l = v_0 \cos \alpha \cdot t.$$
   Khi đó từ định luật bảo toàn năng lượng
   $$\frac{mv^2}{2} = cm\Delta T$$
   hãy tìm mức tăng $\Delta T$ của nhiệt độ quả bóng:
   $$\Delta T = \frac{(v_0 \cos \alpha)^2 + (v_0 \sin \alpha - gt)/(v_0 \cos \alpha))^2}{2c} \approx 8 \cdot 10^{-3} \text{ K}.$$
4. Chúng ta hãy viết định luật II Newton cho hợp chất thủy ngân:
   $$m\omega^2 = p_0 S - p S.$$
   Ở đây $m = qlS$ là khối lượng của thủy ngân, $\omega$ là vận tốc góc quay của ống, $b$ là bán kính của hình tròn mà một giọt thủy ngân chuyển động dọc theo ($l$ có thể bỏ qua so với $b$), $S$ là diện tích mặt cắt ngang của ống và $p$ là áp suất không khí trong ống mà chúng ta tìm được từ Định luật Boyle - Mariotta $p_0 dS = pbS$. Từ đây chúng ta có được
   $$\omega = \sqrt{\frac{p_0}{qlb} \left(1 - \frac{d}{b}\right)} \approx 25 \text{ c}^{-1}.$$
5. Công do trọng lực thực hiện bằng
   $$A = mgh,$$

Hình 7.

trong đó $h = gt^2/2$ là độ cao của quả bóng rơi. Chúng ta sẽ tìm thời gian $t$ bằng cách xét chuyển động của quả bóng trong điện trường:
$$d = \frac{at^2}{2}, a = \frac{qU}{md}.$$
Rồi cuối cùng
$$A = \frac{(mgd)^2}{qU} \approx 8.6 \text{ мкДж}.$$
6. Hiệu suất của động cơ điện bằng tỷ số giữa công suất cơ của nó và công suất tiêu thụ của động cơ từ máy phát điện. Theo định luật bảo toàn năng lượng, tổng công suất $\mathcal{E}I$ mà máy phát điện tiêu thụ bằng tổng công suất cơ $P_{\text{м}}$ của động cơ điện và nhiệt năng $I^2(R + r)$ giải phóng trong động cơ và máy phát điện:
$$\mathcal{E}I = P_{\text{м}} + I^2(R + r).$$
Từ đây
$$P_{\text{м}} = \mathcal{E}I - I^2(R + r).$$
Công suất tiêu thụ của động cơ điện bằng
$$P_{\text{п}} = UI = (\mathcal{E}I - Ir) I.$$
Hiệu suất động cơ định vị
$$\eta = \frac{P_{\text{м}}}{P_{\text{п}}} = 1 - \frac{IR}{\mathcal{E}I - Ir} = 0.9 = 90\%.$$
7. Trong điện trường, electron nhận được động năng
$$\frac{mv^2}{2} = eU.$$
Trong từ trường, lực Lorentz truyền gia tốc cho electron
$$a = \frac{eBv \sin \alpha}{m} = B \sin \alpha \cdot \sqrt{2U(e/m)^3} \approx 1.5 \cdot 10^{18} \text{ m/c}^2.$$
8. EMF cảm ứng phát sinh trong mạch
$$\mathcal{E}_i = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right| = \frac{Br^2\omega}{2}$$
gây ra dòng điện trong mạch
$$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = \frac{Br^2\omega}{2R}.$$
Trong một vòng quay của mạch, một lượng nhiệt tỏa ra trong mạch
$$Q = I^2RT = I^2R \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi B^2 r^4 \omega}{2R} \approx 5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}.$$
9. Theo công thức thấu kính
$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$$
tìm khoảng cách $f$ từ ảnh của điểm $A$ đến thấu kính:
$$f = \frac{dF}{d-F}.$$

62

Tại thời điểm đi qua vị trí phía dưới, thấu kính di chuyển với tốc độ $v = \sqrt{2gd}$ dọc theo đường tròn bán kính $d$ và ảnh di chuyển với tốc độ $v' = v(d+f)/d$ dọc theo đường tròn bán kính $d+f$. Do đó, gia tốc ảnh là

$$a = \frac{v'^2}{d+f} = 2g \frac{d}{d-F} = 100 \text{ m/c}^2.$$

10. Chúng ta hãy viết các định luật bảo toàn động lượng và năng lượng cho hệ gel nguyên tử-proton:

$$mv_0 = -mv_0/2 + Mv,$$
$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_0^2}{8} + \frac{Mv^2}{2} + W,$$

ở đâu $m = 1$ a.e.m. $= 1,67 \cdot 10^{-27}$ kg – khối lượng proton, $M = 4$ a.e.m. là khối lượng nguyên tử của gel, $W$ là năng lượng kích thích của nguyên tử. Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy

$$W = \frac{3}{8} mv_0^2 \left(1 - \frac{3m}{M}\right).$$

Trở về trạng thái ban đầu, nguyên tử phát ra một lượng tử ánh sáng có năng lượng bằng năng lượng kích thích:

$$hv = W,$$

bước sóng của ánh sáng phát ra đến từ đâu?

$$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{hc}{W} = \frac{8hc}{3mv_0^2(1-3m/M)} \approx 0,6 \cdot 10^{-6} \text{ m}.$$

Viện thép và hợp kim Moscow

Toán học
Tùy chọn 1

1. $2\frac{1}{4}$. 2. $|-1|$. 3. $|2|$. 4. 2. 5. 9. 6. 5. 7. 40.

Tùy chọn 2

1. 3,6. 2. 1,4. 3. 1. 4. 2. 5. 0,64. 6. 15. 7. 72°.

Vật lý
Tùy chọn 1

1. $T = 4\pi\sqrt{2R_3/g} \approx 14200 \text{ c}$.
2. $h_{\min} = 5R/2 = 10 \text{ m}$.
3. $\alpha = \arcsin \frac{l}{8h} = 30^\circ$.
4. $F_D = 4a^2(p_0 + \varphi ga/2) \approx 6 \cdot 10^7 \text{ H}$ (ở đây $p_0 = 1,01 \cdot 10^5 \text{ Pa}$ là áp suất khí quyển bình thường, $\varphi = 10^3 \text{ kg/m}^3$ là mật độ của nước).
5. $\frac{V_c}{V_u} = \frac{1}{\sqrt{p_0/p_-1}} \approx 0,37$.
6. $\eta = \frac{cm(t_2-t_1)}{P\tau} \approx 80 \%$ (ở đây $m = 2 \text{ кг}$ là khối lượng của hai lít nước).
7. $R_2 = 9R_1/8 = 90 \text{ Om}$.
8. $t = \frac{mFn}{Mjah} \approx 600 \text{ c} \approx 10 \text{ min}$ (ở đây $F = 96500 \text{ KJ/mol}$ là hằng số Faraday, $M = 64 \cdot 10^{-3} \text{ kg/mol}$ là khối lượng mol của đồng, $n = 2$ là hóa trị của đồng).
9. $q = 2\pi r^2B/R = 3,14 \cdot 10^{-6} \text{ KJ}$.
10. $F = 2l = 20 \text{ cm}$.
    Tùy chọn 2
11. $F = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} \approx 11 \text{ H}$.
12. $E_k = m(v_0^2 + g^2t^2)/2 \approx 650 \text{ Дж}$.
13. $x = \frac{l(m_1+m/2)}{m_1+m_2+m} \approx 0,27 \text{ m}$.
14. $h \approx 390 \text{ m}$ (độ sâu của hẻm núi được xác định từ phương trình $t = \sqrt{2h/g} + h/v$).
15. $m = \frac{p_0VM}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) \approx 11,6 \text{ кг}$ (ở đây $p_0 = 1,01 \cdot 10^5 \text{ Pa}$ là áp suất khí quyển bình thường).
16. $m = \frac{MV\varphi p_H/100\%}{RT} \approx 0,48 \text{ кг}$ (ở đây $M = 18 \cdot 10^{-3} \text{ kg/mol}$ là khối lượng mol của nước).
17. $W = W_0/4 = 0,25 \text{ Дж}$.
18. $E = k\sqrt{\left( \frac{q_1}{l_1^2} \right)^2 + \left( \frac{q_2}{l_2^2} \right)^2} = 15 \cdot 10^4 \text{ B/m}$ (ở đây $k = 9 \cdot 10^9 \text{ H} \cdot \text{m}^2/\text{K} \cdot \text{m}^2$).
19. $R_\pi = \frac{\pi Q \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta}{2(\sin \alpha + \sin \beta)}$.
    Tùy chọn 2
20. Tại $x < 0, f'(x) = 2x^{-2}$. Gợi ý. Trong trường hợp này $\sqrt{x^2} = -x$.
21. $\{(0; -1)\}$. Gợi ý. Sau khi thay $x + 1 = u$, $2^{-y} = v$, chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai; sau đó thực hiện thay thế $u/v = t$.
22. $f$ trở về $]-\infty; -0,1]$ và về $[0,2; +\infty[$, giảm xuống $[-0,1; 0,2]$; $x = -0,1$ – điểm tối đa, $f(-0,1) = -2,9965$, $x = 0,2$ – điểm tối thiểu, $f(0,2) = -3,01$.
23. $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($k = 0,1,2, \dots$).
24. $\frac{1}{3}l^2h \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$.
    Bài toán thi vấn đáp
25. $\lg(-a) + \lg(-b)$. 2. Gợi ý. Bài toán cân bằng: chứng minh rằng với mọi $a, b$ sao cho $|a| < 1$, $|b| < 1$ ta có $|a+b| < |1+ab|$.
26. $|0; 1|$. 4. Kỳ quặc. 5. Gợi ý. Đừng quên miền định nghĩa! 6. $\emptyset$. Gợi ý. $tg \frac{7\pi}{20} = tg \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{10} \right) > 1$.
27. $\{(2\pi k; 0)\}$

63

(k ∈ Z). Gợi ý: $\sqrt{y^2 + 1} \geq 1$. 8. Gợi ý.
Xét một điểm đối xứng với điểm A qua (MN). 9. Lời giải. Từ một điểm tùy ý $M_1 \in [BA)$, chúng ta hạ đường vuông góc $[M_1N_1]$ xuống $[BC)$. Hãy để $P_1 = \text{Окр}(M_1, |M_1N_1|) \cap [BP)$. Từ điểm $P$ ta vẽ một đường thẳng song song với $(M_1P_1)$. Khi đó giao điểm của đường này với $[BA]$ là điểm bắt buộc. Bình luận. Có hai điểm bắt buộc. 10. Không.

Vật lý

Bài thi viết
Tùy chọn 1
2. Xem hình. 8.
3. $\alpha = \arctg n \approx 56^\circ 20'$.
4. $a = \frac{T(\cos \alpha + \mu \sin \alpha) - \mu mg}{m}$.
5. $t_4 = \frac{t_3(t_1 + t_5) - t_2(t_3 + t_5)}{t_1 + t_3 - 2t_2} \approx 32.2^\circ \text{C}$.

Tùy chọn 2
2. Xem hình. 9.
3. $d = (\Gamma + 1)F / \Gamma = 0,12$ m; $f = (\Gamma + 1)F = 0,6$ m.
4. $A = p_0V \Delta t / T$.
5. $Q = \frac{m_1v_1^2}{2} \left(1 - \frac{m_1}{m_2}\right) = 25$ J.

Hình 8. Hình 9.

Nhiệm vụ thi vấn đáp

1. $v = v_0 \sqrt{\frac{\sin \alpha - \mu \cos \alpha}{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}} \approx 0,84$ m/c.
2. $E = \frac{Q}{\varepsilon_0 S} \approx 1,13 \cdot 10^5$ B/m; $W = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S} \approx 5,65 \times 10^{-7}$ J.
3. $\eta = \frac{Nhc}{\lambda UI} 100\% \approx 0,08\%$.

Có bao nhiêu nước trong các bình?
(xem trang 35)
Ở hàng đầu tiên (từ trái sang phải) có hai bình đầy một nửa và một bình đầy, ở hàng thứ hai có bình rỗng, bình đầy và gần như cạn.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(cm. «Kvant» № 1)

1. Nếu “phần số” của số là $ab - cd$ thì điều kiện bài toán được viết là $10a + b + c + d = a + b + 10c + d = 100$. Từ đẳng thức đầu tiên nó theo sau $a = c$; bây giờ đẳng thức thứ hai được viết là $11a + b + d = 100$. Rõ ràng số $a$ chỉ có thể bằng 8 hoặc 9. Với $a = 9$ $b + d = 1$; do đó, trong trường hợp này nó có 2 lời giải: 90–91 và 91–90. Nếu $a = 8$ thì $b + d = 12$ và chúng ta nhận được thêm 7 lời giải: 83-89, 84-88, 85-87, 86-86, 87-85, 88-84 và 89-83.

Hình 10.
2. Đáp số:
$\times 5734$
$\times 5327$
$\times 40138$
$\times 11468$
$\times 17202$
$\times 28670$
$\times 30545018$

3. Đáp số được hiển thị trong Hình 10. Bạn cũng có thể thay đổi các số ở vòng tròn bên trong và bên ngoài.
4. Số hạt Kostya có có thể là số tự nhiên chia hết cho 3.
5. Gần ngọn lửa hình thành các luồng không khí đối lưu hướng về phía cấu trúc ngọn lửa. Điều này được giải thích như sau: khi đun nóng trên lửa, không khí trở nên dễ dàng và cao hơn để loại bỏ; Tại thời điểm đám cháy đến đủ gần, luồng không khí sẽ làm cho đám cháy sắp cháy lan vào cấu trúc của đám cháy. Đây là “bí quyết” dập tắt đám cháy bằng phương pháp được mô tả trong nhiệm vụ.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(cm. «Kvant» № 2)

1. Nếu biểu thị bằng $x$ số lượng kết quả phù hợp ban đầu trong hộp thì chúng ta có thể viết các phương trình sau: $[(2x - 8) \cdot 2 - 8] \times 2 - 8 = 0$, từ đó $8x = 56$, $x = 7$.
2. Đáp số. $K = 9$, $A = 1$, thừa số đầu tiên là 12345679.
   Lời giải. Lưu ý rằng $A$ nhỏ hơn $K$, nếu không thì thương của tích chia cho $K$ sẽ có 8 và 9 dấu. Nhưng bình phương của một số có một chữ số sẽ nhỏ hơn nó, chỉ đối với các số 8 và 9. Nếu $K = 8$ thì $A = 4$, nhưng số 44444444 không chia hết cho 8. Nếu $K = 9$ thì $A = 1$, còn số 111111111 khi chia cho 9 sẽ là số 12345679.
3. Điểm $A$ nằm trên đường $BC$ giữa các điểm $B$ và $C$.
4. Chiều dài của con đường là 4,9 km hoặc 3,1 km, tùy thuộc vào hướng Sasha đang đi (điều này không được chỉ định trong điều kiện bài toán). Nếu chiều dài của con đường là 4,9 km thì Grisha sẽ dành 0,49 giờ cộng với thời gian trò chuyện trên hành trình một chiều. Nhưng 0,49 giờ đã hơn 24 phút, nghĩa là chiều dài của quãng đường là 3,1 km và thời gian Grisha di chuyển dọc theo nó là 0,31 giờ hay 18 phút 36 giây. Do đó thời gian đàm thoại là 24 phút - 18 phút 36 s = 5 phút 24 s.
5. Đầu tiên, lưu ý rằng tốc độ dòng nước giảm khi chiều cao của mực chất lỏng giảm và chỉ phụ thuộc vào chiều cao này. Chúng ta hãy chọn hai lớp chất lỏng có độ dày bằng nhau trong mỗi bình - một lớp ở độ cao $h$ tính từ đáy, lớp kia ở độ cao $H - h$ (Hình 11). Từ tính đối xứng, rõ ràng là tổng thể tích của hai từ obichos bình là như nhau. Hãy xem xét tổng